Ibid., p. 18 et suiv

sous-multiples, dans la mesure des grandeurs, ne lui fassent jamais défaut, et que, si avant qu'elle doive les chercher dans l'échelle des infiniment petits, ils soient toujours à sa disposition et comme sous sa main. Il faut, en d'autres termes, que la série des fractions décroissantes de la grandeur soit telle qu'une grandeur, si petite qu'on la suppose, puisse trouver à l'infini des sous-multiples plus petits qu'elle pour la mesurer.

La mathématique et, en particulier, la géométrie, est sortie, on le sait, de nécessités pratiques. « Il faut mesurer », voilà, pour le géomètre, la plus impérieuse des lois. Ce qu'il réclame, ce sans quoi sa science n'existe plus, c'est la division sans fin répétée. Dans l'absolu, l'unité de mesure est une et toujours la même ; dans le relatif, il faut qu'elle varie, parce qu'elle est arbitraire, rien ne la fixant ici ou là, et, pour cela même, elle doit pouvoir reculer toujours. La matière ne peut manquer à la science, et la matière sur laquelle s'exerce le géomètre, c'est le continu, toujours fuyant sous la forme que momentanément on lui prête, mais, comme continu, toujours présent.

On n'a point oublié, peut-être, le spectateur idéal, que. dans la première partie de cette étude, nous placions devant une ligne de lumière inconnue de lui en sa loi de formalion. Maintenant, je le suppose, il est au courant de tout; il comprend pourquoi la ligne commence, pourquoi elle finit ; il s'explique comment il a pu, sans difficulté, prendre ici ou là sur cette ligne des points lumineux ; il n'en est pas moins tenu de demeurer dans sa conception première s'il se propose de la mesurer, et il a beau supposer qu'à la fin. de ses divisions, peut-être, il rencontrera le point, comme il ignore où et quand il le rencontrerait, il est bien obligé, dans l'intérêt de ses calculs, de tenir la supposition pour non avenue, et de se fixer dans l'apparence qui lui fait une loi de l'indéfini.

Ainsi fait le géomètre. Il subordonne le point de vue de la doctrine au point de vue de l'utilité. Ce qu'il demande, avec la pensée dont il s'inspire, ce n'est pas que la grnii. deur enveloppe une divisibilité sans bornes, c'est qu'il

ItS LA RAISON PLRL ET LES ANTINOMIES.

K^ puisse (aire comme si die l'enveloppait réellement ; il léy} V^ «îlanie seulement le droit de fermer les yeux sur l'indivisible qui crée ou termine le progrès où il se place, pour le y^ prolonger autant qu'il y trouvera intérêt. "•''^v'^'^ l->éjà, semble-t-il, l'autonomie a perdu un peu de son \-/» K j/acuité première; la grandeur, pour le mathématicien, n*est ^ y y plus, comme n»ous le disions tout à l'heure, un m|t/ii (ini, ce j/^'Y^' y/y ^^"^^ ^^^ ^^ contradiction môme, mais un indéfini subiecti{ qui t V *" y représente un obieclivement {ini.

'' C'est sur cet objectivement (ini qu'il nous faut mainte-

y' V. nant jeter les yeux. Pour savoir si la grandeur prise en

^ /' elle-même et en dehors de tout besoin imaginatif, doit se

^ l)oser ou non comme inépuisable, interrogeons la raison

pure. Sa loi dialectique nous est connue i. Etrangère à l'inluition, elle n'affirme que ce que le principe de contradiction lui interdit de nier, et fait ainsi de rexistence ou de la non-existence de la pensée tout entière la suprême garantie de ce qu'elle affirme.

Or, quand on l'interroge sur le point qui nous intéresse, quelle est la réponse de la pensée pure ? Sans se laisseï' troubler par la perception d'une continuité qui ne saurait finir, elle reste, en dépit de tout, toujours d'accord avec ellemême, et c'est ce dont on s'assurera facilement si l'on veut bien se donner la peine de l'écouter.

Demeurons, pour simplifier, dans l'hypothèse de la plus simple des grandeurs, qui est la ligne. Cette ligne, bien entendu, est définie, elle est telle ou telle. Voilà l'hypothèse. S'il en est ainsi, la réponse que nous voulons obtenir n'est plus douteuse ; au regard de la raison pure, la ligne s'épuise.

Et pourquoi s'épuise-t-elle ? Pourquoi l'exhaustion, seulement commencée, s'achève-t-elle spontanément et d* ellemême ? Pour une raison déjà indiquée et décisive : à chaque étape du mouvement idéal d'où l'exhaustion doit sortir, on se rapproche e[lectivement et de plus en plus du terme zéro, limite de ces approximations successives.