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large mesure. Pourtant elle ne l'est pas complètement. Elle est assujettie à certaines conditions et par exemple aux règles de commutativité et d'associativité de l'addition. Mais pourvu que la définition choisie satisfasse à ces règles, le choix est indifférent et il est inutile de le préciser.

Remarques diverses. — Nous pouvons nous poser plusieurs questions importantes :

1° La puissance créatrice de l'esprit est-elle épuisée par la création du continu mathématique?

Non : les travaux de Du Bois-Reymond le démontrent d'une manière frappante.

On sait que les mathématiciens distinguent des infiniments petits de différents ordres et que ceux du deuxième ordre sont infiniment petits non seulement d'une manière absolue, mais encore par rapport à ceux du premier ordre. Il n'est pas difficile d'imaginer des infiniment petits d'ordre fractionnaire ou même irrationnel, et nous retrouvons ainsi cette échelle du continu mathématique qui a fait l'objet des pages qui précèdent.

Mais il y a plus; il existe des infiniment petits qui sont infiniment petits par rapport à ceux du premier ordre et infiniment grands, au contraire, par rapport à ceux de l'ordre 1 + e, et cela quelque petit que soit e. Voilà donc des termes nouveaux intercalés dans notre série, et si l'on veut me permettre de revenir au langage que j'employais tout à l'heure et qui est assez commode, bien qu'il ne soit pas consacré par l'usage, je

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dirai que l'on a créé ainsi une sorte de continu du troisième ordre.

II serait aisé d'aller plus loin, mais ce serait un vain jeu de l'esprit; on n'imaginerait que des symboles sans application possible, et personne ne s'en avisera. Le continu du troisième ordre auquel conduit la considération des divers ordres d'infiniment petits est lui-même trop peu utile pour avoir conquis droit de cité, et les géomètres ne le regardent que comme une simple curiosité. L'esprit n'use de sa faculté créatrice que quand l'expérience lui en impose la nécessité.

2° Une fois en possession du concept du continu mathématique, est-on à l'abri de contradictions analogues à celles qui lui ont donné naissance?

Non, et j'en vais donner un exemple.

Il faut être bien savant pour ne pas regarder comme évident que toute courbe a une tangente : et en effet si l'on se représente cette courbe et une droite comme deux bandes étroites, on pourra toujours les disposer de façon qu'elles aient une partie commune sans se traverser. Que l'on imagine ensuite la largeur de ces deux bandes diminuant indéfiniment, cette partie commune pourra toujours subsister et, à la limite pour ainsi dire, les deux lignes auront un point commun sans se traverser, c'est-à-dire qu'elles se toucheront.

Le géomètre qui raisonnerait de la sorte, consciemment ou non, ne ferait pas autre chose que ce que nous avons fait plus haut pour démontrer que deux lignes qui se traversent ont un

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point commun, et son intuition pourrait paraître tout aussi légitime.

Elle le tromperait cependant. On peut démontrer qu'il y a des courbes qui n'ont pas de tangente, si cette courbe est définie comme un continu analytique de deuxième ordre.

Sans doute quelque artifice analogue à ceux que nous avons étudiés plus haut aurait permis de lever la contradiction; mais, comme celle-ci ne se rencontre que dans des cas très exceptionnels, on ne s'en est pas préoccupé. Au lieu de chercher à concilier l'intuition avec l'analyse, on s'est contenté de sacrifier l'une des deux, et comme l'analyse doit rester impeccable, c'est à l'intuition que l'on a donné tort.

Le continu physique à plusieurs dimensions.

— J'ai étudié plus haut le continu physique tel qu'il ressort des données immédiates de nos sens, ou, si l'on veut, des résultats bruts des expériences de Fechner ; j'ai montré que ces résultats sont résumés dans les formules contradictoires.

Voyons maintenant comment cette notion s'est généralisée et comment a pu en sorlir le concept des continus à plusieurs dimensions.

Considérons deux ensembles quelconques de sensations. Ou bien nous pourrons les discerner l'un de l'autre, ou bien nous ne le pourrons pas,

de même que dans les expériences de Fechner un poids de 10 grammes pouvait se distinguer d'un poids de 12 grammes, mais pas d'un poids de 11 grammes. Je n'ai pas besoin d'autre chose pour construire le continu à plusieurs dimensions.

Appelons élément un de ces ensembles de sensations. Ce sera quelque chose d'analogue au point des mathématiciens; ce ne sera pas tout à fait la même chose cependant. Nous ne pouvons pas dire que notre élément soit sans étendue, puisque nous ne savons pas le distinguer des éléments voisins et qu'il est ainsi entouré d'une sorte de brouillard. Si l'on veut me permettre cette comparaison astronomique, nos « éléments » seraient comme des nébuleuses, tandis que les points mathématiques seraient comme des étoiles.

Cela posé, un système d'éléments formera un continu, si l'on peut passer d'un quelconque d'entre eux à un autre également quelconque, par une série d'éléments consécutifs enchaînés de telle sorte que chacun d'eux ne puisse se discerner du précédent. Cette chaîne est à la ligne du mathématicien ce qu'un élément isolé était au point.

Avant d'aller plus loin, il faut que j'explique ce que c'est qu'une coupure. Envisageons un continu C et enlevons-lui certains de ses éléments que pour un instant nous regarderons comme n'appartenant plus à ce continu. L'ensemble des éléments ainsi enlevés s'appellera une coupure. Il pourra se faire que grâce à cette coupure, C soit subdivisé en plusieurs continus distincts, l'ensemble des élé-

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ments restants cessant de former un continu unique.

Alors il y aura sur C deux éléments, A et B, que l'on devra regarder comme appartenant à deux continus distincts et on le reconnaîtra parce qu'il sera impossible de trouver une chaîne d'éléments consécutifs de C partant de A et allant en B, et chaque élément étant indiscernable du précédent, à moins que l'un des éléments de cette chaîne ne soit indiscernable de Vun des éléments de la coupure et ne doive -par suitei être exclu.

Il pourra se faire au contraire que la coupure établie soit insuffisante pour subdiviser le continu G. Pour classer les continus physiques, nous examinerons précisément quelles sont les coupures qu'il est nécessaire d'y faire pour les subdiviser.

Si on peut subdiviser un continu physique G par une coupure se réduisant à un nombre fini d'éléments tous discernables les uns des autres (et ne formant par conséquent ni un continu, m plusieurs continus), nous dirons que C est un continu à une dimension.

Si au contraire C ne peut être subdivisé que pàr des coupures qui soient elles-mêmes des continus, nous dirons que C a plusieurs dimensions. S il suffit de coupures qui soient des continus a une dimension, nous dirons que G a deux dimensions; s'il suffit de coupures- à deux dimensions, nous dirons que C a trois dimensions, et ainsi de suite.

Ainsi se trouve définie la notion du continu phy-

sique à plusieurs dimensions, grâce à ce fait très simple que deux ensembles de sensations peuvent être discernables ou indiscernables.

Le continu mathématique à plusieurs dimensions. — Celle du continu mathématique à n dimensions en est sortie tout naturellement par un processus tout [pareil à celui que nous avons étudié au début de ce chapitre. Un point d'un pareil continu nous apparaît, on le sait, comme défini par un système de n grandeurs dictinctes que l'on appelle ses coordonnées.

Il n'est pas toujours nécessaire que ces grandeurs soient mesurables et il y a par exemple une branche de la géométrie où on fait abstraction de la mesure de ces grandeurs, où on se préoccupe seulement de savoir par exemple si sur une courbe ABC, le point B est entre les points A et C et non de savoir si l'arc A B est égal à l'arc B C ou s'il est deux fois plus grand. C'est ce qu'on appelle YAnalysù Silus.

C'est tout un corps de doctrine qui a attiré l'attention des plus grands géomètres et où l'on voit sortir les uns des autres une série de Lhéorèmes remarquables. Ce qui distingue ces théorèmes de ceux de la géométrie ordinaire, c'est qu'ils sont purement qualitatifs et qu'ils resteraient vrais si les figures étaient copiées par un dessinateur malhabile qui en altérerait grossièrement les proportions et remplacerait les droites par un trait plus ou moins courbe.

C'est quand on a voulu introduire la mesure dans le continu que nous venons de définir que ce continu est devenu l'espace et que la géométrie est née. Mais je réserve cette étude pour la deuxième partie.