CHAPITRE IV L'Espace et là Géométrie

Commençons par un petit paradoxe.

Des êtres dont l'esprit serait fait comme le nôtre et qui auraient les mêmes sens que nous, mais qui n'auraient reçu aucune éducation préalable, pourraient recevoir d'un monde extérieur convenablement choisi des impressions telles qu'ils seraient amenés à construire une géométrie autre que celle d'Euclide et à localiser les phénomènes de ce monde extérieur dans un espace non euclidien ou même dans un espace à quatre dimensions.

Pour nous, dont l'éducation a été faite par notre monde actuel, si nous étions brusquement transportés dans ce monde nouveau, nous n'aurions pas de difficulté à en rapporter les phénomènes à notre espace euclidien. Inversement, si ces êtres étaient transportés chez nous, ils seraient amenés à rapporter nos phénomènes à l'espace non euclidien.

Que dis-je; avec un peu d'efforts nous pourrions le faire également. Quelqu'un qui y consacrerait son existence pourrait peut-être arriver à se représenter la quatrième dimension.

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L'espace géométrique et l'espace représentatif. — On dit souvent que les images des objets extérieurs sont localisées dans l'espace, que même elles ne peuvent se former qu'à cette condition. On dit aussi que cet espace, qui sert ainsi de cadre tout préparé à nos sensations et à nos représentations, est identique à celui des géomètres dont il possède toutes les propriétés.

À tous les bons esprits qui pensent ainsi, la phrase précédente a dû paraître bien extraordinaire. Mais il convient de voir s'ils ne subissent pas quelque illusion qu'une analyse approfondie pourrait dissiper.

Quelles sont d'abord les propriétés de l'espace proprement dit? je veux dire de celui qui fait l'objet de la géométrie et que j'appellerai Vespace géométrique. Voici quelques-unes des plus essentielles :

1° Il est continu;

2° Il est infini;

3° Il a trois dimensions;

4° Il est homogène, c'est-à-dire que tous ses points sont identiques entre eux;

5° Il est isotrope, c'est-à-dire que toutes les droites qui passent par un même point sont identiques entre elles.

Comparons-le maintenant au cadre de nos représentations et de nos sensations, que je pourrais appeler Vespace représentatif.

L'espace visuel. — Considérons d'abord une

impression purement visuelle, due à une image qui se forme sur le fond de la rétine.

Une analyse sommaire nous montre cette image comme continue, mais comme possédant seulement deux dimensions, cela distingue déjà de l'espace géométrique ce que Ton peut appeler Yespace visuel pur.

D'autre part cette image est enfermée dans un cadre limité.

Enfin il y a une autre différence non moins importante : cet espace visuel pur n'est pas homogène. Tous les points de la rétine, abstraction faite des images qui s'y peuvent former, ne jouent pas le même rôle. La tache jaune ne peut à aucun titre être regardée comme identique à un point du bord de la rétine. Non seulement en effet le même objet y produit des impressions beaucoup plus vives, mais dans tout cadre limité le point qui occupe le centre du cadre n'apparaîtra pas comme identique à un point voisin de l'un des bords.

Une analyse plus approfondie nous montrerait sans doute que cette continuité de l'espace visuel et ses deux dimensions ne sont non plus qu'une illusion; elle l'éloignerait donc encore davantage de l'espace géométrique, mais passons sur cette remarque dont les conséquences ont été suffisamment examinées au chapitre IL

Cependant la vue nous permet d'apprécier les distances et par conséquent de percevoir une troisième dimension. Mais chacun sait que cette per-

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ception de la troisième dimension se réduit au sentiment de l'effort d'accommodation qu'il faut faire, et à celui de la convergence qu'il faut donner aux deux yeux, pour percevoir un objet distinctement.

Ce sont là des sensations musculaires tout à fait différentes des sensations visuelles qui nous ont donné la notion des deux premières dimensions. La troisième dimension ne nous apparaîtra donc pas comme jouant le même rôle que les deux autres. Ce que l'on peut appeler l'espace visuel complet n'est donc pas un espace isotrope.

Il a, il est vrai, précisément trois dimensions; cela veut dire que les éléments de nos sensations visuelles (ceux du moins qui concourent à former la notion de l'étendue, seront complètement définis quand on connaîtra trois d'entre eux ; pour employer le langage mathématique, ce seront des fonctions de trois variables indépendantes.

Mais examinons la chose d'un peu plus près, La troisième dimension nous est révélée de deux manières différentes : par l'effort d'accommodation et par la convergence des yeux.

Sans doute ces deux indications sont toujours concordantes, il y a entre elles une relation constante, ou en termes mathématiques, les deux variables qui mesurent ces deux sensations musculaires ne nous apparaissent pas comme indépendantes, ou bien encore nous pouvons pour éviter un appel à des notions mathématiques déjà assez raffinées, revenir au langage du cha-

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pitre II et énoncer le même fait comme il suit : Si deux sensations de convergence A et B sont indiscernables, les deux sensations d'accommodation A' et B' qui les accompagneront respectivement seront également indiscernables.

Mais c'est là pour ainsi dire un fait expérimental; rien n'empêche à priori de supposer le contraire, et si le contraire a lieu, si ces deux sensations musculaires varient indépendamment Tune de l'autre, nous aurons à tenir compte d'une variable indépendante de plus et « l'espace visuel complet » nous apparaîtra comme un continu physique à quatre dimensions.

C'est là même, ajouterai-je, un fait d'expérience externe. Rien n'empêche de supposer qu'un être ayant l'esprit fait comme nous, ayant les mêmes organes des sens que nous, soit placé dans un monde où la lumière ne lui parviendrait qu'après avoir traversé des milieux réfringents de forme compliquée. Les deux indications qui nous servent à apprécier les distances, cesseraient d'être liées par une relation constante. Un être qui ferait dans un pareil monde l'éducation de ses sens, attribuerait sans doute quatre dimensions à l'espace visuel complet.

L'espace tactile et l'espace moteur. — « L'espace tactile »' est plus compliqué encore que l'espace visuel et s'éloigne davantage de l'espace géométrique. Il est inutile de répéter, pour le toucher, la discussion que j'ai faite pour la vue.

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Mais en dehors des données de la vue et an toucher, il y d'autres sensations qui contribuent autant et plus qu'elles à la genèse de la notion d'espace. Ce sont celles que tout le monde connaît, qui accompagnent tous nos mouvements et que Ton appelle ordinairement musculaires.

Le cadre correspondant constitue ce que Ton peut appeler Yespace moteur.

Chaque muscle donne naissance à une sensation spéciale susceptible d'augmenter ou de diminuer, de sorte que l'ensemble de nos sensations musculaires dépendra d'autant de variables que nous avons de muscles. A ce point de vue, l'espace moteur aurait autant de dimensions que nous avonf de muscles.

Je sais qu'on va dire que si les sensations musculaires contribuent à former la notion d'espace, c'est que nous avons le sentiment de la direction de chaque mouvement et qu'il fait partie intégrante de la sensation. S'il en était ainsi, si une sensation musculaire ne pouvait naître qu'accompagnée de ce sentiment géométrique de la direction, l'espace géométrique serait bien une forme imposée à notre sensibilité.

Mais c'est ce que je n'aperçois pas du tout quand j'analyse mes sensations.

Ce que je vois, c'est que les sensations qui correspondent à des mouvements de même direction sont liées dans mon esprit par une simple association d'idées. C'est à cette association que se ramène ce que nous appelons « le sentiment de

la direction ». On ne saurait donc retrouver ce sentiment dans une sensation unique.

Cette association est extrêmement complexe, puisque la contraction d'un môme muscle peut correspondre, selon la position des membres, à des mouvements de direction très différente.

Elle est d'ailleurs évidemment acquise ; elle est, comme toutes les associations d'idées, le résultat d'une habitude; cette habitude résulte elle-même d'expériences très nombreuses ; sans aucun doute, si l'éducation de nos sens s'était faite dans un milieu différent, où nous aurions subi des impressions différentes, des habitudes contraires auraient pris naissance et nos sensations musculaires se seraient associées selon d'autres lois.

Caractères de l'espace représentatif. — Ainsi l'espace représentatif, sous sa triple forme, visuelle, tactile et motrice, est essentiellement différent de l'espace géométrique.

Il n'est ni homogène, ni isotrope ; on ne peut même pas dire qu'il ait trois dimensions.

On dit souvent que nous « projetons » dans l'espace géométrique les objets de notre perception externe ; que nous les « localisons » .

Cela a-t-il un sene et quel sens cela a-t-il?

Cela veut-il dire que nous nous représentons les objets extérieurs dans l'espace géométrique ?

Nos représentations ne sont que la reproduction de nos sensations, elles ne peuvent donc se ranger

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que dans le même cadre qu'elles, c'est-à-dire dans l'espace représentatif.

Il nous est aussi impossible de nous représenter les corps extérieurs dans l'espace géométrique, qu'il est impossible à un peintre de peindre, sur un tableau plan, des objets avec leurs trois dimensions.

L'espace représentatif n'est qu'une image de l'espace géométrique, image déformée par une sorte de perspective, et nous ne pouvons nous représenter les objets qu'en les pliant aux lois de cette perspective.

Nous ne nous représentons donc pas les corps extérieurs dans l'espace géométrique, mais nous raisonnons sur ces corps, comme s'ils étaient situés dans l'espace géométrique.

Quand on dit d'autre part que nous « localisons » tel objet en tel point de l'espace, qu'est-ce que cela veut dire?

Cela signifie simplement que nous nous représentons les mouvements qu'il faut faire pour atteindre cet objet ; et qu'on ne dise pas que pour se représenter ces mouvements, il faut les projeter euxmêmes dans l'espace et que la notion d'espace doit, par conséquent, préexister.

Quand je dis que nous nous représentons ces mouvements, je veux dire seulement que nous nous représentons les sensations musculaires qui les accompagnent et qui n'ont aucun caractère géométrique, qui par conséquent n'impliquent nullement la préexistence de la notion d'espace.

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Changements d'état et changements de position. — Mais, dira-t-on, si l'idée de l'espace géométrique ne s'impose pas à notre esprit, si d'autre part aucune de nos sensations ne peut nous la fournir, comment a-t-elle pu prendre naissance ?

C'est ce que nous avons maintenant à examiner et cela nous demandera quelque temps, mais je puis résumer en quelques mots la tentative d'explication que je vais développer.

Aucune de nos sensations, isolée, ri aurait pu nous conduire à ridée de l'espace, nous y sommes amenés seulement en étudiant les lois suivant lesquelles ces sensations se succèdent.

Nous voyons d'abord que nos impressions sont sujettes au changement; mais parmi les changements que nous constatons, nous sommes bientôt conduits à faire une distinction.

Nous disons tantôt que les objets, causes de ces impressions, ont changé d'état, tantôt qu'ils ont changé de position, qu'ils se sont seulement déplacés.

Qu'un objet change d'état ou seulement de position, cela se traduit toujours pour nous de la même manière : par une modification dans un ensemble d'impressions.

Comment donc avons-nous pu être amenés à les distinguer? Il est facile de s'en rendre compte. S'il y a eu seulement changement de position, nous pouvons restaurer l'ensemble primitif d'impressions en faisant des mouvements qui nous replacent vis-à-vis de l'objet mobile dans la même

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situation relative. Nous corrigeons ainsi la modification qui s'est produite et nous rétablissons l'état initial par une modification inverse.

S'il s'agit par exemple de la vue et si un objet se déplace devant notre œil, nous pouvons le « suivre de l'œil » et maintenir son image en un même point de la rétine par des mouvements appropriés du globe oculaire.

Ces mouvements, nous en avons conscience parce qu'ils sont volontaires et parce qu'ils sont accompagnés de sensations musculaires, mais cela ne veut pas dire que nous nous les représentons dans l'espace géométrique.

Ainsi ce qui caractérise le changement de position, ce qui le distingue du changement d'état, c'est qu'il peut être corrigé par ce moyen.

Il peut donc arriver que Ton passe de l'ensemble d'impressions A à l'ensemble B de deux manières différentes : 1° involontairement et sans éprouver de sensations musculaires, c'est ce qui arrive quand c'est l'objet qui se déplace ; 2° volontairement et avec des sensations musculaires, c'est ce qui arrive quand l'objet est immobile, mais que nous nous déplaçons, de telle façon que l'objet a par rapport à nous un mouvement relatif.

S'il en est ainsi, le passage de l'ensemble A à l'ensemble B n'est qu'un changement de position.

Il résulte de là que la vue et le toucher ne nous auraient pu donner la notion d'espace sans le secours du « sens musculaire ».

Non seulement cette notion ne pouvait dériver

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d'une sensation unique, mais d'une suite de sensations, mais encore un être immobile n'aurait pu jamais l'acquérir puisque, ne pouvant corriger par ses mouvements les effets des changements de position des objets extérieurs, il n'aurait eu aucune raison de les distinguer des changements d'état. Il n'aurait pu l'acquérir non plus si ses mouvements n'étaient pas volontaires ou s'ils n'étaient pas accompagnés de sensations quelconques.

Conditions de la compensation. — Comment une pareille compensation est-elle possible de telle façon que deux changements, d'ailleurs indépendants l'un de l'autre, se corrigent réciproquement?

Un esprit qui saurait déjà la géométrie raisonnerait comme il suit :

Pour que la compensation se produise, il faut évidemment que les diverses parties de l'objet extérieur d'une part, les divers organes de nos sens d'autre part, se retrouvent après le double changement, dans la même position relative. Et pour cela il faut que les diverses parties de l'objet extérieur aient également conservé, les unes par rapport aux autres, la même position relative et qu'il en soit de même des diverses parties de notre corps les unes par rapport aux autres.

En d'autres termes, l'objet extérieur, dans le premier changement, doit se déplacer à la façon d'un solide invariable et il en doit être de même de

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l'ensemble de notre corps dans le second changement qui corrige le premier.

A ces conditions, la compensation peut se produire.

Mais nous qui ne savons pas encore la géométrie, puisque pour nous la notion d'espace n'est pas encore formée, nous ne pouvons pas raisonner de la sorte, nous ne pouvons pas prévoir à priori si la compensation est possible. Mais l'expérience nous apprend qu'elle se fait quelquefois et c'est de ce fait expérimental que nous partons pour distinguer les changements d'état des changements de position.

Les corps solides et la géométrie. — Parmi les objets qui nous entourent, il y en a qui éprouvent fréquemment des déplacements susceptibles d'être ainsi corrigés par un mouvement corrélatif de notre propre corps, ce sont les corps solides.

Les autres objets, dont la forme est variable, ne subissent qu'exceptionnellement de semblables déplacements (changement de position sans changement de forme). Quand un corps s'est déplacé en se déformant, nous ne pouvons plus, par des mouvements appropriés, ramener les organes de nos sens dans la même situation relative par rapport à ce corps ; nous ne pouvons plus par conséquent rétablir l'ensemble primitif d'impressions.

Ce n'est que plus tard, et à la suite d'expériences nouvelles, que nous apprenons à décomposer les corps de forme variable en éléments plus petits

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tels que chacun d'eux se déplace à peu près suivant les mêmes lois que les corps solides. Nous distinguons ainsi les « déformations » des autres changements d'état ; dans ces déformations chaque élément subit un simple changement de position, qui peut être corrigé, mais la modification subie par l'ensemble est plus profonde et n'est plus susceptible d'être corrigée par un mouvement corrélatif.

Une pareille notion est déjà très complexe et n'a pu apparaître que d'une façon relativement tardive ; elle n'aurait pu naître d'ailleurs si l'observation des corps solides ne nous avait appris déjà à distinguer les changements de position.

Si donc il n'y avait pas de corps solides dans la nature, il n'y aurait pas de géométrie.

Une autre remarque mérite aussi un instant d'attention. Supposons un corps solide occupant, d'abord la position a et passant ensuite à la position JB ; dans sa première position, il causera sur nous l'ensemble d'impressions A, et dans sa seconde position l'ensemble d'impressions B. Soit maintenant un second corps solide, ayant des qualités entièrement différentes du premier, par exemple de couleur différente. Supposons encore qu'il passe de la position oc, où il cause sur nous l'ensemble d'impressions A', à la position (3, où il cause sur nous l'ensemble d'impressions B'.

En général, l'ensemble A n'aura rien de commun avec l'ensemble A', ni l'ensemble B avec l'ensemble B'. Le passage de l'ensemble A à l'ensem-