L OPTIQUE ET L ÉLECTRICITÉ

Deux théories contradictoires peuvent en effet, | pourvu qu'on ne les mêle pas, et qu'où n'y cherche pas le fond des choses, être toutes deux d utiles instrumenta de recherches, et peut-être la lecture de Maxwell serait-elle moins suggestive s il ne nous avait pas ouvert tant de voies nouvelles divergentes.

Mais l'idée fondamentale se trouve de la sorte un peu masquée. Elle Test si bien, que dans la plupart des ouvrages de vulgarisation, elle est le seul point qui soit complètement laissé de

côté. . .

Je crois donc devoir, pour en mieux faire ressortir l'importance, expliquer en quoi consiste cette idée fondamentale. Mais pour cela une courte digression est nécessaire.

De l'explication mécanique des phénomènes physiques. — Dans tout phénomène physique, H y a un certain nombre de paramètres que l'expérience atteint directement et qu'elle permet de mesurer. Je les appellerai les paramètres q.

L'observation nous fait connaître ensuite les lois des variations de ces paramètres et ces lois peuvent généralement se mettre sous la forme d'équations différentielles qui lient entre eux les paramètres q et le temps.

Que faut-il faire pour donner une interprétation mécanique d'un pareil phénomène?

On cherchera à l'expliquer soit par les mouve-

ments de la matière ordinaire, soit par ceux d'un ou de plusieurs fluides hypothétiques.

Ces fluides seront considérés comme formés d'un très grand nombre de molécules isolées m.

Quand dirons-nous alors que nous avons une explication mécanique complète du phénomène? Ce sera d'une part quand nous connaîtrons les équations différentielles auxquelles satisfont les coordonnées de ces molécules hypothétiques m, équations qui d'ailleurs devront être conformes aux principes de la dynamique; et d'autre part quand nous connaîtrons les relations qui définissent les coordonnées des molécules m en fonctions des paramètres q, accessibles à l'expérience.

Ces équations, je l'ai dit, doivent être conformes aux principes de la dynamique et en particulier au principe de la conservation de l'énergie et au principe de moindre action.

Le premier de ces deux principes nous apprend que l'énergie totale est constante et que celte énergie se divise en deux parties : .

1° L'énergie cinétique ou force vive, qui dépend des masses des molécules hypothétiques m et de leurs vitesses, et que j'appellerai T;

2° Et l'énergie potentielle qui dépend seulement des coordonnées de ces molécules et que j'appellerai U. C'est la somme des deux énergies T et U qui est constante.

Que nous enseigne maintenant le principe de moindre action? U nous enseigne que pour passer de la situation initiale qu'il occupe à l'instant tQ à

l'optique et l'électricité g>*

la situation finale qu'il occupe à l'instant t le système doit prendre un chemin tel que, dans in en aile de temps qui s'écoule entre les deux s ai s et h la valeur moyenne de « l'action » ÏLre de la différence entre les deux énerves T et U) soit aussi petite que possible. Le premier des deux principes est d'ailleurs une conséquence du second.

Si l'on connaît les deux fonctions T et U, ce principe suffit pour déterminer les équations du

mouvement. .

Parmi tous les chemins qui permettent de passer d'une situation à une autre, il y en a évidemment un pour lequel la valeur moyenne de action est plus petite que pour tous les autres. Il n y en a d'ailleurs qu'un, et il en résulte que le principe de moindre action suffit pour déterminer le chemin suivi et par conséquent les équations du mouvement. .

On obtient ainsi ce qu'on appelle les équations

de Lagrange.

Dans ces équations, les variables indépendantes sont les coordonnées des molécules hypothétiques m; mais je suppose maintenant que l'on prenne pour variables les paramètres q directement accessibles à l'expérience.

Les deux parties de l'énergie devront alors s exprimer en fonction des paramètres q et de leurs dérivées; ce sera évidemment sous cette forme qu'elles apparaîtront à l'expérimentateur. Celui-ci cherchera naturellement à définir l'énergie poten-

LA SCIENCE ET l'uYPOTHÈSE

tielle et l'énergie cinélique à l'aide des quantités qu'il peut directement observer1.

Cela posé, le système ira toujours d'une situation à une autre par un chemin tel que l'action moyenne soit minima.

Peu importe que T et U soient maintenant exprimés à l'aide des paramètres q et de leurs dérivées; peu importe que ce soit également par le moyen de ces paramètres que nous définissions les situations initiale et finale ; le principe de moindre action reste toujours vrai.

Or, ici encore, de tous les chemins qui mènent d'une situation à une autre, il y en a un pour lequel l'action moyenne est minima et il n'y en a qu'un. Le principe de moindre action suffit donc pour déterminer les équations différentielles qui définissent les variations des paramètres q.

Les équations ainsi obtenues sont une autre forme des équations de Lagrange.

Pour former ces équations, nous n'avons pas besoin de connaître les relations qui lient les paramètres q aux coordonnées des molécules hypothétiques, ni les masses de ces molécules, ni l'expression de U en fonction des coordonnées de ces molécules. Tout ce que nous avons besoin de connaître, c'est l'expression de U en fonction des q et celle de T en fonction des q et de leurs dérivées, c'est-àdire les expressions de l'énergie cinétique et de

1. Ajoutons que U dépendra seulement des 7, que T dépendra des q et de leurs dérivées par rapport au temps et sera un polynôme homogène du second degré par rapport à ces dérivées.

l'optique et l'électricité 255 Lnergie potentielle en fonctions des données

cU -o t^n.ble des fonctions T et U, les équa "ons de Lagrange, construites comme nous venon de le dire, seront identiques aux équation diffe rentieWes déduites des expériences; ou bien il S a pas de fonctions T et U, pour lesquelles cet' accord ait lieu. Dans ce dernier cas il est clair qu'aucune explication mécanique n esx

P°Labcondition nécessaire pour qu'une explication mécanique soit possible, c'estdonc que l'on puisse choisir les fonctions T et U, de façon a satisfaire au principe de la moindre action, entraînant celui de la conservation de l'énergie.

Cette condition est d'ailleurs suffisante; supposons en effet qu'on ait trouvé une fonction U des paramètres g, qui représente une des parties de l'énergie, qu'une autre partie de l'énergie que nous représenterons par T soit une fonction des q et de leurs dérivées, et qu'elle soit un polynôme homogène du second degré par rapporta ces dérivées; et enfin que les équations de Lagrange formées a l'aide de ces deux fonctions T et U soient conformes aux données de l'expérience.

Que faut-il pour déduire de là une explication mécanique? Il faut que U puisse être regardé comme l'énergie potentielle d'un système et T comme la force vive de ce même système.

Pas de difficulté en ce qui concerne U ; mais T

pourra-t-il être regardé comme la force vive d'un syslème malériel?

Il est aisé de montrer que cela est toujours possible, et même d'une infinité de manières. Je me bornerai à renvoyer pour plus de détails à la préface de mon ouvrage : Electricité et optique.

Ainsi si on ne peut pas satisfaire au principe de moindre action, il n y a pas d'explication mécanique possible; si on y peut satisfaire, il y en a non seulement une, mais une infinité, d'où il résulte que dès qu'il y en a une, il y en a une infinité d'autres.

Une observation encore.

Parmi les quantités que l'expérience nous fait directement atteindre, nous regarderons les unes comme des fonctions des coordonnées de nos molécules hypothétiques ; ce sont celles-là qui seront nos paramètres q\ nous envisagerons les autres comme dépendant non seulement des coordonnées, mais des vitesses, ou, ce qui revient au môme, des dérivées des paramètres </, ou comme des combinaisons de ces paramètres et de leurs dérivées.

Et alors une question se pose : parmi toutes ces quantités mesurées expérimentalement, quelles sont celles que nous choisirons pour représenter les paramètres ql Quelles sont celles que nous préférerons regarder comme les dérivées de ces paramètres? Ce choix reste arbitraire dans une très large mesure, mais il suffit qu'on puisse le faire de façon à rester d'accord avec le principe de moindre

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l'optique et l'électricité action pour qu'une explication mécanique soit

^falors Maxwell s'est demandé s'il pouvait faire ce choix et celui des deux énergies T et U, de façon que les phénomènes électriques satisfassent a ce principe! L'expérience nous montre que l'énergie d'un champ électromagnétique se décompose en. deux parties, l'énergie électrostatique et 1 énergie électrodynamique. Maxwell a reconnu que s. Ion regarde la première comme représentant 1 énergie potentielle U. la seconde comme représentant l'énergie cinétique T; si, d'autre part, les charges électrostatiques des conducteurs sont considérées comme des paramètres q et les intensités de courants comme les dérivées d'autres paramètres q; dans ces conditions, dis-je, Maxwell a reconnu que les phénomènes électriques satisfont au principe de moindre action. Il était certain, dès lors, de la possibilité d une explication mécanique.

S'il avait exposé cette idée au début de son livre au lieu de la reléguer dans un coin du second volume, elle n'aurait pas échappé à la plupart des lecteurs.

Si donc un phénomène comporte une explication mécanique complète, il en comportera une infinité d'autres qui rendront également bien compte de toutes les particularités révélées par

l'expérience.

Et cela est confirmé par l'histoire de toutes les parties de la physique; en optique, par exemple, Fresnel croit la vibration perpendiculaire au plan

de polarisation ; Newmann la regarde comme parallèle à ce plan. On a cherché longtemps un « experimentum crucis » qui permit de décider entre ces deux théories et on n'a pu le trouver.

De même, sans sortir du domaine de l'électricité, nous pouvons constater que la théorie des deux fluides et celle du fluide unique rendent toutes deux compte d'une façon également satisfaisante de toutes les lois observées en électrostatique.

Tous ces faits s'expliquent aisément, grâce aux propriétés des équations de Lagrange que je viens de rappeler.

Il est facile de comprendre maintenant quelle est l'idée fondamentale de Maxwell.

Pour démontrer la possibilité d'une explication mécanique de l'électricité, nous n'avons pas à nous préoccuper de trouver cette explication elle-même, il nous suffit de connaître l'expression des deux fondions T et U, qui sont les deux parties de l'énergie, de former avec ces deux fondions les équations de Lagrange et de comparer ensuite ces équations avec les lois expérimentales.

Entre toutes ces explications possibles, comment faire un choix pour lequel le secours de l'expérience nous fait défaut? Un jour viendra peut-être où les physiciens se désintéresseront de ces questions, inaccessibles aux méthodes positives, et les abandonneront aux métaphysiciens. Ce jour n'est pas venu; l'homme ne se résigne pas si aisément à ignorer éternellement le fond des choses.