V. — La Probabilité des Causes. — J'arrive

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aux problèmes de probabilité des causes, les plus importants au point de vue des applications scientifiques. Deux étoiles, par exemple, sont très rapprochées sur la sphère céleste; ce rapprochement apparent est-il un pur effet du hasard, et ces étoiles, quoique à peu près sur un même rayon visuel, sont-elles placées à des distances très différentes de la Terre et, par conséquent, très éloignées Tune et l'autre? Ou bien correspond-il à un rapprochement réel? C'est là un problème de probabilité des causes.

Je rappelle d'abord qu'au début de tous les problèmes de probabilité des effets qui nous ont occupés jusqu'ici, nous avons toujours dû placer une convention plus ou moins justifiée. Et, si le plus souvent le résultat était, dans une certaine mesure, indépendant de cette convention, ce n'était qu'à la condition de certaines hypothèses qui nous permettaient de rejeter à priori les fonctions discontinues, par exemple, ou certaines conventions saugrenues.

Nous retrouverons quelque chose d'analogue, en nous occupant de la probabilité des causes. Un effet peut être produit par la cause A ou par la cause B. L'effet vient d'être observé; on demande la probabilité pour qu'il soit dû à la cause A ; c'est la probabilité de la cause à posteriori. Mais, je ne pourrais la calculer, si une convention plus ou moins justifiée ne me faisait connaître d'avance quelle est la probabilité à priori, pour que la cause A entre en action ; je veux dire la probabi-

lité de cet événement, pour quelqu'un qui n'aurait

pas encore observé l'effet.

Pour mieux m'expliquer, je reviens à l'exemple

du jeu d'écarté, cité plus haut ; mon adversaire

donne pour la première fois et il tourne le roi ;

quelle est la probabilité pour que ce soit un grec?

g Les formules ordinairement enseignées donnent ^,

résultat évidemment bien surprenant. Si on les examine de plus près, on voit qu'on fait le calcul comme si, avant de nous asseoir à la table de jeu, j'avais considéré qu'il y avait une chance sur deux pour que mon adversaire ne fût pas honnête. Hypothèse absurde, puisque, dans ce cas, je n'aurais certainement pas joué avec lui; et c'est ce qui explique l'absurdité de la conclusion.

La convention sur la probabilité à priori était injustifiée ; c'est pour cela que le calcul de la probabilité à posteriori m'avait conduit à un résultat inadmissible. On voit l'importance de cette convention préalable; j'ajouterai même que, si l'on n'en faisait aucune, le problème de la probabilité à posteriori n'aurait aucun sens; il faut toujours le faire, soit explicitement, soit tacitement.

Passons à un exemple d'un caractère plus scientifique. Je veux déterminer une loi expérimentale; cette loi, quand je la connaîtrai, pourra être représentée par une courbe; je fais un certain nombre d'observations isolées; chacune d'elles sera représentée par un point. Quand j'ai obtenu ces différents points, je fais passer une courbe entre ces

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points en m'efforçant de m'en écarter le moins possible et, cependant, de conserver à ma courbe une forme régulière, sans points anguleux, sans inflexions trop accentuées, sans variation brusque du rayon de courbure. Cette courbe me représentera la loi probable, et j'admets, non seulement qu'elle me fait connaître les valeurs de la fonction intermédiaires entre celles qui ont été observées, mais encore qu'elle me fait connaître les valeurs observées elles-mêmes plus exactement que l'observation directe (c'est pour cela que je la fais passer près de mes points et non pas par ces points eux-mêmes.

C'est là un problème de probabilité des causes. Les effets, ce sont les mesures que j'ai enregistrées ; ils dépendent de la combinaison de deux causes : la loi véritable du phénomène et les erreurs d'observations. Il s'agit, connaissant les effets, de chercher la probabilité pour que le phénomène obéisse à telle loi, et pour que les observations aient été affectées de telle erreur. La loi la plus probable correspond alors à la courbe tracée, et l'erreur la plus probable d'une observation est représentée par la distance du point correspondant à cette courbe.

Mais, le problème n'aurait aucun sens si, avant toute observation, je ne me faisais une idée à priori de la probabilité de telle ou telle loi, et des chances d'erreur auxquelles je suis exposé.

Si mes instruments sont bons (et cela, je le savais avant d'avoir observé), je ne permettrai pas

à ma courbe de s'écarter beaucoup des points qui représentent les mesures brutes. S'ils sont mauvais, je pourrai m'en éloigner un peu plus, afin d'obtenir une courbe moins sinueuse ; je sacrifierai davantage à la régularité.

Pourquoi donc est-ce que je cherche à tracer une courbe sans sinuosités? C'est parce que je considère à priori une loi représentée par une fonction continue (ou par une fonction dont les dérivées d'ordre élevé sont petites), comme plus probable qu'une loi ne satisfaisant pas à ces conditions. Sans cette croyance, le problème dont nous parlons n'aurait aucun sens ; l'interpolation serait impossible ; on ne pourrait déduire une loi d'un nombre fini d'observations; la science n'existerait pas.

Il y a cinquante ans, les physiciens considéraient une loi simple comme plus probable qu'une loi compliquée, toutes choses égales d'ailleurs. Ils invoquaient même ce principe en faveur de la loi de Mariotte contre les expériences de Regnault. Aujourd'hui, ils ont répudié cette croyance; que de fois pourtant ne sont-ils pas obligés d'agir comme s'ils l'avaient conservée! Quoi qu'il en soit, ce qui reste de cette tendance, c'est la croyance à la continuité, et nous venons de voir que, si cette croyance disparaissait à son tour, la science expérimentale deviendrait impossible.

VI. — La Théorie des Erreurs. — Nous sommes ainsi amenés à parler de la théorie des

erreurs, qui se rattache directement au problème de la probabilité des causes. Ici encore nous contatons des effets, à savoir un certain nombre d'observations discordantes, et nous cherchons à deviner les causes, qui sont d'une part la véritable valeur de la quantité à mesurer, d'autre part l'erreur commise dans chaque observation isolée. Il faudrait calculer quelle est à posteriori la grandeur probable de chaque erreur, et, par conséquent, la valeur probable de la quantité à mesurer.

Mais, ainsi que je viens de l'expliquer, on ne saurait entreprendre ce calcul, si l'on n'admettait à priori, c'est-à-dire avant toute observation, une loi de probabilité des erreurs. Y a-t-il une loi des erreurs?

La loi des erreurs admise par tous les calculateurs est la loi de Gauss, qui est représentée par une certaine courbe transcendante connue sous le nom de « courbe en cloche ».

Mais d'abord il convient de rappeler la distinction classique entre les erreurs systématiques et accidentelles. Si nous mesurons une longueur avec un mètre trop long, nous trouverons toujours un nombre trop faible et il ne servira à rien de recommencer la mesure plusieurs fois ; c'est là une erreur systématique. Si nous la mesurons avec un mètre exact, nous pourrons nous tromper cependant, mais nous nous tromperons tantôt en plus, tantôt en moins, et, quand nous ferons la moyenne d'un grand nombre de mesures, l'erreur

tendra à s'atténuer. Ce sont là des erreurs accidentelles.

Il est évident d'abord que les erreurs systématiques ne peuvent satisfaire à la loi de Gauss ; mais les erreurs accidentelles y satisfont-elles? On a tenté un grand nombre de démonstrations ; presque toutes sont de grossiers paralogismes. On peut néanmoins démontrer la loi de Gauss en partant des hypothèses suivantes : Terreur commise est la résultante d'un très grand nombre d'erreurs partielles et indépendantes ; chacune des erreurs partielles est très petite et obéit d'ailleurs à une loi de probabilité quelconque, sauf que la probabilité d'une erreur positive est la même que celle d'une erreur égale et de signe contraire. Il est évident que ces conditions seront remplies souvent, mais pas toujours, et nous pourrons réserver le nom d'accidentelles aux erreurs qui y satisfont.

On voit que la méthode des moindres carrés n'est pas légitime dans tous les cas; en général, les physiciens s'en défient plus que les astronomes. Cela tient sans doute à ce que ces derniers, outre les erreurs systématiques qu'ils rencontrent comme les physiciens, ont à lutter avec une cause d'erreur extrêmement importante et qui est tout à fait accidentelle; je veux parler des ondulations atmosphériques. Aussi il est très curieux d'entendre un physicien discuter avec un astronome au sujet d'une méthode d'observation : le physicien, persuadé qu'une bonne mesure vaut mieux que beau-

coup de mauvaises, se préoccupe avant tout d'éliminer à force de précautions les dernières erreurs systématiques et l'astronome lui répond : « Mais vous ne pourrez observer ainsi qu'un petit nombre d'étoiles; les erreurs accidentelles ne disparaîtront pas ».

Que devons-nous conclure? Faut-il continuer à appliquer la méthode des moindres carrés? Nous devons distinguer : nous avons éliminé toutes les erreurs systématiques que nous avons pu soupçonner ; nous savons bien qu'il y en a encore, mais nous ne pouvons les découvrir; cependant, il faut prendre un parti et adopter une valeur définitive, qui sera regardée comme la valeur probable ; pour cela, il est évident que ce que nous avons de mieux à faire, c'est d'appliquer la méthode de Gauss. Nous n'avons fait qu'appliquer une règle pratique se rapportant à la probabilité subjective. Il n'y a rien à dire.

Mais l'on veut aller plus loin et affirmer que non seulement la valeur probable est de tant, mais que l'erreur probable commise sur le résultat est de tant. Cela est absolument illégitime; cela ne serait vrai que si nous étions sûrs que toutes les erreurs systématiques sont éliminées, et nous n'en savons absolument rien. Nous avons deux séries d'observations ; en appliquant la règle des moindres carrés, nous trouvons que l'erreur probable sur la première série est deux fois plus faible que sur la seconde. La seconde série peut cependant être meilleure crue la première, parce que la

première, est peut-être affectée d'une grosse erreur systématique. Tout ce que nous pouvons dire, c'dst que la première série est probablement meilleure que la seconde, puisque son erreur accidentelle est plus faible, et que nous n'avons aucune raison d'affirmer que Terreur systématique est plus grande pour une des séries que pour l'autre, notre ignorance à ce sujet étant absolue.

VIL — Conclusions. — Dans les lignes qui précèdent, j'ai posé bien des problèmes sans en résoudre aucun. Je ne regrette pas cependant de les avoir écrites, car elles inviteront peut-être le lecteur à réfléchir sur ces délicates questions.

Quoi qu'il en soit, il y a certains points qui semblent bien établis. Pour entreprendre un calcul quelconque de probabilité, et même pour que ce oalcul ait un sens, il faut admettre, comme point de départ, une hypothèse ou une convention qui comporte toujours un certain degré d'arbitraire. Dans le choix de cette convention, nous ne pouvons être guidés que par le principe de raison suffisante. Malheureusement, ce principe est bien vague et bien élastique et, dans l'examen rapide que nous venons de faire, nous l'avons vu prendre bien des formes différentes. La forme sous laquelle nous l'avons rencontré le plus souvent, c'est la croyance à la continuité, croyance qu'il serait difficile de justifier par un raisonnement apodictique,

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mais sans laquelle toute science serait impossible. Enfin, les problèmes où le calcul des probabilités peut être appliqué avec profit sont ceux où le résultat est indépendant de l'hypothèse faite au début, pourvu seulement que cette hypothèse satisfasse à la condition de continuité,