L ESPACE ET LA GEOMETRIE

est possible si Ton suppose que les membres de ces êtres se dilatent d'après la même loi que les autres corps du monde qu'ils habitent.

Bien qu'au point de vue de notre géométrie habituelle les corps se soient déformés dans ce déplacement et que leurs diverses parties ne se retrouvent plus dans la même situation relative, cependant nous allons voir que les impressions de l'être sentant sont redevenues les mêmes.

En effet, si les distances mutuelles des diverses parties ont pu varier, néanmoins les parties primitivement en contact sont revenues en contact. Les impressions tactiles n'ont donc pas changé.

D'autre part, en tenant compte de l'hypothèse faite plus haut au sujet de la réfraction et de la courbure des rayons lumineux, les impressions visuelles seront aussi restées les mêmes.

Ces êtres imaginaires seront donc comme nous conduits à classer les phénomènes dont ils seront témoins et à distinguer parmi eux, les « changements de position » susceptibles d'être corrigés par un mouvement volontaire corrélatif.

S'ils fondent une géométrie, ce ne sera pas comme la nôtre, l'étude des mouvements de nos solides invariables ; ce sera celle des changements de position qu'ils auront ainsi distingués, et qui ne sont autres que les « déplacements non euclidiens », ce sera la géométrie non euclidienne.

Ainsi des êtres comme nous, dont l'éducation se ferait dans un pareil monde, n'auraient pas la même géométrie que nous.

88 LA SCIENCE ET i/HYPOTHÈSE

Le monde à quatre dimensions. — De même

qu'un monde non euclidien, on peut se représenter un monde à quatre dimensions.

Le sens de la vue, même avec un seul œil, joint aux sensations musculaires relatives aux mouvements du globe oculaire, pourrait suffire pour nous faire connaître l'espace à trois dimensions.

Les images des objets extérieurs viennent se peindre sur la rétine qui est un tableau à deux dimensions ; ce sont des perspectives.

Mais, comme ces objets sont mobiles, comme il en est de même de notre œil, nous voyons successivement diverses perspectives d'un même corps, prises de plusieurs points de vue différents.

Nous constatons en même temps que le passage d'une perspective à une autre est souvent accompagné de sensations musculaires.

Si le passage de la perspective A à la perspective B, et celui de la perspective A' à la perspective B' sont accompagnés des mêmes sensations musculaires, nous les rapprochons l'un de l'autre comme des opérations de même nature.

Étudiant ensuite les lois d'après lesquelles se combinent ces opérations, nous reconnaissons qu'elles forment un groupe, qui a même structure que celui des mouvements des solides invariables.

Or nous avons vu que c'est des propriétés de ce groupe que nous avons tiré la notion de l'espace géométrique et celle des trois dimensions.

Nous comprenons ainsi comment l'idée d'un espace à trois dimensions a pu naître du spectacle

l'espace et la géométrie 89

de ces perspectives, bien que chacune d'elles n'ait que deux dimensions, parce qu'elles se succèdent suivant certaines lois.

Eh bien, de même qu'on peut faire sur un plan la perspective d'une figure à trois dimensions, on peut faire celle d'une figure à quatre dimensions sur un tableau à trois (ou à deux) dimensions. Ce n'est qu'un jeu pour le géomètre.

On peut même prendre d'une même figure plusieurs perpectives de plusieurs points de vue différents.

Nous pouvons facilement nous représenter ces perspectives puisqu'elles n'ont que trois dimensions.

Imaginons que les diverses perspectives d'un même objet se succèdent les unes aux autres ; que le passage de Tune à l'autre soit accompagné de sensations musculaires.

On considérera bien entendu deux de ces passages comme deux opérations de même nature quand ils seront associés aux mêmes sensations musculaires.

Rien n'empêche alors d'imaginer que ces opérations se combinent suivant telle loi que nous voudrons, par exemple de façon à former un groupe qui ait même structure que celui des mouvements d'un solide invariable à quatre dimensions.

Il n'y a rien là qu'on ne puisse se représenter et pourtant ces sensations sont précisément celles qu'éprouverait un être muni d'une rétine à deux

dimensions et qui pourrait se déplacer dans l'espace à quatre dimensions.

C'est dans ce sens qu'il est permis de dire qu'on pourrait se représenter la quatrième dimension.

Il ne serait pas possible de se représenter de cette façon l'espace de M. Hilbert dont nous parlions au chapitre précédent, parce que cet espace n'est plus un continu du second ordre. Il diffère donc beaucoup trop profondément de notre espace ordinaire.

Conclusions. — On voit que l'expérience joue un rôle indispensable dans la genèse de la géométrie ; mais ce serait une erreur d'en conclure que la géométrie est une science expérimentale, même en partie.

Si elle était expérimentale, elle ne serait qu'approximative et provisoire. Et quelle approximation grossière!

La géométrie ne serait que l'étude des mouvements des solides ; mais elle ne s'occupe pas en réalité des solides naturels, elle a pour objet certains solides idéaux, absolument invariables, qui n'en sont qu'une image simplifiée et bien lointaine.

La notion de ces corps idéaux est tirée de toutes pièces de notre esprit et l'expérience n'est qu'une occasion qui nous engage à l'en faire sortir.

Ce qui est l'objet de la géométrie, c'est l'étude d'un «groupe » particulier; mais le concept général de groupe préexiste dans notre esprit au moins en puissance. Il s'impose à nous, non comme

l'espace et la géométrie 01

forme de notre sensibilité, mais comme forme de notre entendement.

Seulement, parmi tous les groupes possibles, il faut choisir celui qui sera pour ainsi dire X étalon auquel nous rapporterons les phénomènes naturels.

L'expérience nous guide dans ce choix qu'elle ne nous impose pas; elle nous fait reconnaître non quelle est la géométrie la plus vrai* , mais quelle est la plus commode.

On remarquera que j'ai pu décrire les mondes fantaisistes que j'ai imaginés plus haut, sans cesser d'employer le langage de la géométrie ordinaire.

Et, en effet, nous n'aurions pas h en changer si nous y étions transportés.

Des êtres qui y feraient leur éducation trouveraient sans doute plus commode de créer une géométrie différente de la nôtre, qui s'adapterait mieux à leurs impressions. Quant à nous, en face des mêmes impressions, il est certain que nous trouverions plus commode de ne pas changer nos habitudes.