GI' = GI

On peut voir, par des considérations mécaniques très-simples, que le centre de gravité du tétraèdre est au milieu de la ligne qui joint les milieux de deux arêtes opposées.

Soit le tétraèdre ABCL) {Jîg- 59, PL XII). Coupons-le par des plans parallèles aux arêtes opposées CD et AB. Ces plans détermineront, sur les faces du tétraèdre, des parallélogrammes tels que abcd , a, b, c, (/, dont les côtés sont parallèles à CD et AB. Les centres de ces parallélogrammes sont évidemment sur la ligne 11' qui joint les milieux des arêtes CD et AB. Donc (§ 100) le centre de gravité du volume du tétraèdre se trouve sur celle ligue.

De plus, ces parallélogrammes ayant tous même angle, leurs aires sont entre elles comme les produits de leurs côtés, en sorte que

aire nbrd nb X tlh

aire a, b, c, cl, a, b, X à, b,

ab Cb

ci, b, C b, *

bd B b

b, tl, ~~ B b,'

donc

aire abcd a b X db C h X B b

aire a, b, c, d, a,b,x.d,b, CiiXBô,’

c’est-à-dire que les aires des parallélogrammes sont entre elles comme les produits des deux segments que leurs plans déterminent sur une arête CB. Donc, si l’on prend deux parallélogrammes tels que abcd et alUdd\ également distants des sommets C et B, ils sont équivalents, parce que C b = Bi'ct, par suite, Bi = C b'.

D’où

CtXB i Ci'X B//

Il résulte de là que si l’on considère deux plaques infiniment minces, d’égale épaisseur, ayant ces parallélogrammes pour bases, ces plaques auroul même volume et même poids, et le centre de gravité de l’ensemble des deux sera dans un plan équidistant de l’une et de l’autre, c’est-à-dire équidistant des sommets C et B. Comme il est sur la ligne II', il sera donc au milieu de celte ligne. Il en est de même de toutes les plaques que l’on considérera ainsi deux par deux, et par suite aussi du volume formé par l’ensemble de toutes ces plaques: et comme ce volume peut être rendu aussi voisin que l’on veut du volume du tétraèdre si les plaques sont prises suffisamment minces , le centre de gravité du tétraèdre se trouvera lui-même au milieu de la ligue II'.

De là, on déduirait comme corollaire ce théorème de Géométrie, démontré directement plus haut :

Les quatre lignes qui joignent les milieux des arêtes opposées d’un tétraèdre se croisent en un même point, qui est le milieu de chacune d’elles.

Pyramide et cône. — Le centre de gravité du volume d’une py ramide ou d’un cône à buse quelconque coïncide avec le centre de gravité de l’aire d’une section parallèle à la buse faite au quart de la hauteur de ta pyramide ou du cône, à partir de celte base.

En effet, menons les diagonales issues de l’un des sommets du polygone de base d une py ram idc, et décomposons celle-ci en tétraèdres au moyen de plans passant par ces diagonales et par le sommet de la pyramide. Le centre de gravité de chacun de ces tétraèdres coïn-

eide (§ 101, Corail. II) avec le centre de gravité du triangle que détermine, dans ce tétraèdre, une section parallèle à la base de la pyramide placée au quart de sa hauteur, à partir de cette base. De plus, le volume du tétraèdre est proportionnel à l’aire de ce même triangle. Donc, pour avoir le centre de gravité de la pyramide, il suffit, au centre de gravité de chacun de ces triangles, d’appliquer une force proportionnelle à son aire et de chercher le centre de toutes ces forces parallèles 5 ce qui revient à dire qu’il faut chercher le centre de gravité de l’aire du polygone que le plan sécant détermine dans la pyramide.

Ceci étant vrai, quelque nombreuses que soient les faces d’une pyramide inscrite dans un cène, l’est aussi pour un cône.

Tronc da pyramide et tronc de cône à bases parallèles. — Soit ( fig . 60, PL XII) un tronc de pyramide à bases parallèles ABCDErtècrfe. Prolongeons le tronc de façon à compléter la pyramide. Soit S son sommet; soient G t et G, les centres de gravité des pyramides SABCDE et S abede-, Q, et Q, leurs volumes. Les points G, et G, sont sur la ligne qui joint le sommet S aux centres de gravité g, et g , des bases et au quart des hauteurs Sgi et S g,, à partir de ces bases.

Le centre de gravité du tronc cherché se trouvera donc aussi sur cette ligne. Si Q est le volume du tronc, on aura

Donc {§ 80), pour obtenir le centre de gravité G, il suffit, aux centres de gravité G, et G,, d’appliquer des forces proportionnelles à Q, et Q,, parallèles et de sens contraires, et de chercher le centre; de ces forces parallèles. Le point G sera donc tel (§ 73), que

GG, Qi S«

GG, ” Qï "

D’après cela, menons du point S une ligne quelconque SX, et décrivons les arcs de cercle AA' et aa! ayant le point S pour centre. Menons les lignes antiparallèles A cl et A'n; prenons sur SX unfc

138 DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES CENTRES DE GRAVITÉ, longueur quelconque Si ; menons i i' parallèle à An'; l'a parallèle à n A', et a a' parallèle à An. On aura

Sa'

Sf7

St'

~ SA

" sa’

Si'

~ SA’

— SA

Sa'

SA 5

d’où, en multipliant membre à membre et supprimant les facteurs communs,

Si S/i GG,

**' " & gô; -

Iionc, si, au point G, on mène une ligne de direction arbitraire G, u, — Sa', et au point G, une parallèle à la précédente, G,u,= Si , et qu’on joigne les points u, et u„ la ligne u, u, ira rencontrer la ligne Gi G t au point cherché G.

Rien absolument n’est changé si, au lieu d’un tronc de pyramide, c’est un tronc de cône qui est donné. On prolongera deux arêtes quelconques du tronc jusqu’à leur rencontre en S, et l’on opérera sur l’une d’elles la construction faite sur SA et Sa.

Polyèdre quelconque. — Tout polyèdre pouvant être décomposé en pyramides ou en tétraèdres, on peut trouver maintenant le centre de gravité du volume d’un polyèdre quelconque.

Secteur sphérique. — Le centre de. gravité du volume d'un secteur sphérique est le centre de gravité de la surface d'une calotte sphérique ayant même centre que le secteur donné et pour rayon les trois quarts du rayon de ce secteur.

La démonstration est tout à fait semblable à celle relative an secteur de cercle (§92).

Portion d’enveloppe sphérique. — Considérons ( Jig . 61, PI. XII) une portion d’enveloppe sphérique, engendrée par la demi-révolution de l’anneau A, A, B, II, compris entre deux arcs de cercle concentriques cl les normales A, A, et K, B, à ces arcs, autour de l'axe OC, passant par leurs milieux. La ligne OC, est une ligne de symétrie sur laquelle se trouvera le centre de gravité cherché. Soit G cc point. Soient G, et G, les centres de gravité des secteurs O A, B, et OA,B, que nous savons trouver; Q, et Q, leurs volumes. Le volume Q de l’enveloppe est

Pour trouver son centre de gravité G, nous devons (§80) appliquer aux points G, et G, des forces parallèles, proportionnelles à Q, et Q, , de sens contraires, et chercher le centre de ces forces parallèles. Ce point sera sur le prolongement de G,G| et divisera cette ligne (§73) de façon que

GG, Q, Ôa'

ôg>~Q'~5aÏ

Menons les lignes A, C, et A, C,. Prenons sur OA, une longueur arbitraire O t; menons i i' parallèle à A, C,; l'a parallèle à C, A,, et a a' parallèle à A, C,. Ou verrait, comme au § 104, que

0 a' Oa| GG,