LÀ FORCE

Les Anglais enseignent la mécanique comme une science expérimentale ; sur le continent, on l'expose toujours plus ou moins comme une science déductive et à priori. Ce sont les Anglais qui ont raison, cela va sans dire ; mais comment a-t-on pu persévérer si longtemps dans d'autres errements ? Pourquoi les savants continentaux, qui ont cherché à échapper aux habitudes de leurs devanciers, n'ont-ils pas pu le plus souvent s'en affranchir complètement?

D'autre part, si les principes de la mécanique n'ont d'autre souroe que l'expérience, ne sont-ils donc qu'approchés et provisoires ? Des expériences

nouvelles ne pourront-elles un jour nous conduire à les modifier ou môme à les abandonner ?

Telles sont les questions qui se posent naturellement, et la difficulté de la solution provient principalement de ce que les traités de mécanique ne distinguent pas bien nettement ce qui est expérience, ce qui est raisonnement mathématique, ce qui est convention, ce qui est hypothèse.

Ce n'est pas tout :

1° Il n'y a pas d'espace absolu et nous ne concevons que des mouvements relatifs ; cependant on énonce le plus souvent les faits mécaniques comme s'il y avait un espace absolu auquel on pourrait les rapporter ;

2° Il n'y a pas de temps absolu ; dire que deux durées sont égales, c'est une assertion qui n'a par elle-même aucun sens et qui n'en peut acquérir un que par convention ;

3° Non seulement nous n'avons pas l'intuition directe de l'égalité de deux durées, mais nous n'avons même pas celle de la simultanéité de deux événements qui se produisent sur des théâtres différents ; c'est ce que j'ai expliqué dans un article intitulé la Mesure du temps1]

4° Enfin notre géométrie euclidienne n'est ellemême qu'une sorte de convention de langage; nous pourrions énoncer les faits mécaniques en les rapportant à un espace non euclidien qui serait un repère moins commode, mais tout aussi légi-

1. Revue de Métaphysique et de Morale, t. VI, p. 1-13 (janvier 1898) ; voir aussi la Valeur de la Science, chapitre II

time que notre espace ordinaire ; l'énoncé deviendrait ainsi beaucoup plus compliqué ; mais il resterait possible.

Ainsi l'espace absolu, le temps absolu, la géométrie même ne sont pas des conditions qui s'imposent à la mécanique ; toutes ces choses ne préexistent pas plus à la mécanique que la langue française ne préexiste logiquement aux vérités que Ton exprime en français.

On pourrait chercher à énoncer les lois fondamentales dé la mécanique dans un langage qui serait indépendant de toutes ces conventions ; on se rendrait mieux compte ainsi sans doute de ce que ces lois sont en soi ; c'est ce que M. Andrade a tenté de faire, au moins en partie, dans ses Leçons de Mécanique physique.

L'énoncé de ces lois deviendrait bien entendu beaucoup plus compliqué, puisque toutes ces conventions ont été précisément imaginées pour abréger et simplifier cet énoncé.

Quant à moi, sauf en ce qui concerne l'espace absolu, je laisserai de côté toutes ces difficultés ; non que je les méconnaisse, loin de là; mais nous les avons suffisamment examinées dans les deux premières parties.

J'admettrai donc provisoirement le temps absolu et la géométrie euclidienne.

Le Principe d'inertie. — Un corps qui n'est soumis à aucune force ne peut avoir qu'un mouvement rectiligne et uniforme.

Est-ce là une vérité qui s'impose à priori à l'esprit ? S'il en était ainsi, comment les Grecs Fauraient-ils méconnue ? Comment auraient-ils pu croire que le mouvement s'arrête dès que cesse la cause qui lui avait donné naissance? ou bien encore que tout corps, si rien ne vient le contrarier, prendra un mouvement circulaire, le plus noble de tous les mouvements?

Si Ton dit que la vitesse d'un corps ne peut changer, s'il n'y a pas de raison pour qu'elle change, ne pourrait-on soutenir tout aussi bien que la position de ce corps ne peut changer, ou que la courbure de sa trajectoire ne peut changer, si une cause extérieure ne vient les modifier?

Le principe d'inertie, qui n'est pas une vérité à priori, est-il donc un fait expérimental ? Mais a-t-on jamais expérimenté sur des corps soustraits à l'action dé toute force, et si on Ta fait, comment a-t-on su que ces corps n'étaient soumis à aucune force? On cite ordinairement l'exemple d'une bille roulant un temps très long sur une table de marbre ; mais pourquoi disons-nous qu'elle n'est soumise à aucune force? Est-ce parce qu'elle est trop éloignée de tous les autres corps pour pouvoir en éprouver aucune action sensible ? Elle n'est pas cependant plus loin de la terre que si on la lançait librement dans l'air ; et chacun sait que dans ce cas elle subirait l'influence de la pesanteur due à l'attraction de la terre.

Les professeurs de mécanique ont l'usage de passer rapidement sur l'exemple de la bille ; mais

ils ajoutent que le principe d'inertie est vérifié indirectement par ses conséquences. Ils s'expriment mal ; ils veulent dire évidemment que Ton peut vérifier diverses conséquences d'un principe plus général, dont celui de l'inertie n'est qu'un cas particulier.

Je proposerai pour ce principe général l'énoncé suivant :

L'accélération d'un corps ne dépend que de la position de ce corps et des corps voisins et de leurs vitesses.

Les mathématiciens diraient que les mouvements de toutes les molécules matérielles de l'univers dépendent d'équations différentielles du second ordre.

Pour faire comprendre que c'est bien là la généralisation naturelle de la loi d'inertie, je demanderai qu'on me permette une fiction. La loi d'inertie, je l'ai dit plus haut , ne s'impose pas à nous à priori ; d'autres lois seraient, tout aussi bien qu'elle, compatibles avec le principe de raison suffisante. Si un corps n'est soumis à aucune force, au lieu de supposer que sa vitesse ne change pas. on pourrait supposer que c'est sa position, ou encore son accélération qui ne doit pas changer.

Eh bien, imaginons pour un instant que l'une de ces deux lois hypothétiques soit celle de ta nature et remplace notre loi d'inertie. Quelle en serait la généralisation naturelle? Une minute de réflexion nous le fera voir.

Dans le premier cas, on devrait supposer que

la vitesse d'un corps ne dépend que de sa position et de celle des corps voisins; dans le second cas, que la variation de l'accélération d'un corps ne dépend que de la position de ce corps et des corps voisins, de leurs vitesses et de leurs accélérations.

Ou bien, pour parler le langage mathématique, les équations différentielles du mouvement seraient du premier ordre dans le premier cas, et du troisième ordre dans le deuxième cas.

Modifions un peu notre fiction. Je suppose un monde analogue à notre système solaire, mais où, par un singulier hasard, les orbites de toutes les planètes soient sans excentricité et sans inclinaison. Je suppose de plus que les masses de ces planètes soient trop faibles pour que leurs perturbations mutuelles soient sensibles. Les astronomes qui habiteraient Tune de ces planètes ne manqueraient pas de conclure que l'orbite d'un astre ne peut être que circulaire et parallèle à un certain plan ; la position d'un astre à un instant donné suffirait alors pour déterminer sa vitesse et toute sa trajectoire. La loi d'inertie qu'ils adopteraient serait la première des deux lois hypothétiques dont je viens de parler.

Imaginons maintenant que ce système vienne un jour à être traversé avec une grande vitesse par un corps de grande masse, venu de constellations lointaines. Toutes les orbites seront profondément troublées. Nos astronomes ne seraient pas encore trop étonnés ; ils devineraient bien que cet astre nouveau est seul coupable de tout le mal.

Mais, diraient-ils, quand il se sera éloigné, Tordre se rétablira de lui-même; sans aucun doute les distances des planètes au soleil ne redeviendront pas ce qu'elles étaient avant le cataclysme, mais quand l'astre perturbateur ne sera plus là, les orbites redeviendront circulaires.

Ce serait seulement quand le corps troublant serait loin et quand cependant les orbites, au lieu de redevenir circulaires, deviendraient elliptiques, ce serait alors seulement que ces astronomes s'apercevraient de leur erreur et delà nécessité de refaire toute leur mécanique.

J'ai un peu insisté sur ces hypothèses; car il me semble qu'on ne peut bien comprendre ce que c'est que notre loi d'inertie généralisée, qu'en l'opposant à une hypothèse contraire.

Eh bien maintenant, cette loi d'inertie généralisée, a-t-elle été vérifiée par l'expérience et peutelle l'être ? Quand Newton a écrit les Principes, il regardait bien cette vérité comme acquise et démontrée expérimentalement. Elle l'était à ses yeux, non seulement par l'idole anthropomorphique dont nous reparlerons, mais par les travaux de Galilée. Elle l'était aussi par les lois de Kepler elles-mêmes; d'après ces lois, en effet, la trajectoire d'une planète est entièrement déterminée par sa position et par sa vitesse initiales ; c'est bien là ce qu'exige notre principe d'inertie généralisé.

Pour que ce principe ne fût vrai qu'en apparence, pour qu'on pût craindre d'avoir un jour à

le remplacer par un des principes analogues que je lui opposais tout à l'heure, il faudrait que nous eussions été trompés par quelque surprenant hasard, comme celui qui, dans la fiction que je développais plus haut, avait induit en erreur nos astronomes imaginaires.

Une pareille hypothèse est trop invraisemblable pour que Ton s'y arrête. Personne ne croira qu'il puisse y avoir de tels hasards ; sans doute la probabilité pour que deux excentricités soient précisément toutes deux nulles, aux erreurs près d'observation, n'est pas plus petite que la probabilité pour que l'une soit précisément égale à 0,1 par exemple et l'autre à 0,2 aux erreurs près d'observation. La probabilité d'un événement simple n'est pas plus petite que celle d'un événement compliqué ; et pourtant si le premier se produit, nous ne voudrons pas croire que la nature ait fait exprès de nous tromper. L'hypothèse d'une erreur de ce genre étant écartée, on peut donc admettre qu'en ce qui concerne l'astronomie, notre loi a été vérifiée par l'expérience.

Mais l'astronomie n'est pas la physique tout entière.

Ne pourrait-on craindre que quelque expérience nouvelle ne vînt un jour mettre la loi en défaut dans quelque canton de la Physique? Une loi expérimentale est toujours soumise à la revision ; on doit toujours s'attendre à la voir remplacée par une autre loi plus précise.

Personne cependant ne redoute sérieusement

que celle dont nous parlons doive être jamais abandonnée ou amendée. Pourquoi ? Précisément parce qu'on ne pourra jamais la soumettre à une épreuve décisive.

Tout d'abord, pour que cette épreuve fût complète, il faudrait qu'après un certain temps tous les corps de l'univers reviennent à leurs positions initiales avec leurs vitesses initiales. On verrait alors si, à partir de ce moment, ils reprennent les trajectoires qu'ils ont déjà suivies une fois.

Mais cette épreuve est impossible, on ne peut la faire que partiellement, et, si bien qu'on la fasse, il y aura toujours quelques corps qui ne reviendront pas à leur position initiale ; ainsi toute dérogation à la loi trouvera facilement son explication.

Ce n'est pas tout : en Astronomie, nous voyons les corps dont nous étudions les mouvements, et nous admettons le plus souvent qu'ils ne subissent pas l'action d'autres corps invisibles. Dans ces conditions, il faut bien que notre loi se vérifie ou ne se vérifie pas.

Mais en Physique, il n'en est pas de même : si les phénomènes physiques sont dus à des mouvements, c'est aux mouvements de molécules que nous ne voyons pas. Si alors l'accélération d'un des corps que nous voyons nous paraît dépendre d'autre chose que des positions ou des vitesses des autres corps visibles ou des molécules invisibles dont nous avons été amenés antérieurement à admettre l'existence, rien ne nous empêchera de

supposer que cette autre chose est la position ou la vitesse d'autres molécules dont nous n'avions pas jusque-là soupçonné la présence. La loi se trouvera sauvegardée.

Qu'on me permette d'employer un instant le langage mathématique pour exprimer la môme pensée sous une autre forme. Je suppose que nous observions n molécules et que nous constations que leurs 3w coordonnées satisfont à un système de 3n équations différentielles du quatrième ordre (et non du deuxième ordre, comme l'exigerait la loi d'inertie). Nous savons qu'en introduisant 3 n varia,bles auxiliaires, un système de 3n équations du quatrième ordre peut être ramené à un système de 6n équations de deuxième ordre. Si alors nous supposons que ces 3 n variables auxiliaires représentent les coordonnées de n molécules invisibles, le résultat est de nouveau conforme à la loi d'inertie.

En résumé, cette loi, vérifiée expérimentalement dans quelques cas particuliers, peut être étendue sans crainte aux cas les plus généraux, parce que nous savons que dans ces cas généraux l'expérience ne peut plus ni la confirmer, ni la contredire.

La loi de l'accélération. — L'accélération d'un corps est égale à la force qui agit sur lui divisée par sa masse.

Cette loi peut-elle être vérifiée par l'expérience? Pour cela, il faudrait mesurer les trois grandeurs qui figurent dans l'énoncé : accélération, force et masse.

120 LA SCIENCE ET i/HYPOTHÈSE

J'admets qu'on puisse mesurer l'accélération, parce que je passe sur la difficulté provenant de la mesure du temps. Mais comment mesurer la force, ou la masse? Nous ne savons même pas ce que c'est.

Qu'est-ce que la masse? C'est, répond Newton, le produit du volume par la densité. — Il vaudrait mieux dire, répondent Thomson et Tait, que la densité est le quotient de la masse/par le volume. — Qu'est-ce que la force? C'est, répond Lagrange, une cause qui produit le mouvement d'un corps ou qui tend à le reproduire. — C'est, dira Kirchhoff, le produit de la masse par Y accélération. Mais alors, pourquoi ne pas dire que la masse est le quotient de la force par l'accélération?

Ces difficultés sont inextricables.

Quand on dit que la force est la cause d'un mouvement, on fait de la métaphysique, et cette définition, si on devait s'en contenter, serait absolument stérile. Pour qu'une définition puisse servir à quelque chose, il faut qu'elle nous apprenne à mesurer la force; bêla suffit d'ailleurs, il n'est nullement nécessaire qu'elle nous apprenne ce que c'est que la force en soi, ni si elle est la cause ou l'effet du mouvement.

Il faut donc définir d'abord l'égalité de deux forces. Quand dira-t-on que deux forces sont égales? C'est, répondra-t-on, quand, appliquées à une même masse, elles lui impriment une même accélération, ou quand, opposées directement l'une à l'autre, elles se font équilibre. Cette définition

n'est qu'un trompe-l'œil. On ne peut pas décrocher une force appliquée à un corps pour l'accrocher à un autre corps, comme on décroche une locomotive pour l'atteler à un autre train. Il est donc impossible de savoir quelle accélération telle force, appliquée à tel corps, imprimerait à tel autre corps, si elle lui était appliquée. Il est impossible de savoir comment se comporteraient deux forces qui ne sont pas directement opposées, si elles étaient directement opposées.

C'est cette définition que Ton cherche à matérialiser, pour ainsi dire, quand on mesure une force avec un dynamomètre, ou en l'équilibrant par un poids. Deux forces F et F', que je supposerai verticales et dirigées de bas en haut pour simplifier, sont respectivement appliquées à deux corps G et C; je suspends un même corps pesant P d'abord au corps C, puis au corps G'; si l'équilibre.a lieu dans les deux cas, je conclurai que les deux forces F et F' sont égales entre elles, puisqu'elles sont égales toutes deux au poids du corps P.

Mais suis-je sûr que le corps P a conservé le même poids quand je l'ai transporté du premier corps au second? Loin de là, je suis sûr du contrai?^; je sais que l'intensité de la pesanteur varie d'un point à un autre, et qu'elle est plus forte, par exemple, au pôle qu'à Téquateur. Sans doute la différence est très faible et, dans la pratique, je n'en tiendrai pas compte, mais une définition bien faite devrait avoir une rigueur mathématique;

cette rigueur n'existe pas. Ce que je dis du poids s'appliquerait évidemment à la force du ressort d'un dynamomètre, que la température et une foule de circonstances peuvent faire varier.

Ce n'est pas tout : on ne peut pas dire que le poids du corps P soit appliqué au corps C et équilibre directement la force F. Ce qui est appliqué au corps C, c'est l'action A du corps P sur le corps C; le corps P est soumis de son côté, d'une part à son poids, d'autre part à la réaction R du corps C sur P. En définitive, la force F est égale à la force A, parce qu'elle lui fait équilibre ; la force A est égale à R, en vertu du principe de l'égalité de l'action et de la réaction ; enfin, la force Pt est égale au poids de P, parce qu'elle lui fait équilibre. C'est de ces trois égalités que nous déduisons comme conséquence l'égalité de F et du poids de P.

Nous sommes donc obligés de faire intervenir dans la définition de l'égalité de deux forces, le principe même de l'égalité de l'action et de la réaction; à ce compte, ce principe ne devrait plu$ être regardé comme une loi expérimentale, mais comme une définition.

Nous voici donc, pour reconnaître l'égalité de deux forces, en possession de deux règles : égalité de deux forces qui se font équilibre; égalité de l'action et de la réaction. Mais, nous Pavons vu plus haut, ces deux règles sont insuffisantes; nous sommes obligés de recourir à une troisième règle et d'admettre que certaines forces comme, par

exemple, le poids d'un corps, sont constantes en grandeur et en direction. Mais cette troisième règle, je Pai dit, est une loi expérimentale; elle n'est qu'approximativement vraie ; elle est une mauvaise définition.

Nous sommes donc ramenés à la définition de Kirchhoff : la force est égale à la masse multipliée par r accélération. Cette « loi de Newton » cesse à son tour d'être regardée comme une loi expérimentale, elle n'est plus qu'une définition. Mais cette définition est encore insuffisante, puisque nous ne savons pas ce que c'est que la masse. Elle nous permet sans doute de calculer le rapport de deux forces appliquées à un même corps à des instants différents; elle ne nous apprend rien sur le rapport de deux forces appliquées à deux corps différents.

Pour la compléter, il faut de nouveau recourir à la troisième loi de Newton (égalité de l'action et de Ja réaction), regardée encore, non comme une loi expérimentale, mais comme une définition. Deux corps A et B agissent l'un sur l'autre; l'accélération de A multipliée par la masse de A est égale à l'action de B sur A; de même, le produit de l'accélération de B par sa masse est égal à la réaction de A sur B. Comme, par définition, l'action est égale à la réaction, les masses de A et de B sont en raison inverse des accélérations de ces deux corps. Voilà le rapport de ces deux masses défini et c'est à l'expérience à vérifier que ce rapport es* constant.

124 LA SCIENCE ET i/HYPOTHÈSE

Gela serait très bien si les deux corps A et B étaient seuls en présence' et soustraits à l'action du reste du monde. Il n'en est rien; l'accélération de A n'est pas due seulement à l'action de B, mais à celle d'une foule d'autres corps G, D... Pour appliquer la règle précédente, il faut donc décomposer l'accélération de A en plusieurs composantes, et discerner quelle est celle de ces composantes qui est due à l'action de B.

Cette décomposition serait encore possible, si nous admettions que l'action de G sur A s'ajoute simplement à celle de B sur A, sans que la présence du corps C modifie l'action de B sur A, ou que la présence de B modifie l'action de G sur A; si nous admettions, par conséquent, que deux corps quelconques s'attirent, que leur action mutuelle est dirigée suivant la droite qui les joint et ne dépend que de leur distance; si nous admettions, en un mot, l'hypothèse des forces centrales.

On sait que, pour déterminer les masses des corps célestes, on se sert d'un principe tout différent. La loi de la gravitation nous apprend que l'attraction de deux corps est proportionnelle à leurs masses; si r est leur distance, m et m' leurs masses, k une constante, leur attraction sera

kmrn!

Ce qu'on mesure alors, ce n'est pas la masse, rapport de la force à l'accélération, c'est la masse

attirante; ce n'est pas l'inertie du corps, c'est son pouvoir attirant.

C'est là un procédé indirect, dont l'emploi n'est pas théoriquement indispensable. Il aurait très bien pu se faire que l'attraction fût inversement proportionnelle au carré de la distance, sans être proportionnelle au produit des masses, qu'elle fût égale à :

mais sans que Ton eût :

f=kmm'.

S'il en était ainsi, on pourrait néanmoins, par l'observation des mouvements relatifs des corps célestes mesurer les masses de ces corps.

Mais avons-nous le droit d'admettre l'hypothèse des forces centrales? Cette hypothèse est-elle rigoureusement exacte? Est-il certain qu'elle ne sera jamais contredite par l'expérience? Qui oserait l'affirmer? Et si nous devons abandonner cette hypothèse, tout l'édifice si laborieusement élevé s'écroulera.

Nous n'avons plus le droit de parler de la composante de l'accélération de A qui est due à l'action de B. Nous n'avons aucun moyen de la discerner de celle qui est due à l'action de C ou d'un autre corps. La règle pour la mesure des masses devient inapplicable.

Que reste-t-il alors du principe de l'égalité de

Faction et de la réaction? Si l'hypothèse des forces centrales est rejetée, ce principe doit évidemment s'énoncer ainsi : la résultante géométrique de toutes les forces appliquées aux divers corps d'un système soustrait à toute action extérieure, sera nulle. Ou, en d'autres termes, le mouvement du centre de gravité de ce système sera rectiligne et uniforme.

Voilà, semble-t-il, un moyen de définir la masse; la position du centre de gravité dépend évidemment des valeurs attribuées aux masses; il faudra disposer de ces valeurs de façon que le mouvement de ce centre de gravité soit rectiligne et uniforme; cela sera toujours possible si la troisième loi de Newton est vraie, et cela ne sera possible en général que d'une seule manière.

Mais il n'existe pas de système soustrait à toute action extérieure; toutes les parties de l'univers subissent plus ou moins fortement l'action de toutes les autres parlies. La loi du mouvement du centre de gravité nest rigoureusement vraie que si on l'applique à l'univers tout entier.

Mais alors il faudrait, pour en tirer les valeurs des masses, observer le mouvement du centre de gravité de l'Univers. L'absurdité de cette conséquence est manifeste ; nous ne connaissons que des mouvements relatifs; le mouvement du centre de gravité de l'univers restera pour nous une éternelle inconnue.

Il ne reste donc rien et nos efforts ont été infructueux; nous sommes acculés à la définition

suivante, qui n'est qu'un aveu d'impuissance : les masses sont des coefficients qu'il est commode d'introduire dans les calculs.

Nous pourrions refaire toute la mécanique en attribuant à toutes les masses des valeurs différentes. Cette mécanique nouvelle ne serait en contradiction ni avec l'expérience, ni avec les principes généraux de la dynamique (principe de l'inertie, proportionnalité des forces aux masses et aux accélérations, égalité de l'action et de la réaction, mouvement rectiligne et uniforme du centre de gravité, principe des aires).

Seulement les équations de cette mécanique nouvelle seraient moins simples. Entendons-nous bien : ce seraient seulement les premiers termes qui seraient moins simples, c'est-à-dire ceux que l'expérience nous a déjà fait connaître; peut-être pourrait-on altérer les masses de petites quantités sans que les équations complètes gagnent ou perdent en simplicité.

Hertz s'est demandé si les principes de la mécanique sont rigoureusement vrais. « Dans l'opinion de beaucoup de physiciens, dit-il, il apparaîtra comme inconcevable que l'expérience la plus éloignée puisse jamais changer quelque chose aux inébranlables principes de la mécanique; et cependant ce qui sort de l'expérience peut toujours être rectifié par l'expérience. »

Après ce que nous venons de dire, ces craintes paraîtront superflues. Les principes de la dynamique nous apparaissaient d'abord comme des

vérités expérimentales; mais nous avons été obligés de nous en servir comme définitions. C'est par définition que la force est égale au produit de la masse par l'accélération; voilà un principe qui est désormais placé hors de l'atteinte d'aucune expérience ultérieure. C'est de même par définition que l'action est égale à la réaction.

Mais alors, dira-t-on, ces principes invérifiables sont absolument vides de toute signification ; l'expérience ne peut les contredire ; mais ils ne peuvent rien nous apprendre d'utile ; à quoi bon alors étudier la dynamique?

Cette condamnation trop rapide serait injuste. Il n'y a pas, dans la nature, de système parfaitement isolé, parfaitement soustrait à toute action extérieure; mais il y a des systèmes à peu près isolés.

Si Ton observe un pareil système, on peut étudier . non seulement le mouvement relatif de ses diverses parties l'une par rapport à l'autre, mais le mouvement de son centre de gravité par rapport aux autres parties de l'univers. On constate alors que le mouvement de ce centre de gravité est à peu près rectiligne et uniforme, conformément à la troisième loi de Newton.

C'est là une vérité expérimentale, mais elle ne pourra être infirmée par l'expérience ; que nous apprendrait en effet une expérience plus précise? Elle nous apprendrait que la loi n'était qu'à peu près vraie; mais, cela, nous le savions déjà.

On s'explique maintenant comment V expérience a

pu servir de base aux principes de la mécanique et cependant ne pourra jamais les contredire.

La Mécanique anthropomorphique. — Kirchhoff, dira-t-on, n'a fait qu'obéir à la tendance générale des mathématiciens au nominalisme ; son habileté de physicien ne l'en a pas préservé. Il a tenu à avoir une définition de la force, et il a pris pour cela la première proposition venue; mais une définition de la force, nous n'en avons pas besoin : l'idée de force est une notion primitive, irréductible, indéfinissable; nous savons tous ce que c'est, nous en avons l'intuition directe. Cette intuition directe provient de la notion d'effort, qui nous est familière depuis l'enfance.

Mais d'abord, quand même cette intuition directe nous ferait connaître la véritable nature de la force en soi, elle serait insuffisante pour fonder la Mécanique; elle serait d'ailleurs tout à fait inutile. Ce qui importe, ce n'est pas de savoir ce que c'est que la force, c'est de savoir la mesurer.

Tout ce qui ne nous apprend pas à la mesurer est aussi inutile au mécanicien, que l'est, par exemple, la notion subjective de chaud et de froid na physicien qui étudie la chaleur. Cette notion subjective ne peut se traduire en nombres, donc elle ne sert à rien ; un savant dont la peau serait absolument mauvaise conductrice de la chaleur et qui, par conséquent, n'aurait jamais éprouvé, ni sensations de froid, ni sensations de chaud, pourrait regarder un thermomètre tout aussi bien qu'un

autre, et cela lui suffirait pour construire toute la théorie de la chaleur.

Or cette notion immédiate d'effort ne peut nous servir à mesurer la force; il est clair, par exemple, que j'éprouverai plus de fatigue en soulevant un poids de cinquante kilos qu'un homme habitué à porter des fardeaux.

Mais il y a plus : cette notion d'effort ne nous fait pas connaître la véritable nature de la force; elle se réduit en définitive à un sous^enir de sensations musculaires, et on ne soutiendra pas que le soleil éprouve une sensation musculaire quand il attire la terre.

Tout ce qu'on peut y chercher, c'est un symbole, moins précis et moins commode que les flèches dont se servent les géomètres, mais tout aussi éloigné de la réalité.

L'anthropomorphisme a joué un rôle historique, considérable dans la genèse de la mécanique; peut-être fournira-t-il encore quelquefois un symbole qui paraîtra commode à quelques esprits ; mais il ne peut rien fonder qui ait un caractère vraiment scientifique, ou un caractère vraiment philosophique.

« L'École du Fil. » — M. Andrade, dans ses Leçons de Mécanique physique, a rajeuni la mécanique anthropomorphique. A l'école de mécaniciens dont fait partie Kirchhoff, il oppose ce qu'il appelle assez bizarrement l'école du fil.

Cette école cherche à tout ramener à « la consi-

dération de certains systèmes matériels de masse négligeable, envisagés à l'état de tension et capables de transmettre des efforts considérables à des corps éloignés, système dont le type idéal est le fil. »

Un fil qui transmet une force quelconque, s'allonge légèrement sous l'action de cette force; la direction du fil nous fait connaître la direction de la force, dont la grandeur est mesurée par rallongement du fil.

On peut alors concevoir une expérience telle que celle-ci. Un corps A est attaché à un fil; à l'autre extrémité du fil on fait agir une force quelconque que Ton fait varier jusqu'à ce que le fil prenne un allongement a, on note l'accélération du corps A; on détache A et on attache le corps B au même fil, on fait agir de nouveau la force, ou une autre force, et on la fait varier jusqu'à ce que le fil reprenne l'allongement a; on note l'accélération du corps B. On recommence l'expérience tant avec le corps À qu'avec le corps B, mais de façon que le fil prenne l'allongement p. Les quatre accélérations observées doivent être proportionnelles. On a ainsi une vérification expérimentale de la loi d'accélération énoncée plus haut.

Ou bien encore on soumet un corps à l'action simultanée de plusieurs fils identiques également tendus, et on cherche par l'expérience quelles doivent être les orientations de tous ces fils pour que le corps demeure en équilibre. On a alors une vérification expérimentale de la règle de la composition des forces.

Mais, en somme, qu'avons-nous fait? Nous avons défini la force à laquelle le fil est soumis par k déformation subie par ce fil, ce qui est assez raisonnable; nous avons admis ensuite que si un corps est attaché à ce fil, l'effort qui lui est transmis par le fil est égal à l'action que ce corps exerce sur ce fil; en définitive, nous nous sommes servis du principe de l'égalité de l'action et de la réaction, en le considérant, non comme une vérité d'expérience, mais comme la définition même de la force.

Cette définition est tout aussi conventionnelle que celle de Kirchhoff, mais elle est beaucoup moins générale.

Toutes les forces ne sont pas transmises par des fils (encore faudrait-ilpour qu'on pût les comparer qu'elles le fussent toutes par des fils identiques). Si l'on admettait même que la terre est attachée au soleil par quelque fil invisible, du moins conviendrait-on que nous n'avons aucun moyen d'en mesurer l'allongement.

Neuf fois sur dix, par conséquent, notre définition serait en défaut ; on ne pourrait lui attribuer aucune espèce de sens, et il faudrait en revenir à celle de Kirchhoff.

Pourquoi alors prendre ce détour? Vous admettez une certaine définition de la force qui n'a de sens que dans certains cas particuliers. Dans ces cas vous vérifiez par l'expérience qu'elle conduit à la loi de l'accélération. Autorisés par cette expérience, vous prenez ensuite la loi de l'accélération comme définition de la force dans tous les autres cas.

Ne serait-il pas plus simple de considérer la loi de l'accélération comme une définition dans tous les cas, et de regarder les expériences en question, non comme des vérifications de cette loi, mais comme des vérifications du principe de réaction, ou comme démontrant que les déformations d'un corps élastique ne dépendent que des forces auxquelles ce corps est soumis ?

Sans compter que les conditions dans lesquelles votre définition pourrait être acceptée ne sont jamais remplies qu'imparfaitement, qu'un fil n'est jamais sans masse, qu'il n'est jamais soustrait à toute autre force que la réaction des corps attachés à ses extrémités.

Les idées de M. Andrade n'en sont pas moins très intéressantes ; si elles ne satisfont pas notre besoin de logique, elles nous font mieux comprendre la genèse historique des notions mécaniques fondamentales. Les réflexions qu'elles nous suggèrent nous montrent comment l'esprit humain s'est élevé d'un anthropomorphisme naïf aux conceptions actuelles de la science.

Nous voyons au point de départ une expérience très particulière et en somme assez grossière ; au point d'arrivée, une loi tout à fait générale, tout à fait précise, et dont nous regardons la certitude comme absolue. Cette certitude, c'est nous qui la lui avons conférée pour ainsi dire librement, en la regardant comme une convention.

La loi de l'accélération, la règle de la composition des forces ne sont-elles donc que des conven

tions arbitraires? Conventions, oui; arbitraires, non; elles le seraient si on perdait de vue les expériences qui ont conduit les fondateurs de la science aies adopter, et qui, si imparfaites qu'elles soient, suffisent pour les justifier. Il est bon que, de temps en temps, on ramène notre attention sur l'origine expérimentale de ces conventions.

Le principe du mouvement relatif. — On a

quelquefois cherché à rattacher la loi de l'accélération à un principe plus général. Le mouvement d'un système quelconque doit obéir aux mêmes lois, qu'on le rapporte à des axes fixes, ou à des axes mobiles entraînés dans un mouvement rectiligtie et uniforme. C'est là le principe du mouvement relatif, qui s'impose à nous pour deux raisons : d'abord, l'expérience la plus vulgaire le confirme, et ensuite l'hypothèse contraire répugnerait singulièrement à l'esprit.

Admettons-le (Jonc, et considérons un corps soumis à une force ; le mouvement relatif de ce corps, par rapport à un observateur animé d'une vitesse uniforme égale à la vitesse initiale du corps, devra être identique à ce que serait son mouvement absolu s'il partait du repos. On en conclut que son accélération ne doit pas dépendre de sa

vitesse absolue, on a même cherché à tirer de là une démonstration de la loi d'accélération.

Il y a eu longtemps des traces de cette démonstration dans les programmes du baccalauréat es sciences. Il est évident que cette tentative est vaine. L'obstacle qui nous empêchait de démontrer la loi d'accélération, c'est que nous n'avions pas de définition de la force; cet obstacle subsiste tout entier, puisque le principe invoqué ne nous a pas fourni la définition qui nous manquait.

Le principe du mouvement relatif n'en est pas moins fort intéressant et mérite d'être étudié pour lui-même. Cherchons d'abord à l'énoncer d'une façon précise.

Nous avons dit plus haut que les accélérations des différents corps qui font partie d'un système isolé ne dépendent que de leurs vitesses et de leurs positions relatives, et non de leurs vitesses et de leurs positions absolues, pourvu que les axes mobiles auxquels le mouvement relatif est rapporté soient entraînés dans un mouvement rectiligne et uniforme. Ou, si l'on aime mieux, leurs accélérations ne dépendent que des différences de leurs vitesses et des différences de leurs coordonnées, et non des valeurs absolues de ces vitesses et de ces coordonnées.

Si ce principe est vrai pour les accélérations relatives, ou mieux pour les différences d'accélération, en le combinant avec la loi de la réaction, on en déduira qu'il est vrai encore pour les accélérations absolues.

Il reste donc à voir comment on peut démontrer que les différences des accélérations ne dépendent que des différences des vitesses et des coordonnées, ou, pour parler le langage mathématique, que ces différences de coordonnées satisfont à des équations différentielles du second ordre.

Cette démonstration peut-elle être déduite d'expériences ou de considérations à priori?

En se rappelant ce que nous avons dit plus haut, le lecteur fera de lui-même la réponse.

Ainsi énoncé, en effet, le principe du mouvement relatif ressemble singulièrement à ce que j'appelais plus haut le principe de l'inertie généralisé ; ce n'est pas tout à fait la même chose, puisqu'il s'agit des différences de coordonnées et non des coordonnées elles-mêmes. Le nouveau principe nous apprend donc quelque chose de plus que l'ancien, mais la même discussion s'y applique et conduirait aux mêmes conclusions ; il est inutile d'y revenir.

L'Argument de Newton. — Ici, nous rencontrons une question fort importante et même un peu troublante. J'ai dit que le principe du mouvement relatif n'était pas seulement pour nous un résultat d'expérience, et qu'à priori toute hypothèse contraire répugnerait à l'esprit.

Mais alors, pourquoi le principe n'est-il vrai que si le mouvement des axes mobiles est rectiligne et unilorme? Il semble qu'il devrait s'imposera nous avec la même force, si ce mouvement est varié ou tout au moins s'il se réduit à une rota-

tion uniforme. Or, dans ces deux cas, le principe n'est pas vrai.

Je n'insisterai pas longtemps sur le cas où le mouvement des axes est rectiligne sans être uniforme ; le paradoxe ne résiste pas à un instant d'examen. Si je suis en wagon, et si le train, heurtant un obstacle quelconque, s'arrête brusquement, je serai projeté sur la banquette opposée, bien que je n'aie été soumis directement à aucune force. Il n'y a rien là de mystérieux ; si je n'ai subi l'action d'aucune force extérieure, le train, lui, a éprouvé un choc extérieur. Que le mouvement relatif de deux corps se trouve troublé, dès que le mouvement de l'un ou de l'autre est modifié par une cause extérieure, il ne peut rien y avoir là de paradoxal.

Je m'arrêterai plus longtemps sur le cas des mouvements relatifs rapportés à des axes qui tournent d'une rotation uniforme. Si le ciel était sans cesse couvert de nuages, si nous n'avions aucun moyen d'observer les astres, nous pourrions, néanmoins, conclure que la terre tourne ; nous en serions avertis par son aplatissement, ou bien encore par l'expérience du pendule de Foucault.

Et pourtant, dans ce cas, dire que la terre tourne, cela aurait-il un sens? S'il n'y a pas d'espace absolu, peut-on tourner sans tourner par rapport à quelque chose, et d'autre part comment pourrions-nous admettre la conclusion de Newton et croire à l'espace absolu?

Mais il ne suffit pas de constater que toutes les solutions possibles nous choquent également; il faut analyser, pour chacune d'elles, les raisons de notre répugnance, afin de faire notre choix en connaissance de cause. On excusera donc la longue discussion qui va suivre.

Reprenons notre fiction : d'épais nuages cachent les astres aux hommes, qui ne peuvent les observer et en ignorent même l'existence ; comment ces hommes sauront-ils que la terre tourne ? Plus encore que nos ancêtres sans doule, ils regarderont le sol qui les porte comme fixe et inébranlable ; ils attendront bien plus longtemps l'avènement d'un Copernic. Mais enfin ce Copernic finirait parvenir; comment viendrait-il?

Les mécaniciens de ce monde ne se heurteraient pas d'abord à une contradiction absolue. Dans la théorie du mouvement relatif, on envisage, en dehors des forces réelles, deux forces fictives que l'on appelle la force centrifuge ordinaire et la force centrifuge composée. Nos savants imaginaires pourraient donc tout expliquer en regardant ces deux forces comme réelles, et ils ne verraient pas là de contradiction avec le principe de l'inertie généralisé, car ces forces dépendraient, l'une des positions relatives des diverses parties du système, comme les attractions réelles, l'autre de leurs vitesses relatives, comme les frottements réels.

Bien des difficultés cependant ne tarderaient pas à éveiller leur attention ; s'ils réussissaient à réaliser un système isolé, le centre de gravité de ce

140 LA SCIENCE ET i/HYPOTHÈSE

système n'aurait pas une trajectoire à peu près rectiligne. Ils pourraient invoquer, pour expliquer ce fait, les forces centrifuges qu'ils regarderaient comme réelles et qu'ils attribueraient sans doute aux actions mutuelles des corps. Seulement ils ne verraient pas ces forces s'annuler aux grandes distances, c'est-à-dire à mesure que l'isolement serait mieux réalisé ; loin de là : la force centrifuge croît indéfiniment avec la distance.

Cette difficulté leur semblerait déjà assez grande ; et pourtant elle ne les arrêterait pas longtemps : ils imagineraient bientôt quelque milieu très subtil, analogue à notre éther, où tous les corps baigneraient et qui exerceraient sur eux une action répulsive.

Mais ce n'est pas tout. L'espace est symétrique, et pourtant les lois du mouvement ne présenteraient pas de symétrie ; elles devraient distinguer entre la droite et la gauche. On verrait par exemple que les cyclones tournent toujours dans le même sens, tandis que par raison de symétrie ces météores devraient tourner indifféremment dans un sens et dans l'autre. Si nos savants étaient parvenus à force de travail à rendre leur univers parfaitement symétrique, cette symétrie ne subsisterait pas, bien qu'il n'y ait aucune raison apparente pour qu'elle soit troublée dans un sens plutôt que dans l'autre.

Ils s'en tireraient sans aucun doute, ils inventeraient quelque chose qui ne serait pas plus extraordinaire que les sphères de verre de Ptolémée, et

on irait ainsi, accumulant les complications, jusqu'à ce que le Copernic attendu les balaye toutes d'un seul coup, en disant : Il est bien plus simple d'admettre que la terre tourne.

Et de même que notre Copernic à nous nous a dit : il est plus commode de supposer que la terre tourne, parce qu'on exprime ainsi les lois de l'astronomie dans un langage bien plus simple; celui-là dirait : Il est plus commode de supposer que la terre tourne, parce qu'on exprime ainsi les lois de la mécanique dans un langage bien plus simple.

Cela n'empêche pas que l'espace absolu, c'est-àdire le repère auquel il faudrait rapporter la terre pour savoir si réellement elle tourne, n'a aucune existence objective. Dès lors, cette affirmation : « la terre tourne », n'a aucun sens, puisqu'aucune expérience ne permettra de la vérifier ;• puisqu'une telle expérience, non seulement ne pourrait être ni réalisée, ni rêvée par le Jules Verne le plus hardi, mais ne peut être conçue sans contradiction ; ou plutôt ces deux propositions : « la terre tourne », et : « il est plus commode de supposer que la terre tourne », ont un seul et même sens; il n'y a rien de plus dans l'une que dans l'autre.

Peut-être ne se contentera-t-on pas encore de cela, et trouvera-t-on déjà choquant que, parmi toutes les hypothèses ou plutôt toutes les conventions que nous pouvons faire à ce sujet, il y en ait une qui soit plus commode que les autres.

Mais si on l'a admis sans peine quand il s'agissait des lois de l'astronomie, pourquoi s'en choquerait-on en ce qui concerne la mécanique ?

Nous avons vu que les coordonnées des corps sont déterminées par des équations différentielles du second ordre, et qu'il en est de même des différences de ces coordonnées. C'est ce que nous avons appelé le principe d'inertie généralisé et le principe du mouvement relatif. Si les distances de ces corps étaient déterminées de même par des équations du second ordre, il semble que l'esprit devrait être entièrement satisfait. Dans quelle mesure l'esprit reçoit-il cette satisfaction, et pourquoi ne s'en contente-t-il pas ?

Pour nous en rendre compte, il vaut mieux prendre un exemple simple. Je suppose un système analogue à notre système solaire, mais d'où l'on ne puisse apercevoir des étoiles fixes étrangères à ce système, de telle façon que les astronomes ne puissent observer que les distances mutuelles des planètes et du soleil, et non les longitudes absolues des planètes. Si nous déduisons directement de la loi de Newton les équations différentielles qui définissent la variation de ces distances, ces équations ne seront pas du second ordre. Je veux. dire que si, outre la loi de Newton, on connaissait les valeurs initiales de ces distances et de leurs dérivées par rapport au temps, cela ne suffirait pas pour déterminer les valeurs de ces mêmes distances à un instant ultérieur. Il manquerait encore une donnée, et cette donnée, ce pourrait être par

exemple ce que les astronomes appellent la constante des aires.

Mais ici, on peut se placer à deux points de vue différents ; nous pouvons distinguer deux sortes de constantes. Aux yeux du physicien, le monde se réduit à une série de phénomènes, dépendant uniquement, d'une part, des phénomènes initiaux, d'autre part, des lois qui lient les conséquents aux antécédents. Si alors l'observation nous apprend qu'une certaine quantité est une constante, nous aurons le choix entre deux manières de voir.

Ou bien nous admettrons qu'il y a une loi qui veut que cette quantité ne puisse varier, mais que c'est par hasard qu'elle s'est trouvée avoir, à l'origine des siècles, telle valeur plutôt que telle autre, valeur qu'elle a dû conserver depuis. Cette quantité pourrait alors s'appeler une constante accidentelle.

Ou bien nous admettrons au contraire qu'il y a une loi de la nature qui impose à cette quantité telle valeur et non pas telle autre. Nous aurons alors ce qu'on peut appeler une constante essentielle.

Par exemple, en vertu des lois de Newton, la durée de la révolution de la terre doit être constante. Mais si elle est égale à 366 jours sidéraux et quelque chose et non à 300 ou à 400, c'est par suite de je ne sais quel hasard initial. C'est une constante accidentelle. Si au contraire l'exposant de la distance qui figure dans l'expression de la force attractive, est égal i — 2 et non pas à

144 LA SCIENCE ET i/HYPOTHÈSE

— 3, ce n'est pas par hasard, c'est parce que la loi de Newton l'exige. C'est une constante essentielle.

Je ne sais si cette manière de faire au hasard sa part est légitime en soi, et si cette distinction n'a pas quelque chose d'artificiel; il est certain du moins que, tant que la nature aura des secrets, elle sera dans l'application fortement arbitraire et toujours précaire.

En ce qui concerne la constante des aires, nous avons coutume de la regarder comme accidentelle. Est-il certain que nos astronomes imaginaires en feraient autant? S'ils avaient pu comparer deux systèmes solaires différents, ils auraient Tidée que cette constante peut avoir plusieurs valeurs différentes; mais j'ai justement supposé au début que leur système apparaissait comme isolé, et qu'ils n'observaient aucun astre qui y fût étranger. Dans ces conditions, ils ne pourraient voir qu'une constante unique qui aurait une valeur unique absolument invariable; ils seraient portés sans aucun doute à la regarder comme une constante essentielle.

Un mot en passant pour prévenir une objection : les habitants de ce monde fictif ne pourraient ni observer ni définir la constante des aires comme nous le faisons, puisque les longitudes absolues leur échappent ; cela n'empêcherait pas qu'ils seraient rapidement amenés à remarquer une certaine constante qui s'introduirait naturellement dans leurs équations et qui ne serait

autre chose que ce que nous appelons la constante des aires.

Mais alors voici ce qui va se passer. Si la constante des aires est regardée comme essentielle, comme dépendant d'une loi de la nature, il suffira, pour calculer les distances des planètes à un instant quelconque, de connaître les valeurs initiales de ces distances et celles de leurs dérivées premières, A ce point de vue nouveau, les distances seront régies par des équations différentielles du deuxième ordre.

L'esprit de ces astronomes serait-il cependant satisfait complètement? Je ne le crois pas; d'abord, ils s'apercevraient bientôt qu'en différenciant leurs équations, de façon à en élever l'ordre, ces équations deviennent bien plus simples. Et surtout ils seraient frappés de la difficulté qui provient de la symétrie. Il faudrait admettre des lois différentes, selon que l'ensemble des planètes présenterait la figure d'un certain polyèdre ou bien du polyèdre symétrique, et on n'échapperait à cette conséquence qu'en regardant la constante des aires comme accidentelle.

J'ai pris un exemple bien particulier, puisque j'ai supposé des astronomes qui ne s'occuperaient pas du tout de mécanique terrestre et dont la vue serait bornée au système solaire. Mais nos conclusions s'appliquent à tous les cas. Notre univers est plus étendu que le leur, puisque nous avons des étoiles fixes, mais il est cependant limité, lui aussi, et alors nous pourrions raisonner sur Ten-

semble de notre univers, comme ces astronomes sur leur système solaire.

On voit ainsi qu'en définitive on serait conduit à conclure que les équations qui définissent les distances sont d'ordre supérieur au second. Pourquoi en serions-nous choqués, pourquoi trouvonsnous tout naturel que la suite des phénomènes dépende des valeurs initiales des dérivées premières de ces distances, tandis que nous hésitons à admettre qu'elles puissent dépendre des valeurs initiales des dérivées secondes? Ce ne peut être qu'à cause des habitudes d'esprit créées en nous par l'étude constante du principe d'inertie généralisé et de ses conséquences.

Les valeurs des distances à un instant quelconque dépendent de leurs valeurs initiales, de celles de leurs dérivées premières et encore d'autre chose. Qu'est-ce que cette' autre chose?

Si l'on ne veut pas que ce soit tout simplement l'une des dérivées secondes, on n'a que le choix des hypothèses. Supposer, comme on le fait d'ordinaire, que cette autre chose c'est l'orientation absolue de l'univers dans l'espace, ou la rapidité avec laquelle cette orientation varie, cela peut être, cela est certainement la solution la plus commode pour le géomètre; ce n'est pas la plus satisfaisante pour le philosophe, puisque cette orientation n'existe pas.

On peut supposer que cette autre chose est la position ou la vitesse de quelque corps invisible; c'est ce qu'ont fait certaines personnes qui Font

même appelé le corps alpha, bien que nous soyons destinés à ne jamais rien savoir de ce corps que son nom. C'est là un artifice tout à fait analogue à celui dont je parlais à la fin du paragraphe consacré à mes réflexions sur le principe d'inertie. Mais en somme la difficulté est artificielle. Pourvu que les indications futures de nos instruments ne puissent dépendre que des indications qu'ils nous ont données ou qu'ils auraient pu donner autrefois, c'est tout ce qu'il faut. Or, sous ce rapport nous pouvons être tranquilles.

Le système énergétique. — Les difficultés soulevées par la mécanique classique ont conduit certains esprits à lui préférer un système nouveau qu'ils appellent énergétique.

Le système énergétique a pris naissance à la suite de la découverte du principe de la conservation de l'énergie. C'est Helmholtz qui lui a donné sa formé définitive.

On commence par définir deux quantités qui jouent le rôle fondamental dans cette théorie. Ces deux quantités sont : d'une part, Yénergie cinétique ou force vive; d'autre part, Yénergie potentielle.

Tous les changements que peuvent subir les corps de la nature sont régis par deux lois expérimentales :

1° La somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est une constante. C'est le principe de la conservation de l'énergie.

ÉNERGIE ÇT THERMODYNAMIQUE 149

2° Si un système de corps est dans la situation A à l'époque t0 et dans la situation B à l'époque fl5 il va toujours de la première situation à la seconde par un chemin tel que la valeur moyenne de la différence entre les deux sortes d'énergie, dans l'intervalle de temps qui sépare les deux époques f0 et tv soit aussi petite que possible.

C'est là le principe de Hamilton, qui est une des formes du principe de moindre action.

La théorie énergétique présente sur la théorie classique les avantages suivants :

1° Elle est moins incomplète; c'est-à-dire que les principes de la conservation de l'énergie et de Hamilton nous apprennent plus que les principes fondamentaux de la théorie classique et excluent certains mouvements que la nature ne réalise pas et qui seraient compatibles avec la théorie classique;

2° Elle nous dispense de l'hypothèse des atomes, qu'il était presque impossible d'éviter avec la théorie classique.

Mais elle soulève à son tour de nouvelles difficultés :

Les définitions des deux sortes d'énergie sont à peine plus aisées que celles de la force et de la masse dans le premier système. Cependant on s'en tirerait plus facilement, au moins dans les cas les plus simples.

Supposons un système isolé formé d'un certain nombre de points matériels; supposons que ces points soient soumis à des forces ne dépendant

150 LA SCIENCE ET l'hYPOTHESB

que de leur position relative et de leurs distances mutuelles et indépendantes de leurs vitesses. En vertu du principe de la conservation de l'énergie, il devra y avoir une fonction des forces.

Dans ce cas simple, l'énoncé du principe de la conservation de l'énergie est d'une extrême simplicité. Une certaine quantité, accessible à l'expérience, doit demeurer constante. Cette quantité est la somme de deux termes; le premier dépend seulement de la position des points matériels et est indépendant de leurs vitesses : le second est proportionnel au carré de ces vitesses. Cette décomposition ne peut se faire que d'une seule manière.

Le premier de ces termes, que j'appellerai U, sera l'énergie potentielle; le second, que j'appellerai T, sera l'énergie cinétique.

Il est vrai que si T + U est une constante, il en est de même d'une fonction quelconque de T + U,

Mais cette fonction <p(T + U) ne sera pas la somme de deux termes l'un indépendant des vitesses, l'autre proportionnel au carré de ces vitesses. Parmi les fonctions qui demeurent constantes, il n'y en a qu'une qui jouisse de cette propriété, c'est T + U (ou une fonction linéaire de T + U, ce qui ne fait rien, puisque cette lonction linéaire peut toujours être ramenée à T + U par un changement d'unité et d'origine). C'est alors ce que nous appellerons l'énergie; c'est le

premier terme que nous appellerons l'énergie potentielle et le second qui sera l'énergie cinétique. La définition des deux sortes d'énergie peut donc être poussée jusqu'au bout sans aucune ambiguïté.

Il en est de même de la définition des masses. L'énergie cinétique ou force vive s'exprime très simplement à l'aide des masses et des vitesses relatives de tous les points matériels, par rapport à l'un d'entre eux. Ces vitesses relatives sont accessibles à l'observation, et, quand nous aurons l'expression de l'énergie cinétique en fonction de ces vitesses relatives, les coefficients de cette expression nous donneront les masses.

Ainsi, dans ce cas simple, on peut définir les notions fondamentales sans difficulté. Mais les difficultés reparaissent dans les cas plus compliqués et, par exemple, si les forces, au lieu de dépendre seulement des distances, dépendent aussi des vitesses. Par exemple, Weber suppose que l'action mutuelle de deux molécules électriques dépend non seulement de leur distance, mais de leur vitesse et de leur accélération. Si les points matériels s'attiraient d'après une loi analogue, U dépendrait de la vitesse, et il pourrait contenir un terme proportionnel au carré de la vitesse.

Parmi les termes proportionnels aux carrés des vitesses, comment discerner ceux qui proviennent de T ou de U? Comment, par conséquent, distinguer les deux parties de l'énergie?

Mais il y a plus, comment définir l'énergie elle-

même ? Nous n'avons plus aucune raison de prendre comme définition T + U plutôt que toute autre fonction de T + U, quand a disparu la propriété qui caractérisait T + U, celle d'être la somme de deux termes d'une forme particulière.

Mais ce n'est pas tout, il faut tenir compte, non seulement de l'énergie mécanique proprement dite, mais des autres formes de l'énergie, chaleur, énergie chimique, énergie électrique, etc. Le principe de la conservation de l'énergie doit s'écrire :

T + U + Q = const.

où T représenterait l'énergie cinétique sensible, U l'énergie potentielle de position, dépendant seulement de la position des corps, Q l'énergie interne moléculaire, sous la forme thermique, chimique ou électrique.

Tout irait bien si ces trois termes étaient absolument distincts, si T était proportionnel au carré des vitesses, U indépendant de ces vitesses et de l'état des corps, Q indépendant des vitesses et des positions des corps et dépendant seulement de leur état interne.

L'expression de l'énergie ne pourrait se décomposer que d'une seule manière en trois termes de cette forme.

Mais il n'en est pas ainsi; considérons des corps électrisés : l'énergie électrostatique due à leur action mutuelle dépendra évidemment de leur charge, c'est-à-dire de leur état; mais elle dépendra égale-

ÉNERGIE ET THERMODYNAMIQUE 15à

ment de leur position. Si ces corps sont en mouvement, ils agiront l'un sur l'autre électrodynamiquement et l'énergie électrodynamique dépendra non seulement de leur état et de leur position, mais de leurs vitesses.

Nous n'avons donc plus aucun moyen de faire le triage des termes qui doivent faire partie de T, de U et de Q et de séparer les trois parties de l'énergie.

Si (T + U + Q) est constant, il en est de môme d'une fonction quelconque.

Si T + U + Q était de la forme particulière que j'ai envisagée plus haut, il n'en résulterait pas d'ambiguïté ; parmi les fonctions cp (T + U + Q) qui demeurent constantes, il n'y en aurait qu'une qui serait de cette forme particulière, et ce serait celle-là que je conviendrais d'appeler énergie.

Mais je l'ai dit, il n'en est pas rigoureusement ainsi; parmi les fonctions qui demeurent constantes, il n'y en a pas qui puissent rigoureusement se mettre sous cette forme particulière; dès lors, comment choisir parmi elles celle qui doit s'appeler l'énergie? Nous n'avons plus rien qui puisse nous guider dans notre choix.

Il ne nous reste plus qu'un énoncé pour le principe de la conservation de l'énergie; il y a quelque chose qui demeure constant. Sous cette forme, il se trouve à son tour hors des atteintes de l'expérience et se réduit à une sorte de tautologie. Il est

clair que si le monde est gouverné par des lois, il y aura des quantités qui demeureront constantes. Comme les principes de Newton, et pour une raison analogue, le principe de la conservation de l'énergie, fondé sur l'expérience, ne pourrait plus être infirmé par elle.

Cette discussion montre qu'en passant du système classique au système énergétique, on a réalisé un progrès; mais elle montre, en même temps, que ce progrès est insuffisant.

Une autre objection me semble encore plus grave : le principe de moindre action est applicable aux phénomènes réversibles; mais il n'est nullement satisfaisant en ce qui concerne les phénomènes irréversibles; la tentative de Helmholtz pour l'étendre à ce genre de phénomènes n'a pas réussi et ne pouvait réussir : sous ce rapport tout reste à faire.

L'énoncé même du principe de moindre action a quelque chose de choquant pour l'esprit. Pour se rendre d'un point à un autre, une molécule matérielle, soustraite à l'action de toute force, mais assujettie à se mouvoir sur une surface, prendra la ligne géodésique, c'est-à-dire le chemin le plus court.

Cette molécule semble connaître le point où on veut la mener, prévoir le temps qu'elle mettra à l'atteindre en suivant tel et tel chemin, et choisir ensuite le chemin le plus convenable. L'énoncé nous la présente pour ainsi dire comme un être animé et libre. Il est clair qu'il vaudrait mieux le

remplacer par un énoncé moins choquant, et où, comme diraient les philosophes, les causes finales ne sembleraient pas se substituer aux causes efficientes.

Thermodynamique1. — Le rôle des deux principes fondamentaux de la thermodynamique dans toutes les branches de la philosophie naturelle devient de jour en jour plus important. Abandonnant les théories ambitieuses d'il y a quarante ans, encombrées d'hypothèses moléculaires, nous cherchons aujourd'hui à élever sur la Thermodynamique seule l'édifice tout entier de la physique mathématique. Les deux principes de Meyer et de Glausius lui assureront-ils des fondations assez solides pour qu'il dure quelque temps? Personne n'en doute; mais d'où nous vient cette confiance?

Un physicien éminent me disait un jour à propos de la loi des erreurs : Tout le monde y croit fermement parce que les mathématiciens s'imaginent que c'est un fait d'observation, et les observateurs que c'est un théorèm de mathématiques. Il en a été longtemps ainsi pour le principe de la conservation de l'énergie. Il n'en est plus de même aujourd'hui; personne n'ignore que c'est un fait expérimental.

Mais alors qui nous donne le droit d'attribuer au principe lui-même plus de généralité et plus de précision qu'aux expériences qui ont servi à le

1. Les lignes qui vont suivre sont la reproduction partielle de la préface de mon ouvrage Thermodynamique.

démontrer? C'est là demander s'il est légitime, comme on le fait tous les jours, de généraliser les données empiriques, et je n'aurai pas l'outrecuidance de discuter cette question, après que tant de philosophes se sont vainement efforcés de la trancher. Une seule chose est certaine : si cette faculté nous était refusée, la science ne pourrait exister ou, du moins, réduite à une sorte d'inventaire, à la constatation des faits isolés, elle n'aurait pour nous aucun prix, puisqu'elle ne pourrait donner satisfaction à notre besoin d'ordre et d'harmonie et qu'elle serait en même temps incapable de prévoir. Comme les circonstances qui ont précédé un fait quelconque ne se reproduiront vraisemblablement jamais toutes à la fois, il faut déjà une première généralisation pour prévoir si ce fait se renouvellera encore dès que la moindre de ces circonstances sera changée.

Mais toute proposition peut être généralisée d'une infinité de manières. Parmi toutes les généralisations possibles, il faut bien que nous choisissions et nous ne pouvons choisir que la plus simple. Nous sommes donc conduits à agir comme si une loi simple était, toutes choses égales d'ailleurs, plus probable qu'une loi compliquée.

Il y a un demi-siècle on le confessait franchement et on proclamait que la nature aime la simplicité ; elle nous a donné depuis trop de démentis. Aujourd'hui on n'avoue plus cette tendance et on n'en conserve que ce qui est indispensable pour que la science ne devienne pas impossible.

En formulant une loi générale, simple et précise après des expériences relativement peu nombreuses et qui présentent certaines divergences, nous n'avons donc fait qu'obéir à une nécessité à laquelle l'esprit humain ne peut se soustraire.

Mais il y a quelque chose de plus et c'est pourquoi j'insiste.

Personne ne doute que le principe de Meyer ne soit appelé à survivre à toutes les lois particulières d'où on l'a tiré de même que la loi de Newton a survécu aux lois de Kepler, d'où elle était sortie, et qui ne sont plus qu'approximatives, si Ton tient compte des perturbations.

Pourquoi ce principe occupe-t-il ainsi une sorte de place privilégiée parmi toutes les lois physiques? Il y a à cela beaucoup de petites raisons.

Tout d'abord on croit que nous ne pourrions le rejeter ou même douter de sa rigueur absolue sans admettre la possibilité du mouvement perpétuel ; nous nous défions bien entendu d'une telle perspective et nous nous croyons moins téméraires en affirmant qu'en niant.

Cela n'est peut-être pas tout à fait exact ; l'impossibilité du mouvement perpétuel n'entraîne la conservation de l'énergie que pour les phénomènes réversibles.

L'imposante simplicité du principe de Meyer contribue également à affermir notre foi. Dans une loi déduite immédiatement de l'expérience, comme celle de Mariotte, cette simplicité nous paraîtrait plutôt une raison de méfiance : mais ici

il n'en est plus de même ; nous voyous des éléments disparates au premier coup d'œil, se ranger dans un ordre inattendu et former un tout harmonieux ; et nous nous refusons à croire qu'une harmonie imprévue soit un simple effet du hasard. Il semble que notre conquête nous soit d'autant plus chère qu'elle nous a coûté plus d'efforts ou que nous soyons d'autant plus sûrs d'avoir arraché à la nature son vrai secret qu'elle a paru plus jalouse de nous le dérober.

Mais ce ne sont là que de petites raisons ; pour ériger la loi de Meyer en principe absolu, il faudrait une discussion plus approfondie. Mais si on essaye de la faire, on voit que ce principe absolu n'est même pas facile à énoncer.

Dans chaque cas particulier on voit bien ce que c'est que l'énergie et on en peut donner une définition au moins provisoire ; mais il est impossible d'en trouver une définition générale.

Si Ton veut énoncer le principe dans toute sa généralité et en l'appliquant à l'univers, on le voit pour ainsi dire s'évanouir et il ne reste plus que ceci : Il y a quelque chose qui demeure constant.

Mais cela même a-t-ilun sens? Dans l'hypothèse déterministe, l'état de l'univers est déterminé par un nombre excessivement grand n de paramètres que j'appellerai xv x9, ..., xn. Dès que l'on connaît à un instant quelconque les valeurs de ces n paramètres, on connaît également leurs dérivées par rapport au temps et on peut calculer par conséquent les valeurs de ces mêmes paramètres à un

instant antérieur ou ultérieur. En d'autres termes, ces n paramètres satisfont à n équations différentielles du premier ordre.

Ces équations admettent n — 1 intégrales et il y a par conséquent n — 1 fonctions de xA, #2,. ..,#„, qui demeurent constantes. Si nous disons alors qu'il y a quelque chose qui demeure constant, nous ne faisons qu'énoncer une tautologie. On serait même embarrassé de dire quelle est parmi toutes nos intégrales celle qui doit conserver le nom d'énergie.

Ce n'est pas d'ailleurs en ce sens que Ton entend le principe de Meyer quand on l'applique à un système limité.

On admet alors que p de nos n paramètres varie d'une manière indépendante, de sorte que nous avons seulement n — p relations, généralement linéaires, entre nos n paramètres et leurs dérivées.

Supposons pour simplifier l'énoncé que la somme des travaux des forces extérieures soit nulle ainsi que celle des quantités de chaleur cédées au dehors. Voici alors quelle sera la signification de notre principe :

Il y a une combinaison de ces n — p relations dont le premier membre est une différentielle exacte; et alors cette différentielle étant nulle en vertu de nos n — p relations, son intégrale est une constante et c'est cette intégrale qu'on appelle l'énergie.

Mais comment peut-il se faire qu'il y ait plusieurs paramètres dont les variations soient indé-

pendantes? Cela ne peut avoir lieu que sous l'influence des forces extérieures (bien que nous ayons supposé, pour simplifier, que la somme algébrique des travaux de ces forces soit nulle). Si en effet le système était complètement soustrait à toute action extérieure, les valeurs de nos n paramètres à un instant donné suffiraient pour déterminer l'état du système à un instant ultérieur quelconque, pourvu toutefois que nous restions dans l'hypothèse déterministe; nous retomberions donc sur la même difficulté que plus haut.

Si Tétat futur du système n'est pas entièrement déterminé par son état actuel, c'est qu'il dépend en outre de l'état des corps extérieurs au système. Mais alors est-il vraisemblable qu'il existe entre les paramètres x qui définissent l'état du système des équations indépendantes de cet état des corps extérieurs; et si dans certains cas nous croyons pouvoir en trouver, n'est-ce pas uniquement par suite de notre ignorance et parce que l'influence de ces corps est trop faible pour que notre expérience puisse la déceler ?

Si le système n'est pas regardé comme complètement isolé, il est probable que l'expression rigoureusement exacte de son énergie interne devra dépendre de l'état des corps extérieurs. Encore ai-je supposé plus haut que la somme des travaux extérieurs était nulle, et si l'on veut s'affranchir de cette restriction un peu artificielle l'énoncé devient encore plus difficile.

Pour formuler le principe de Meyer en lui don-

nant un sens absolu, il faut donc l'étendre à tout l'univers et alors on se retrouve en face de cette même difficulté que Ton cherchait à éviter.

En résumé, et pour employer le langage ordinaire, la loi de la conservation de l'énergie ne peut avoir qu'une signification, c'est qu'il y a une propriété commune à tous les possibles ; mais dans l'hypothèse déterministe il n'y a qu'un seul possible et alors la loi n'a plus de sens.

Dans l'hypothèse indéterministe, au contraire, elle en prendrait un, même si on voulait l'entendre dans un sens absolu ; elle apparaîtrait comme une limite imposée à la liberté.

Mais ce mot m'avertit que je m'égare et que je vais sortir du domaine des mathématiques et de la physique. Je m'arrête donc et je ne veux retenir de toute cette discussion qu'une impression, c'est que la loi de Meyer est une forme assez souple pour qu'on y puisse faire rentrer presque tout ce que l'on veut. Je ne veux pas dire par là qu'elle ne correspond à aucune réalité objective ni qu'elle se réduise à une simple tautologie, puisque, dans chaque cas particulier, et pourvu qu'on ne veuille pas pousser jusqu'à l'absolu, elle a un sens parfaitement clair.

Cette souplesse est une raison de croire à sa longue durée, et comme, d'autre part,, elle ne disparaîtra que pour se fondre dans une harmonie supérieure, nous pouvons travailler avec confiance en nous appuyant sur elle, certains d'avance que notre travail ne sera pas perdu.

162 LA SCIENCE ET i/HYPOTHÈSE

Presque tout ce que je viens de dire s'applique au principe de Clausius. Ce qui le distingue, c'est qu'il s'exprime par une inégalité. On dira peutêtre qu'il en est de même de toutes les lois physiques, puisque leur précision est toujours limitée par des erreurs d'observation. Mais elles affichent du moins la prétention d'être de premières approximations et on a l'espoir de les remplacer peu à peu par des lois de plus en plus précises. Si, au contraire, le principe de Clausius se réduit à une inégalité, ce n'est pas l'imperfection de nos moyens d'observation qui en est la cause, mais la nature même de la question.