CHAPITRE I

SEMS D'UN POLnOlTE. SEIS D'UH CONTOUR FERMÉ. -- Oa appelle sens d'un contour polygonal fermé un sens convenu dans lequel le contour serait parcouru par un mobile idéal. Le sens d'une portion quelconque du contour est le sens dans lequel elle est parcourue par le mobile; Torigine de cette portion du contour est le point où le mobile l'atteint; son extrémité, le point où le mobile la quitte.

D'après cela, quand on s'est donné le sens d'un seul côlé appartenant à un contour polygonal fermé ou non, le sens de chacun des autres côtés se trouve par là môme difîni.

la ligne qui ferme un conlour polygonal, nous entendrons irs la ligne dirigée dans le sens du contour, c'est-à-dire que ne de celle ligne coïncide avec Yextrémilé du contour et

mous. — Nous désignerons habituellement les côtés des irs polygonaux par les chiiTres successifs i, a, 3, 4r ■■•, el conviendrons de disposer ces chiffres de façon que l'on ne le sens du contour eu les suivant dans leur ordre croisl'origine d'an côté quelconque sera donc son intersection e côlé désigné par le chiffre iuiniédiaLenicnl inférieur; son lité sera son intersection avec le côté désigné par le chilTre liatement supérieur.

sommet formé par deu\ côtés consécutifs, désignés par les :s /-et /■ H- 1 , sera habituellement désigné par ;■./■ -I- r , fig. \ [PL /) comprend un contour formé par les cinq côtés t, 4i 5- L'origine du contour est en a, son extrémité en b ; le qui ferme le contour est la ligne ba et non la ligne ab.

[TIOH BÉOUtlBiaUG. — Soient donnés les grandeurs, directions

s d'un certain nombre de lignes distribuées d'une manière

)nque dans un plan ou dans l'espace. A partir d'un point

inque, portons ces lignes bout à bout de manière à former

utour polygonal. La droite qui va de l'origine de ce contour

extrémité se nomme la somme géométrique ou simplement

me des lignes données.

:ontour polygonal obtenu en portant les lignes bout à bout

lime le polygone de ces lignes.

somme géométrique d'un certain nombre de bgnes est,

s cela, égale en grandeur et direction, mais (§ 1) opposée

s à la ligne qui ferme le polygone de ces lignes.

s désignerons habituellement les lignes données par les

s gras

et les côtés correspondants du polygone de ces lignes parles chiffres ordinaires similaires

I, Xj j, ^\j «.■•

Ainsi IsL^iff. 2 contient sept lignes ; le polygone de ces lignes est indiqué parles lignes pleines de Idifig. 2. La ligne ab est la somme géométrique de ces lignes ; la ligne ba est celle qui ferme leur polygone.

Remarque. — On voit que le polygone des lignes fournit non seulement la somme géométrique de toutes les lignes données, mais aussi les sommes partielles de deux ou plusieurs de ces lignes, pourvu qu'elles soient consécutives. Ainsi cd est la somme géométrique des lignes 2, 3, 4 ; ce, celle des lignes 2, 3, 4» 5, et ainsi de suite.

Théorème. — La somme géométrique d' un nombre quelconque de lignes est indépendante de V ordre dans lequel on les additionne.

11 est évident d'abord que Ton ne change pas la somme des lignes données si, dans l'addition, on intervertit l'ordre de deux lignes consécutives. Ainsi intervertissons {fig* 2, PL I) l'ordre de succession des lignes 4 et 5 ; cela reviendra à porter à la suite de 3 une ligne 5| égale et parallèle à 5, et au bout de celle-ci une ligne 4i égale et parallèle à 4* L<e contour 5|.4f aboutira au point e aussi bien que le contour 4*5, en sorte que les lignes subséquentes 6 et y ne changeront pas de place, et la ligne qui va de l'origine à l'extrémité du contour i.2.3.5|.4i.6.7 est la même que celle qui va de l'origine à l'extrémité du contour 1.2.3.4.5.6.7, ce qui signifie, en convenant d'employer, pour les sommes géométriques, le signe de l'addition ordinaire, que les deux sommes géométriques

1 -r- A -t- 3 H- 5 -h 4 -f- 6 -h 7 et I -h '2 -h 3 -i- 4 -f- 5 -h 6 H- 7

sont les mêmes.

Du moment que l'on peut, sans altérer la somme de lignes données, permuter une ligne avec celle qui la précède ou qui la suit, on pourra, par une nouvelle permutation, la faire avancer ou re-

4 I™ 8KCTI0N. — CHAP. I.

culer de deux rangs; par une autre permutation, de trois rangs et ainsi de suite, de sorte que Ton pourra, sans changer la somme, amener une ligne quelconque à occuper un rang quelconque.

Remarque I. — On peut encore énoncer ainsi la proposition qui précède :

Si un polygone dont les calés sont donnés en grandeur, direction et sens, se ferme lorsque ses côtés se succèdent dans un certain ordre, il se fermera également quel que soit V ordre de leur succession.

Remarque IL — La somme géométrique de deux lignes issues d'un même point est égale en grandeur, direction et sens à la diagonale du parallélogramme qu'elles déterminent, issue de ce point.

Théorème. — La somme géométrique d'un nombre quelconque de lignes n'est pas altérée si, dans l'addition, on remplace certains groupes de ces lignes par leurs sommes géométriques partielles.

Cela est évident si les lignes que l'on remplace par leurs sommes partielles sont consécutives. Ainsi l'on a (fig' 2, PL 1)

et ainsi de suite, et, comme on peut (§ 4) amener des lignes quelconques à être consécutives, le théorème se trouve vrai pour des lignes quelconques.

Cas particulier des lignes parallèles. — Lorsque les lignes à additionner sont parallèles, leur polygone se réduit à une droite et leur somme géométrique se confond avec leur somme arithmé— tique si elles sont toutes dirigées dans le même sens, avec leur somme algébrique si elles sont les unes d'un sens et les autres de sens contraire, pourvu que l'on convienne, suivant l'usage, d'attribuer des signes contraires aux premières et aux dernières, hes^g. 4

et 4î PI' l) donnent la somme gébmétrique de cinq lignes i , 2, 3 , 4> 5, dont le polygone se réduit à une droite ayant son origine en a et son extrémité en 6, de sorte que ab est la somme des lignes données* Pour plus de clarté, on a mis une double ligne, ce qui permet de mieux distinguer, dans les lignes qui se superposent, celles qui sont dirigées dans un sens et celles qui sont en sens opposé. Il n'y a aucune ambiguïté sur le sens à attribuer à chaque ligne, si l'on se rappelle (§ 1) que le sens du polygone des lignes (polygone réduit ici à une droite) se trouve en suivant les lignes dans Tordre croissant des chilïres qui les représentent. Ainsi, parlant de l'origine a, on voit que la ligne i va de droite à gauche; puis vient 2, qui va de gauche à droite; puis 3, qui va de droite à gauche; puis 4, qui va dans le même sens ; et enfin 5, qui vient de gauche à droite aboutir à l'extrémité b du polygone, en sorte que ab est la somme géométrique des lignes données et ba la droite qui ferme leur polygone.

Théorème. — La projectioriy sur unplariy de la somme géométrique d'un certain nombre de lignes est égale à la somme géométrique de leurs projections sur ce plan,

La projection, sur une droite, de la somme géométrique d^un certain nombre de lignes est égale à la somme algébrique de leurs projections sur cette ligne.

On ^.ç^eWe projection sur un plan ou sur une droite d'une ligne donnée en grandeur, direction et sens, une autre ligne dont l'origine est la projection de l'origine de la ligne donnée et l'extrémité, la projection de l'extrémité de la ligne donnée. 11 résulte de là que le sens de la ligne projetée découle immédiatement du sens de la ligne que l'on projette, par suite aussi le signe à attribuer à la grandeur de la projection lorsqu'il s'agit de la projection sur un axe, dès qu'on a choisi conventionnellement le sens positif des droites dirigées suivant cet axe.

D'après cela, le théorème énoncé est évident. Si l'on projette le polygone plan ou gauche ijig' 2, PL 1) sur un plan ou sur une droite, la ligne a6, égale et opposée à celle qui ferme le polygone de l'espace, se projette suivant une ligne égale et opposée à celle

6 l*** SECTION. — CHAP. I.

qui ferme le polygone projeté, lequel, dans le cas de la projection sur un axe, est tout entier dirige suivant l'axe.

Corollaire. — La somme géométrique des projections d^un polygone fermé sur un plan ou sur une droite est nulle.

Tout ce qui précède est vrai, que les lignes données soient ou non toutes situées dans un plan; mais ce n'est que quand elles sont dans un plan que leur addition géométrique pourra s'effectuer graphiquement. S'il s'agit de lignes qui ne sont pas situées dans un même plan, on devra se les donner, comme c'est l'usage en Géométrie descriptive, en projection sur deux plans; et, d'après le dernier théorème, il suffira d'additionner les lignes sur chacun des deux plans de projection pour avoir les deux projections de leur somme géométrique et, par suite, le moyen de déterminer graphiquement cette somme elle-même.

SOïïSTBAGTIOlIftÉOMÉTRIfllUE. — Soustraire géométriquement une ligne b d^une ligne a^ c'est additionner cette dernière à la première changée de sens.

Soient, par exemple, les deux lignes 1 et 2 (fi g- 3, PL J), ayant leurs grandeurs représentées par i et a (Jig» 3).

Leur différence est cd= ( — a) -h i, tandis que leur somme serait ab, abcd étant un parallélogramme.

MDLTIPUGATIOH DE UGHES. — Soit à déterminer le produit de n lignes

«1» «2> *3j 'kr • • •> •/!•

Pour le trouver graphiquement, sur une ligne OX {/ig- 5, PL II), portons une longueur arbitraire 01 =rf; puis, sur une perpendiculaire à OX élevée en 1 , portons les longueurs 1 /| = /, , 1 /^ = /^ ,

1/3= /j, 1 /j= lu, et ainsi de suite. Joignons les points /|, fi, /3, /4, ... au point O, de façon à former les lignes indéfinies OLj,

V/Lj29 ^•'-'8? ^-^^î • • • •

Cela fait, posons

Prenons 02 =^'4. Au point 2 élevons une perpendiculaire à OX jusqu'à sa rencontre avec OL2 en 2'. Soit ^2 ^^ longueur 22' ; portons-la sur OX à partir de O, et par son extrémité 3 élevons une perpendiculaire à OX jusqu'à sa rencontre avec OLj en 3'.

Soitj^3 la longueur 33'. Opérons sur elle comme sur 22', c'està-dire portons-la surOXà partirde O, et par son extrémité 4 élevons une perpendiculaire à OX jusqu'à sa rencontre avec OLj» en 4'.

Soit ^4 la longueur 44'. En opérant sur elle de la même manière que sur les lignes jKa et ^'3, nous aurons la longueur 55' que nous appellerons j'5, et, en poursuivant ainsi, on formera la série des n lignes

ji, yty yz, yky js, ..., jn,

dont la première est égale à /j . Je dis que la dernière est le produit cherché et qu'on a généralement

/7i = ^ii

^0 { ItX I2X fzX Ik

En effet, les triangles semblables 01 /^ et 022^ donnent 1 /j o 1 li d d "^ d

On verrait de même que

Va X h /i X /î X /s X /;

Cl ainsi de suite.

8 !'• SECTION. — CnAP. I.

Sîdonc on a pris la longueur 01 == rf égale àrunîté de longueur, yn représentera le produit des n longueurs données.

ÉLÉVATION AUX PUISSANCES DUNE LIGNE. — Soit à trouver la puissance /i*^"° d'une ligne donnée /. Pour cela, d'un point O {Jig. 6, PL II) menons deux lignes indéfinies perpendiculaires entre elles XX' et YY'. Sur l'une d'elles XX', portons Oxq= d, d étant une longueur arbitraire; sur l'autre, Oxx = L En X\ élevons une perpendiculaire à XqX^ jusqu'à sa rencontre avec XX' en x^\ par ce point, une perpendiculaire à a:| 0:2 jusqu'à sa rencontre avec \^Y' en x^ ; par ce point, une perpendiculaire à x^x^ jusqu'à sa rencontre en Xs avec XX', et ainsi de suite. On aura, d'après une propriété connue du triangle rectangle,

It Oxf^xOx^^ t^ ou Oxi= —jj

l x.0xi=0xi = /* ou 00:3— ,

On aura de même

et ainsi de suite. Si l'on prend ^/= i, on a ainsi les puissances de /.

Remarque. — Ici l'on voit que la longueur donnée /= Oxi est supposée plus petite que l'unité *0 0:0; il en résulte que les puissances successives de /, représentées par les longueurs Ox^-j Ox^^ Oxsj • • M sont de plus en plus petites. Le contraire se produirait si / était supérieur à l'unité. Dans ce cas, la figure pourrait prendre des dimensions trop g^randes et peu commodes. Pour éviter cet inconvénient, il faudrait alors construire, par le procédé qui sera

indiqué au § 12, la ligne a représentant l'inverse -, de la ligne

donnée, et chercher la /i**°® puissance de la ligne a, laquelle est

plus petite que l'unité; et, comme a"=i-j\ = j-y W suffira

ensuite de construire une ligne c égale à l'inverse de celle représentant a" pour avoir /".

NOTIONS DE CALCUL GRAPHIQUE. i)

DmSIOK DE DEUX UfiHES. — Soit (Jig, 7, PL II) à trouver le

quotient -r de deux lignes a et b. Sur une ligne OX, on portera

01 = 1 et Ob = b. Sur la perpendiculaire à OX, élevée en 6, on perlera 6a=; a et Ton joindra le point O au point a, de façon à former la ligne indéfinie OL. Si ensuite du point 1 on élève \Y=zy perpendiculaire à OX jusqu'à la rencontre de la ligne OL, on aura évidemment

va a

— = -r ou r = x •

Remarque, — Si Ton prenait 01 =rf, la relation précédente serait remplacée par celle-ci :

c'est-à-dire que la fraclion proposée se trouverait réduite à une autre fraction avant un dénominateur donné d.

OFÉBAnOIS SUR LES FBAGTIOIIS. — Toute fraction pouvant, d'après

le procédé que nous venons d'indiquer, être représentée par une ligne, tout ce que nous avons dit sur les opérations relatives aux lignes est immédiatement applicable aux fractions.

Addition et soustraction. — On ramène toutes les fractions à avoir un dénominateur donné d {§ 12). La somme ou la différence des lignes représentant les numérateurs sera égale à la somme ou à la différence des fractions données, si le dénominateur commun a été pris égal à l'unité. Parfois il est commode de prendre pour d un nombre déterminé et entier d'unités. Dans ce cas, on devra diviser la ligne représentant la somme ou la différence des numérateurs des fractions réduites en autant de parties égales que d contient d\inités, pour avoir la somme ou la différence des fractions données.

D'autres fois, il peut être plus commode, au point de vue gra-

phi que, de prendre d égal à une partie -r de l'unité, i étant un

nombre entier. Dans ce cas, la ligne représentant la somme ou la différence des fractions données sera égale à i fois celle qui représente la somme ou la différence des numérateurs des fractions réduites.

Hnltiplication et division. — On peut faire la multiplication graphique des fractions aussi facilement que celle des lignes.

Soient -y-S ~, -,-7 ••• les fractions données. Sur une lierne OX

ifig' 5, PI. Il) on porte, à partir du point O, des longueurs égales il leurs dénominateurs 6,, 6j, 63; à l'extrémité de chacune de ces longueurs, on élèvera une perpendiculaire à OX égale au numérateur de la fraction correspondante. On joindra les extrémités de ces perpendiculaires au point O, de façon à déterminer les lignes OL* , OLf, OL3, .... On portera ensuite sur OX une longueur 01 = d\ on élèvera la perpendiculaire \l^=iy^ jusqu'à la rencontre de la ligne 0L| ; on portera cette longueur j^i surOX, à partir deO, de façon à obtenir la ligne 02; on élèvera en 2 une perpendiculaire à OX jusqu'à sa rencontre avec OL2, ce qui donnera 22' =^2; 011 continuera de la sorte et l'on formera, comme au § 10, des lignes

yu ^2, j3, 74, ...,

et 1 on aura

«2 22' r, bi 02 71'

«3 ^ «^ __ .ra

et ainsi de suite. En multipliant membre à membre les deux premières équations, ou les trois premières, etc., on trouvera

ax cTî r»

bx bi d

a\ an a% Vn

bi bf bs d

et ainsi de suite. Si l'on a choisi la longueur d égale à l'unité de longueur, les longueurs ^^'2, jKs? • • • représentent les produits successifs des fractions données.

NOTIONS DE CALCUL GRAPHIQUE. Il

Le quotient de deux fractions étant le produit de la fraction dividende par la fraction diviseur renversée, la division des fractions se ramène immédiatement à leur multiplication.

Élévation aux puissances d'one fraction. — On a très souvent à élever des fractions aux puissances ou à construire des équations de la forme

où o, 6, d sont des lignes données et y une ligne à déterminer ; pour

cela, on devra commencer par construire la fraction j^- A cet effet,

CD tracera (Jig- 6 bis, PL II) deux lignes OX, OY se coupant sous un angle quelconque. Du point O, on décrira un arc de cercle aa^ de rayon a et un arc de cercle 66' de rayon b. On mènera les antiparallèles ab[ et 6a', puis on prendra sur l'une des deux lignes tracées, sur OY par exemple, une longueur arbitraire 01; on mènera les lignes 1 1', i'2, 22', 2'3, . . . alternativement parallèles à ba^ et ab'. On aura

Oi' Oa' a

or ~ 06 ~ h'

O2 Oa a

or ~ Ob' ~"

o?/ 0 a' a O1 ~'Ôb ~ b' et ainsi de suite.

Si Von multiplie membre à membre, les membres extrêmes des

deux premières de ces relations, le terme Oi' disparaîtra, et il

viendra

OT ~ \b) ~ 6*'

Si l'on multiplie les trois premières, les facteurs Oi' et O 2 disparaîtront, et il viendra

OT ~ \b) ~ b^' et ainsi de suite.

On aura donc construit ainsi une fraction avant un dénomina-

teur donné Oi et représentant une puissance quelconque de la

fraction ,-

l" SECTION. — CHAP. i.

i Oi estrunitéde longueur, on aura représenté

une ligne.

Oi est le dénominateur du premier membre de Téquation cïus(A\ le numérateur O2 ou Oa', ... sera la ligne ^, repréanl riûconnue de cette équation.

TBUnOH DES BAGOnS. EMPLOI DES GOUBBES LOGUITBHiaUES. — traction de la racine carrée d'une ligne l est une opération me. L'un des moyens usités consiste à porter (Jîg. 8, PL II) Line ligne XX', d'une part Oxi,= i, d'autre part Ox,^ l; à tniire une demi-circonfcrence sur x^X, comme diamètre : la lendiculaire élevée en O sur XqXi, jusqu'à la rencontre de la i-circonférencc, est la racine carrée cherchée, ais, dès qu'il s'agit d'extraire une racine d'ordre plus élevé, on que la règle et le compas ne suffisent plus; on peut alors eroer graphiquement les logarithmes.

faut, pour cela, construire une courbe qui tienne lieu des les de logarithmes.

upposons que, sur une ligne OX (yï^. 9, PL 11), on porte des ;ueurs03;,, Oxi, O^Ca, . . -, que nous appellerons des aôjcwjei, ongueurs représentant, à une échelle quelconq ue, des nombres rapprochés ; qu'aux points X^, x, , x^, ... on élève des perjiculaires que nous appellerons des ordonnées, représentant à èroc échelle les logarithmes de ces nombres; qu'on joigne les émités^',,^Kj, ji-,, ... de ces perpendiculaires par une ligne inue. Cette ligne tiendra lieu d'une Table de logarithmes, our faire le produit de n lignes x,, Xj, arj, . . ., il suffira de les ;er sur OX à partir de O, de faire la somme des ordonnées espondantcs ^,,^a,^'j, .-.et de chercher quelle est la loniir d'abscisse OX qui correspond à l'ordonnée

!ette opération sera infiniment plus rapide que ta recherche

NOTIONS DE CALCUL GRAPHIQUE. l3

correspondante dans une Table de logarithmes, surtout si l'on a eu soin de tracer la courbe CE sur du papier quadrillé (*).

Si l'on a à élever x^ à une puissance /i*^*"®, il suffira de porter sur OX une longueur égale k x^, de prendre l'ordonnée correspondante jk< et de chercher l'abscisse OX répondant à une ordonnée égale à n fois jKi •

Veut-on, au contraire, extraire la racine n^^'^^^ de Xi, ce sera

l'abscisse répondant à une ordonnée égale à -- qu'il faudra chercher.

OPÉRATIONS SUR LES SURFACES — Pour effectuer, sur les surfaces, les opérations qui précèdent, il faut pouvoir aussi les représenter par des lignes. Nous indiquerons sommairement les procédés très élémentaires qui donnent ce résultat.

1© Triangle. — Soit {Jiff. 10, PL II) ABC un triangle. On peut toujours construire un triangle équivalent et ayant une base donnée BK. Il suffit pour cela, par le point C, de mener une parallèle à KA. Si A' est le point où cette ligne rencontre AB, il est facile de voir que les deux triangles ABC et B A'K sont équivalents ; car, si de l'un et de l'autre on retranche l'aire commune BCA', il reste les deux triangles A'CK et A'CA équivalents comme ayant même base A'C et leurs sommets placés sur une parallèle à cette base.

Le triangle BA'K ayant une base BK choisie arbitrairement, si Ton a pris cette base égale à deux unités, la hauteur h de ce triangle représentera son aire, et par suite Taire du triangle donné ABC.

2® Parallélogramme. — Se déduit immédiatement du triangle.

30 Quadrilatère qaelGonque. — Soit (/iff- Il ^ PL II) ABGD un

(') On se sert plus habituellement, non de la courbe exponentielle CE, mais de ce qu'on appelle la spirale logarithmique. Il nous semble que la spirale doit ^trc d'un usage infiniment moins commode en ce qu'elle oblige a des additions, multiplications et divisions, d'une part, d'angles et, d'autre part, de lignes divergentes, pour lesquelles on ne peut pas mettre à profit le papier quadrillé, lequel les donne en quelque sorte toutes faites.

l4 1" SECTION. — CIIAP. I.

quadrilatère. Menons la diagonale BD et par le point C une parallèle CG| à cette diagonale jusqu'à sa rencontre en Ci avec le côté AB ou son prolongement.

Le triangle ACi D est équivalent au quadrilatère donné ; car, si de chacune de ces deux surfaces on retranche Taire ADB qui leur est commune, il reste les deux triangles CDB et C|DB, qui sont équivalents comme ayant même base DB et leurs sommets placés sur une parallèle à cette base; et, comme nous savons représenter un triangle par une ligne, nous saurons résoudre la même question pour un quadrilatère.

4® Polygone qaelconqne. — Le même procédé permet de ramener un polygone quelconque à un triangle équivalent, et par suite de le représenter par une ligne.

Soit le polygone ABDEFG {fig. \% PL 11) :

i" On éliminera le sommet G en menant FF| parallèle à la diagonale EG et substituant le sommet F| à F.

2" On éliminera le sommet F^ en menant EE, parallèle à DF| et substituant le sommet E| à E.

S'* On éliminera le sommet E, en menant DD, parallèle à BE| et substituant le sommet D| à D.

Le triangle ABD< sera équivalent au polygone de six côtés donné ; et, comme ou peut ensuite représenter l'aire de ce triangle par une droite, le problème se trouve résolu pour un polygone quelconque.

Si l'on avait à trouver l'aire d'une courbe fermée plus ou moins irrégulière, on substituerait, à la courbe, un polygone inscrit d'un grand nombre de côtés et l'aire de ce polygone pourrait être approximativement prise pour l'aire cherchée.

niSTRUHEHTS DE CALCUL. — On trouvera, dans la Note II, la théorie du planimètre polaire d'Amsler qui permet de déterminer mécaniquement les aires planes, la théorie des intégrateurs d'Amsler qui

NOTIONS DE CALCUL GRAPHIQUE. l5

permettent de trouver les centre de gravité et moments de divers ordres des surfaces planes. Ces instruments sont extrêmement ingénieux ; le premier rend, depuis longtemps, d'immenses services dans les bureaux des ingénieurs; le second, moins connu, a été, dans ces dernières années, porté, par son auteur, au même degré de perfection que le premier et permet de supprimer ou d'abréger bien des calculs soit de Résistances des matériaux soit de terrassements.

La Note II indique aussi la disposition que M. Marcel Deprez a proposé de donner à cet appareil.

l6 1** SECTION. — CHAP. II.