CHAPITRE PREMIER Sur la nature du raisonnement mathématique

La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute? Si. au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle,

comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. Admettra-t-on donc que les énoncés de tous ces théorèmes qui remplissent tant de volumes ne soient que des manières détournées de dire que A est A?

Sans doute, on peut remonter aux axiomes qui sont à la source de tous les raisonnements. Si on juge qu*on ne peut les réduire au principe de contradiction, si on ne veut pas non plus y voir des faits expérimentaux qui ne pourraient participer à la nécessité mathématique, on a encore la ressource de les classer parmi les jugements synthéliques a priori. Ce n'est pas résoudre la difficulté, c'est seulement la baptiser; et lors même que la nature des jugements synthétiques n'aurait plus pour nous de mystère, la contradiction ne se serait pas évanouie, elle n'aurait fait que reculer; le raisonnement syllogistique reste incapable de rien ajouter aux données qu'on lui fournit; ces données se réduisent à quelques axiomes et on ne devrait pas retrouver autre chose dans les conclusions.

Aucun théorème ne devrait être nouveau si dans sa démonstration n'intervenait un axiome nouveau ; le raisonnement ne pourrait nous rendre que les vérités immédiatement évidentes empruntées à l'intuition directe; il ne serait plus qu'un intermédiaire parasite et dès lors n'aurait-on pas lieu de se demander si tout l'appareil syllogistique ne

NATUBE DU RAISO.NNEMENT MATHÉMATIQUE

sert pas uniquement à dissimuler notre emprunt?

La contradiction nous frappera davantage si nous ouvrons un livre quelconque de mathématiques; à chaque page l'auteur annoncera l'intention de généraliser une proposition déjà connue. Est-ce donc que la méthode mathématique procède du particulier au général et comment alors peut-on l'appeler déductive?

Si enfin la science du nombre était purement analytique, ou pouvait sortir analy tiquement d'un petit nombre de jugements synthétiques, il semble qu'un esprit assez puissant pourrait d'un seul coup d'oeil en apercevoir toutes les vérités ; que dis-je! on pourrait même espérer qu'un jour on inventera pour les exprimer un langage assez simple pour qu'elles apparaissent ainsi immédiatement à une intelligence ordinaire.

Si l'on se refuse à admettre ces conséquences, il faut bien concéder que le raisonnement mathématique a par lui-même une sorte de vertu créatrice et par conséquent qu'il se distingue du syllogisme.

La différence doit même être profonde. Nous ne trouverons pas par exemple la clef du mystère dans l'usage fréquent de cette règle d'après laquelle une même opération uniforme appliquée à deux nombres égaux donnera des résultats identiques.

Tous ces modes de raisonnement, qu'ils soient ou non réductibles au syllogisme proprement dit, conservent le caractère analytique et sont par cela même impuissants.

LA SCIENCE ET l'h Yl'OTHÈSK

Le débat est ancien; déjà Leibnitz cherchait à démontrer que 2 et 2 font 4; examinons un peu sa démonstration.

Je suppose que Ton ait défini le nombre 1 et l'opération x + 1 qui consiste à ajouter l'unité à un nombre donné x.

Ces définitions, quelles qu'elles soient, n'interviendront pas dans la suite du raisonnement.

Je définis ensuite les nombres 2, 3 et 4 par les égalités :

Je définis de même l'opération a? + 2 par la relation :

Cela posé nous avons :

2 + 2=(2+l) + l (Définition 4)

(2 + 1) + 1=3 + 1 (Définition 2)

3+1=4 (Définitions)

d'où

On ne saurait nier que ce raisonnement ne soit purement analytique. Mais interrogez un mathématicien quelconque : « Ce n'est pas une démons-

tration proprement dite, vous répondra-t-il, c'est une vérification ». On s'est borné à rapprocher l'une de l'autre deux définitions purement conventionnelles et on a constaté leur identité ; on n'a rien appris de nouveau. La vérification diffère précisément de la véritable démonstration, parce qu'elle est purement analytique et parce qu'elle est stérile. Elle est stérile parce que la conclusion n'est que la traduction des prémisses dans un autre langage. La démonstration véritable est féconde au contraire parce que la conclusion y est en un sens plus générale que les prémisses.

L'égalité 2-f-2 = 4 n'a été ainsi susceptible d'une vérification que parce qu'elle est particulière. Tout énoncé particulier en mathématiques pourra toujours être vérifié de la sorte. Mais si la mathématique devait se réduire à une suite de pareilles vérifications, elle ne serait pas une science. Ainsi un joueur d'échecs, par exemple, ne crée pas une science en gagnant une partie. Il n'y a de science que du général.

On peut même dire que les sciences exactes ont précisément pour objet de nous dispenser de ces vérifications directes.

Voyons donc le géomètre à l'œuvre et cherchons à surprendre ses procédés.

La tâche n'est pas sans difficulté; il ne suffit pas

LA SCIENCE ET l'iiYI'OTIIÈSE

d'ouvrir un ouvrage au hasard et d'y analyser une démonstration quelconque.

Nous devons exclure d'abord la géométrie où la question se complique des problèmes ardus relatifs au rôle des postulats, à la nature et à l'origine de la notion d'espace. Pour des raisons analogues nous ne pouvons nous adresser à l'analyse infinitésimale. Il nous faut chercher la pensée mathémalique là où elle est restée pure, c'est-à-dire en arithmétique.

Encore faut-il choisir; dans les parties les plus élevées de la théorie des nombres, les notions mathématiques primitives ont déjà subi une élaboration si profonde, qu'il devient difficile de les analyser.

C'est donc au début de l'arithmétique que nous devons nous attendre à trouver l'explication que nous cherchons, mais il arrive justement que c'est dans la démonstration des théorèmes les plus élémentaires que les auteurs des traités classiques ont déployé le moins de précision et de rigueur. Il ne faut pas leur en faire un crime; ils ont obéi à une nécessité ; les débutants ne sont pas préparés à la véritable rigueur mathématique ; ils n'y verraient que de vaines et fastidieuses subtilités; on perdrait son temps à vouloir trop tôt les rendre plus exigeants ; il faut qu'ils refassent rapidement, mais sans brûler d'étapes, le chemin qu'ont parcouru lentement les fondateurs de la science.

Pourquoi une si longue préparation est-elle nécessaire pour s'habituer à cette rigueur parfaite,

qui, semble-t-il, devrait s'imposer naturellement à tous les bons esprits ? C'est là un problème logique et psychologique bien digne d'être médité.

Mais nous ne nous y arrêterons pas; il est étranger à notre objet; tout ce que je veux retenir, c'est que, sous peine de manquer notre but, il nous faut refaire les démonstrations des théorèmes les plus élémentaires et leur donner non la forme grossière qu'on leur laisse pour ne pas lasser les débutants, mais celle qui peut satisfaire un géomètre exercé.

Définition de l'addition. — Je suppose qu'on ait défini préalablement l'opération x -f- 1, qui consiste à ajouter le nombre 1 à un nombre donné x.

Cette définition, quelle qu'elle soit d'ailleurs, ne jouera plus aucun rôle dans la suite des raisonnements.

Il s'agit maintenant de définir l'opération x -f- a, qui consiste à ajouter le nombre a à un nombre donné x.

Supposons que l'on ait défini l'opération

ff-f-(a-l),

l'opération x + a sera définie par l'égalité :

(1) x-\- a = lx+{a— 1)] + 1.

Nous saurons donc ce que c'est que x + a quand nous saurons ce que c'est que x + (a — 1),

et comme j'ai supposé au début que l'on savait ce que c'est que x -\- 1, on pourra définir successivement et « par récurrence » les opérations x + 2, x -f-3, etc.

Cette définition mérite un moment d'attention, elle est d'une nature particulière qui la distingue déjà de la définition purement logique ; l'égalité (1) contient en effet une infinité de définitions distinctes, chacune d'elles n'ayant un sens que quand on connaît celle qui la précède.

Propriétés de l'addition, — Associativité. — Je dis que

En effet le théorème est vrai pour c = l; il s'écrit alors

ce qui n'est autre chose, à la différence des notations près, que l'égalité (1) par laquelle je viens de définir l'addition.

Supposons que le théorème soit vrai pour c = y, je dis qu'il sera vrai pour c = y + 1, soit en effet

(a + *) + Y = a+(6 + Y)> on en déduira successivement :

[(a + 6) + T] + l=[a + (& + T)] + 1> ou en vertu de la définition (1) (a + 6) + (Y+l)=a + (è + T+l)=a + [6 + (Y+l)],

ce qui montre, par une série de déductions purement analytiques, que le théorème est vrai pour Y -M.

Etant vrai pour c = l, on verrait ainsi successivement qu'il l'est pour c = 2, pour c = 3, etc.

Commulativité. — 1° Je dis que a •+ 1 = 1 + a.

Le théorème est évidemment vrai pour a = l, on pourrait vérifier par des raisonnements purement analytiques que s'il est vrai pour a = y, il le sera pour a = Y + i; or il l'est pour a=i, il le sera donc pour a = 2, pour a = 3, etc.; c'est ce qu'on exprime en disant que la proposition énoncée est démontrée par récurrence.

2° Je dis que

Le théorème vient d'être démontré pour 6 = 1, on peut vérifier anatyliquement que s'il est vrai pour 6 = ;3, il le sera pour 6 = ^ -f- 1 .

La proposition est donc établie par récurrence.

Définition de la multiplication. — Nous définirons la multiplication par les égalités.

«Xl= a.

(2) axb = [ax(b — l)] + a.

L'égalité (2) renferme comme l'égalité (1)

infinité de définitions; ayant défini axi elle permet de définir successivement : aX2, aX3, etc.

Propriétés de la multiplication. — Distributivité. — Je dis que

(a + b)xc = (axc) + (ôxc).

On vérifie analytiquement que l'égalité est vraie pour c = 1 ; puis que si le théorème est vrai pour

c = y il sera vrai Pour c=t + l-

La proposition est encore démontrée par récurrence.

Commutativité. — 1° Je dis que axi = lxa.

Le théorème est évident pour a=l.

On vérifie analytiquement que s'il est vrai pour a = a il sera vrai pour a = a -f- !•

2° Je dis que

Le théorème vient d'être démontré pour 6 = 1. On vérifierait analytiquement que s'il est vrai pour b = [3 il le sera pour 6 = j3 + l.

J'arrête là cette série monotone de raisonnements. Mais cette monotonie même a mieux fait

ressortir le procédé qui est uniforme et qu'on retrouve à chaque pas.

Ce procédé est la démonstration par récurrence. On établit d'abord un théorème pour n = 1 ; on montre ensuite que s'il est vrai de n — 1, il est vrai de n et on en conclut qu'il est vrai pour tous les nombres entiers.

On vient de voir comment on peut s'en servir pour démontrer les règles de l'addition et de la multiplication, c'est-à-dire les règles du calcul algébrique; ce calcul est un instrument de transformation qui se prête à beaucoup plus de combinaisons diverses que le simple syllogisme ; mais c'est encore un instrument purement analytique et incapable de rien nous apprendre de nouveau. Si les mathématiques n'en avaient pas d'autre elles seraient donc tout de suite arrêtées dans leur développement; mais elles ont de nouveau recours au même procédé, c'est-à-dire au raisonnement par récurrence et elles peuvent continuer leur marche en avant.

A chaque pas, si on y regarde bien, on retrouve ce mode de raisonnement, soit sous la forme simple que nous venons de lui donner, soit sous une forme plus ou moins modifiée.

C'est donc bien là le raisonnement mathématique par excellence et il nous faut l'examiner de plus près.

Le caractère essentiel du raisonnement par récurrence c'est qu'il contient, condensés pour ainsi dire en une formule unique, une infinité de syllogismes.

Pour qu'on s'en puisse mieux rendre compte, je vais énoncer les uns après les autres ces syllogismes qui sont, si l'ont veut me passer l'expression, disposés en cascade.

Ce sont bien entendu des syllogismes hypothétiques.

' Le théorème est vrai du nombre 1.

Or s'il est vrai de 1, il est vrai de 2.

Donc il est vrai de 2.

Or s'il est vrai de 2, il est vrai de 3.

Donc il est vrai de 3, et ainsi de suite.

On voit que la conclusion de chaque syllogisme sert de mineure au suivant.

De plus les majeures de tous nos syllogismes peuvent être ramenées à une formule unique.

Si le théorème est vrai de n — 1, il l'est de n.

On voit donc que, dans les raisonnements par récurrence, on se borne à énoncer la mineure du premier syllogisme, et la formule générale qui contient comme cas particuliers toutes les majeures.

Celte suite de syllogismes qui ne finirait jamais se trouve ainsi réduite à une phrase de quelques lignes.

Il est facile maintenant de comprendre pourquoi toute conséquence particulière d'un théorème peut, comme je l'ai expliqué plus haut, être vérifiée par des procédés purement analytiques.

Si au lieu de montrer que notre théorème est vrai de tous les nombres, nous voulons seulement faire voir qu'il est vrai du nombre 6 par exemple, il nous suffira d'établir les 5 premiers syllogismes de notre cascade; il nous en faudrait 9 si nous voulions démontrer le théorème pour le nombre 10; il nous en faudrait davantage encore pour un nombre plus grand; mais quelque grand que soit ce nombre nous finirions toujours par l'atteindre, et la vérification analytique serait possible.

Et cependant, quelque loin que nous allions ainsi, nous ne nous élèverions jamais jusqu'au théorème général, applicable à tous les nombres, qui seul peut être objet de science. Pour y arriver, il faudrait une infinité de syllogismes, il faudrait franchir un abîme que la patience de l'analyste, réduit aux seules ressources de la logique formelle, ne parviendra jamais à combler.

Je demandais au début pourquoi on ne saurait concevoir un esprit assez puissant pour apercevoir d'un seul coup d'ajil l'ensemble des vérités mathématiques.

La réponse est aisée maintenant; un joueur d'échecs peut combiner quatre coups, cinq coups d'avance, mais, si extraordinaire qu'on le suppose, il n'en préparera jamais qu'un nombre fini; s'il applique ses facultés à l'arithmétique, il ne pourra

en apercevoir les vérités générales d'une seule intuition directe; pour parvenir au plus petit théorème, il ne pourra s'affranchir de l'aide du raisonnement par récurrence parce que c'est un instrument qui permet de passer du fini à l'infini.

Cet instrument est toujours utile, puisque, nous faisant franchir d'un bond autant d'étapes que nous le voulons, il nous dispense de vérifications longues, fastidieuses et monotones qui deviendraient rapidement impraticables. Mais il devient indispensable dès qu'on vise au théorèmé général, dont la vérification analytique nous rapprocherait sans cesse, sans nous permettre de l'atteindre.

Dans ce domaine de l'arithmétique, on peut se croire bien loin de l'analyse infinitésimale, et, cependant, nous venons de le voir, l'idée de l'infini mathématique joue déjà un rôle prépondérant, et sans elle il n'y aurait pas de science parce qu'il n'y aurait rien de général.

Le jugement sur lequel repose le raisonnement par récurrence peut être mis sous d'autres formes; on peut dire par exemple que dans une collection infinie de nombres entiers différents, il y en a toujours un qui est plus petit que tous les autres.

On pourra passer facilement d'un énoncé à l'autre et se donner ainsi l'illusion qu'on a démontré la légitimité du raisonnement par récurrence.

Mais on sera toujours arrêté, on arrivera toujours à un axiome indémontrable qui ne sera au fond que la proposition à démontrer traduite dans un autre langage.

On ne peut donc se soustraire à cette conclusion que la règle du raisonnement par récurrence est irréductible au principe de contradiction.

Cette règle ne peut non plus nous venir de l'expérience-, ce que l'expérience pourrait nous apprendre, c'est que la règle est vraie pour les dix, pour les cent premiers nombres par exemple, elle ne peut atteindre la suite indéfinie des nombres, mais seulement une portion plus ou moins longue mais toujours limitée de cette suite.

Or, s'il ne s'agissait que de cela, le principe de contradiction suffirait, il nous permettrait toujours de développer autant de syllogismes que nous voudrions, c'est seulement quand il s'agit d'en enfermer une infinité dans une seule formule, c'est seulement devant l'infini que ce principe échoue, c'est également là que l'expérience devient impuissante. Cette règle, inaccessible à la démonstration analytique et à l'expérience, est le véritable type du jugement synthétique a priori. On ne saurait d'autre part songer à y voir une convention, comme pour quelques-uns des poslulats de la géométrie.

Pourquoi donc ce jugement s'impose-t-il à nous avec une irrésistible évidence? C'est qu'il n'est que l'affirmation de la puissance de l'esprit qui se sait