QUI EN DÉCOULENT
DÉrnmOH des POLTGOHES rnHICULAIBES. — Représentant et désignant les forces suivant les notations définies au § 26, soient (Jig. 24, PL Vil)
il', 22', 33', 44', 53'
les lignes d'action d'un système de cinq forces appliquées à un solide invariable et distribuées d'une manière quelconque dans un plan, et soient {fig' 24)
les côtés du polygone de ces forces, lequel a le point a pour origine et le point 6 pour extrémité.
D'un point O pris arbitrairement dans le plan, menons des rayons vecteurs aboutissant aux deux extrémités a et 6 de ce polygone et en ses divers sommets.
Tout sommet sera désigné, comme il a été dit au § 2, prfr les chiffres des deux côtés qui le déterminent ; de plus, tout rayon aboutissant à un sommet sera désigné comme le sommet lui-même, de sorte que nous dirons : les sommets 3.4) 4«^y ^^ de même les rayons 3.4, 4'^ aboutissant à ces sommets.
n posé, d'un point quelcoDque A du plan (Jtg- S4) i le Al parallèle au rayon Oa jusqu'à sa rencontre avec la ligne on 1 ; puis, du point 1 et entre les lignes d'action 1 et 2 mêla ligne 1.2 parallèle au rayon 1.2 dn polygone des forces; les lignes d'action 2 et 3, 3 et 4, 4 et S, menons de même ncs 2.3, 3.4, 4.5 respectivement parallèles aux rayons 2.3, .5 et enfin du point 5 menons la ligne 5B parallèle au rayon ne 06.
nouveau contour Al. 2. 3. 4. SB ainsi formé se nomme un po- \e funiculaire des forces données.
point O se nomme le pôle de ce polygone ; les rayons issus du e nomment des rayons polaires.
isi, un polygone funiculaire d'un système de forces est un 3ne dont les sommets sont surles lignes d'action de ces forces it les côtés sont parallèles aux rayons polaires, système de forces données admet, d'après cela, une infinité lygones funiculaires; car chaque point O du plan peut être our pôle et, le pôle une fois choisi, on dispose encore arbiinent du point de départ A du polygone funiculaire corres- :nt.
squc les forces données sont toutes parallèles, tous les côtés lygone des forces sont dirigés suivant une seule droite, distance du pôle d'un polygone funiculaire à cette droite nme alors la distance polaire de ce polygone.
iiarque I. — Pour que la construction soit possible, quel Ht le point de départ A, il faut et il suffit que le côté Al lire la ligne d'action i, que le côté 1.2 renconlre la ligne m 2, le côté 2.3 la ligne d'action 3, et ainsi de suite.
a aura lieu toutes les fois que le pôle O ne se trouvera sur sction, supposée prolongée indéfiniment, d'aucun des côtés lygone des forces.
général, il conviendra de le choisir de façon qu'il en soît Si, toutefois, cela n'est pas, si le point O est pris sur la din du côté I par exemple, la construction cesse d'être possible, le point de départ A est quelconque; mais elle peut êtr« lée si l'on prend ce point sur la ligne d'action 11'; le côté ïncidera alors avec cette ligne ; d'ailleurs le rayon i . 2 coïnci-
danl, dans ce cas, avec celui Oa et tous deux avec le côté i, le côté 1.2 du polygone funiculaire coïncide avec le côté Al et tous deux avec la ligne d'action 11'; le point 2 sera donc Tintersection de cette ligne avec celle 22'; et c'est de ce point que partira le côté 2.3, sans autre anomalie dans la suite du tracé. Le point de départ 1 du côté 1.2 pourrait être pris quelconque. \jàfig, 22, PL F/ contient sept lignes d'action
11', 22', 33', 44', 53', 66', 77', répondant au polygone des forces {Jig* 22) dont les côtés sont
On a tracé, sur la figure, en lignes pointlllées, le polygone funiculaire répondant au pôle quelconque O et en lignes pleines celui répondant au pôle a origine du polygone des forces.
Les rayons ou diagonales issus de a sont désignés par (12), (23),... et les côtés du polygone funiculaire correspondant sont désignés par (12), (23)...
Suivant l'observation ci-dessus, le point de départ de ce polygone ne peut pas être quelconque. Le tracé n'est possible qu'à la condition de prendre ce point sur la ligne \ 1', de sorte que les deux premiers côtés non marqués coïncident avec 11' et le troisième côté compris entre les lignes d'action 22' et 33' et habituellement désigné par 2.3 [ici par (1.2)] a pour point de départ l'intersection des lignes d'action 1 1' et 22'.
Des remarques analogues seraient à faire sur la condition de possibilité d'un polygone dont le pôle serait sur la direction d'un quelconque des autres côtés du polygone des forces.
Remarque II. — Observons que si, au lieu de considérer toutes les forces, on en considère quelques-unes seulement pourvu qu'elles soient consécutives, par exemple, celles dont les lignes d'action sont 2, 3, 4 et les grandeurs 2, 3, 4» le contour 1.2.3.4.5 est un polygone funiculaire relatif à ces trois forces ; les côtés extrêmes de ce polygone sont ceux 1.2 et 4.5, les rayons extrêmes, ceux qui aboutissent aux sommets 1.2 et 4*5 du polygone des forces.
De là résulte cette conséquence importante : Toute propriété générale appartenant aux deux côtés extrêmes des polygones
laires, appartient aussi à deux câtés quelconques, puisque ôtés quelconques peuvent être considérés comme les côtés '.es du polygone funiculaire relatif aux forces qu' ils contnt entre eux.
I! rOXSlIlLIITAL. — Des forces distribuées d'une manière ique dans unplan et appliquées à un système invariable t toujours, sans aucune exception, être réduites à deux lyant : x" pour lignes d^action, les deux côtés extrêmes i quelconque des polygones funiculaires de ces forces; grandeurs, les deux rayons polaires extrêmes, cesrayons tarcourus en allant de l'origine à rextrémité du podes forces.
enant les cinq forces définies par les fig. 24 et 24 de la /, il s'agit de démontrer que ces forces peuvent être ré- L deux ajanl pour lignes d'action les câtés i A et 5B dupolyiniculaire, respectivement égales et de même sens que les flOelO*.
le démontrer, observons qu'on peut, sans changer l'état du ur lequel agissent les forces, faire les opérations suivantes ; ransporler les points d'application des forces données aux ts l,â, 3, 4, 5 du polygone funiculaire; ^composer chacune de ces forces en deux autres suivant les liés du polygone qui y aboutissent.
décomposer la force 1 1' suivant les deux directions 1 A et suffirait (§28) de mener par le point a une parallèle à la :e de ces directions et par le point 1.2 une parallèle à la :; mais la construction est toute faite et les composantes rayon aO et le rayon 1.2, ce dernier estimé depuis le pôle néme les deux composantes de la forcera' suivant les lignes I 2.1 et 2.3 sont respectivement les rayons 9.1 et 2.3, le prêtant du sommet 2.1 au pâle; le second, au contraire, du sommet a. 3 et ainsi de suite, jusqu'à la force 5o' dont les antes suivant 5.4 et 5B sont respectivement les rayons )6, le premier allant du sommet 5.4 au pâle, le second ; au sommet b.
POLYGONES FUNICULAIRES. 3y
Remplaçons les cinq forces données par leurs composantes ainsi obtenues, de sorte que nous n'aurons plus que des forces dirigées suivant les divers côtés du polygone funiculaire ; mais les deux forces dirigées suivant chacun des côtés intermédiaires du polygone funiculaire sont égales et opposées. Ainsi, les deux forces dirigées suivant le côté 2.3 sont représentées Tune, celle appliquée au sommet 2, par le rayon 2.3 estimé du pôle vers le sommet, Tautre, celle appliquée au sommet 3, par le même rayon estimé en sens contraire. Donc (§ 22) ces forces peuvent être supprimées. Il en est de même de toutes celles dirigées suivant les côtés intermédiaires du polygone funiculaire. Il ne reste donc que les deux forces ayant pour lignes d'action les côtés extrêmes 1 A et 5B et qui sont bien représentées par les rayons aO et 06, de sorte que leur polygone des forces est le contour aOb.
SXTEHSIOH DU LEUIE FOHDAMEirTÀL A DES SYSTÈMES MATÉEŒLS ttUEL- COVttUES. — Des forces distribuées d'une manière quelconque dans un plan et agissant sur un corps quelconque peuvent toujours être remplacées par : \^ deux forces appliquées en deux points arbitrairement choisis à IHntérieur du corps dans le plan contenant les forces y dirigées suivant les côtés extrêmes de l'un des polygones funiculaires de ces forces, représentées par les rayons polaires correspondants supposés parcourus en cheminant de l'origine à Vextrémité du polygone des forces; 9J^ un certain nombre de paires de forces appliquées en divers points du corps, deux à deux égales, dirigées suivant les droites qui /oignent leurs points d^ application et de sens opposés.
En effet, soient (Jig» a, p. 38) A et B deux points du corps pris arbitrairement dans le plan contenant toutes les forces et soit C le point d'application de l'une de ces forces F.
1** Si le point C n'est pas sur la ligne AB, nous pouvons, quel que soit le corps, décomposer la force F en deux autres / et /, ayant même point d'application C que la force F et dirigées suivant CA et CB, puis au point A appliquer deux forces/' et — /', l'une égale et de même sens que/, l'autre égale et de sens opposé ; nous
a' SECTION.— CHAP. IV.
nsde mêmeappliqueraupoinlBdeux forces/,' et — /,', l'une Et de même sens que y,, l'autre égale ei de sens opposé. Nous s ainsi remplacé la force F par un système équivalent (§ 20) : i''de deux forces/' et/,' appliquées aus deus points A elB, deux paires de forces /, — /' et/,, — /,' deux à deux égales, es suivant les droites qui joignent leurs points d'application sens opposés.
>i une force F, se trouve appliquée en un point D du corps sur la ligne géométrique AU et que sur la ligne d'action de
se trouve un point IV du corps, on pourra, en ce point, [uer deux forces égales et opposées F',, — F, ayant F| valeur commune ;'en opérant alors sur la force F', comme nous s fait sur la force F, on arrivera toujours à ce résultat d'avoir acé la force F, par deux forces appliquées en A et B et par lires de forces deux à deux égales, dirigées suivant les mêmes
et de sens opposés ; on aura seulement ici une paire de forces is que dans le cas précédent, à savoir les forces F, et — F, . si enfin sur la ligne d'action de F, il ne se trouvait pas un d point D' du corps, placé à distance finie du premier, ce qui ait arriver, par exemple, si la force F, agissait tangentielleàla surface d'un corps, on pourrait toujours décomposer cette en deux autres appliquées au même point qu'elle et placées les directions qui rencontrent des points du corps. On protit alors surchacune des composantes comme dans le cas 2".
POLYGONES FUNICULAIBES. Sq
En opérant ainsi sur chacune des forces appliquées au corps, quel qu'il soit (solide ou fluide), on aura remplacé ces forces par un système, équivalent formé : i° par des paires de forces comme celles annoncées dans le théorème qu'il s'agit de démontrer; a** par deux groupes de forces, les unes appliquées en A et qu'on peut remplacer par leur résultante que nous appellerons i\ les autres appliquées en B et qu'on peut de même remplacer par leur résultante r'.
Il reste donc seulement à montrer que ces deux forces r et r sont dirigées suivant les côtés extrêmes de l'un des polygones
Fig. a'.
funiculaires des forces données et qu'elles sont représentées par les rayons polaires correspondants.
Observons d'abord que, si nous concevons, pour un instant, que tous les points du corps viennent à être invariablement liés entre eux, ce qu'on exprime en disant qu'on solidifie le corps, alors les paires de forces dont il vient d'être parlé deviennent supprimables (§21) et les deux forces r et /•' forment à elles seules un système équivalent aux forces données.
Soient (yî^. a', p. 89) a et ôl'origine et l'extrémité du polygone de ces forces; menons aO égal, parallèle et de même sens que la force r : si nous construisons le polygone funiculaire des forces données ayant le point O pour pôle et la ligne d*action de la force r pour premier côté, ces forces, supposées appliquées au corps solidifié peuvent, en vertu du lemme du paragraphe précédent, être remplacées par deux forces
/• et r",
dirigées suivant les côtés extrêmes de ce polygone et représentées
par les rayons extrêmes a O et 06, dont le premier est r.
Mais, puisque, dans ces conditions, c^est-à-dire le corps supposé
solidifié, les forces données peuvent aussi être remplacées par
celles
/•et r',
il faut que ces deux dernières soient équivalentes à celles /• et r^, ce qui exige que celles r' et r^ soient équivalentes sur un corps solide, c'est-à-dire que leurs lignes d'action coïncident et que leurs grandeurs et sens soient les mêmes, ce qui établit la proposition énoncée.
GOHDinOMS GRAPHiaUES D'ÉttUILIBBE DE FORGES SITUÉES DAHS UN PLAI. -^
Théorème. — Pour que des forces distribuées d'une manière quelconque dans un plan et appliquées à un système invariable soient en équilibrCy il faut et il suffit : V' que le polygone de ces forces se ferme; 2° qu\in de leurs polygones funiculaires (quon pourra choisir arbitrairement) se ferme également et alors tous leurs polygones funiculaires se fermeront.
En effet, les forces données peuvent être (§ 33) réduites à deux résultantes ayant (fig. 24 et 24, PI' Vil) les lignes lA et SB pour lignes d'action et les' rayons aO et 06 pour grandeurs et sens.
Or, pour que deux forces appliquées à un système invariable se fassent équilibre, il faut et il suffit (§ 22) qu'elles aient même ligne d'action, et soient égales et de sens opposés.
Ainsi, il faut d'abord que les deux côtés extrêmes 1 A et 5B du polygone funiculaire coïncident, ce qui exige que chacune de ces deux lignes passe à la fois par les points t et o, c'est-à-dire que le polygone funiculaire se ferme.
Par suite, les deux rayons a O et O 6, parallèles à ces lignes, auront aussi même direction géométrique et, comme les deux résultantes représentées respectivement par ces deux rayons doivent être égales et de sens opposés, il faut que les points a et 6 coïncident, c'està-dire que le polygone des forces se ferme également.
Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes. En effet, si le polygone
POLYGONKS FUNICULAIRES. 4^
funiculaire se ferme, les deux résultantes ont même ligne d'action et si, en oulre, le polygone des forces se ferme, elles sont égales et de sens opposés.
Corollaire L — Si ces conditions sont remplies pour un seul polygone funiculaire, l'équilibre existe et, par suite, si l'on réduit le système à deux forces dirigées suivant les deux côtés extrêmes d'un autre polygone funiculaire, ces deux résultantes sont aussi égales et directement opposées.
Ainsi : si le polygone d^un système de forces se ferme et qiûun seul de ses polj go nés funiculaires se fer me ^ il en est de même de tous les autres.
Corollaire IL — Si les forces considérées sont toytes appliquées en un même point, il faut et il suffît (§ 29), pour qu'elles soient en équilibre, que le polygone des forces se ferme. Supposons qu'il en soit ainsi. Alors, l'équilibre existant, il résulte du théorème cidessus que, si l'on construit un quelconque des polygones funiculaires des forces données, il se fermera.
De là, un théorème de Géométrie très utile et qu'il serait facile d'établir aussi directement.
Soient {fig- 13, PL III) trois forces appliquées en un point D dont les lignes d'action sont 6, 5, 4 et qui sont représentées par le polygone fermé (triangle) ayant les côtés 6, 5, 4? de sorte qu'elles se font équilibre.
Par suite, si nous construisons le polygone funiculaire de ces forces relatif à un pôle quelconque rf, il se fermera. Partons, par exemple, d'un point B pris sur la ligne d'action 4, construisons entre les lignes d'action 4 et 5 le côté BA ou 1 parallèle au rayon 4-5 ou I ; entre les lignes d'action 5 et 6 le côté AC ou 2 parallèle au rayon 5.6 ou 2, entre celles 6 et 4, la ligne 3 partant de C et parallèle au rayon 6.4 ou 3.
Le polygone funiculaire devant se fermer, ce dernier côté reviendra au point de départ B.
Les deux ^^. 13 eti3 sont formées chacune par six lignes joignant quatre points d'un plan; chacune comprend quatre triangles; elles sont d'ailleurs telles :
4a 2* SECTION. — CHAP. IV.
I® Qu'à chaque ligne de Tun répond, dans l'autre, une ligne parallèle; de telles lignes portent, sur les deux figures, le même numéro et sont dites correspondantes ;
2*» Que trois lignes de l'une formant un triangle ont pour correspondantes, dans l'autre, trois lignes issues d'un même point.
Le résultat auquel nous venons d'arriver peut donc s'énoncer ainsi : Si cinq des six lignes joignant quatre points d\tn plan {par exemple les lignes 6, 5, 4, 1, 2) sont parallèles à cinq des six lignes joignant quatre autres points (celles 6, 5, 4j ' » 2) ; si, de plus, les lignes parallèles se correspondent de façon qu'à chacun des deux triangles formés par les cinq lignes de Vune des figures répondent, dans Vautre, des lignes issues d^un même point, la sixième ligne de l'une des figures sera parallèle à la sixième de l'autre.
Il serait facile de généraliser la proposition en prenant plusieurs forces appliquées en un même point (fig- IS et i5, PL III).
GOHDITIOHS D'EXISTENCE ET BECHEBGHE GRAPHiaUE DE LA BÉSULTAITE DE FORGES SITUÉES DANSUH PLU. — Théorème. — Pour que des forces situées dans un plan et appliquées à un système invariable admettent une résultante, il faut et il suffit que le polygone de ces forces ne se ferme pas, A lors leur résultan te est égale en grandeur, direction et sens à leur somme géométrique (§3) et sa ligne d'action passe par le point d'intersection des deux côtés extrêmes d'un quelconque de leurs polygones funiculaires,
La condition indiquée est nécessaire ; car, si un système de forces admet une résultante R, une force R' égale et directement opposée à R maintiendra ces forces en équilibre; donc le polygone des forces données et de la force R' doit être fermé (§ 33), ce qui exige que le polygone des forces données ne le soit pas (à moins de supposer la force R' nulle; en ce cas, les forces données se feraient équilibre par elles-mêmes et il n'y aurait pas à en chercher la résultante).
Le polygone des forces données n'étant pas fermé, considérons un polygone funiculaire dont le pôle O soit pris {Jig* 24 et 24,
PL VII) en dehors de la ligne ba qui le ferme, en sorte que les rayons extrêmes Oa, 06 n'auront pas même direclion. Donc, les côtés extrêmes 1 A et 5B du polygone funiculaire, lesquels sont parallèles à ces rayons, se rencontrent et, comme ce sont les lignes d'action des deux résultantes auxquelles les forces données sont réductibles (§ 33), ces deux dernières forces elles-mêmes se rencontrent. Soit 6 leur point d'intersection; nous pouvons y transporter leurs points d'application; par suite, leur résultante passera par ce point et sera égale, d'après la règle du parallélogramme des forces, à leur somme géométrique. Mais, comme ces deux forces ont pour polygone le contour aOi, leur somme géométrique ab coïncide avec celle des forces données.
Remarque L — De là, le procédé graphique suivant pour trouver la résultante des forces appliquées à un système invariable^ quelle que soit leur distribution dans un plan : construisez l'un quelconque de leurs polygones funiculaires (celui qu'on trouvera le plus commode au point de vue graphique).
Le point d'intersection des côtés extrêmes de ce polygone donne un point de leur résultante. Celle-ci est d'ailleurs représentée, sur le polygone des forces, par la droite ab qui va de l'origine à l'extrémité de ce polygone .
Remarque, — Il convient en général de prendre le pôle du polygone funiculaire que l'on construira en dehors de la ligne ab\ autrement ses côtés extrêmes seraient parallèles et ne fourniraient pas un point delà résultante, sauf pourtant si le pôle coïncide avec l'une des extrémités a ou b. Cette exception s'explique ainsi : en général, si le pôle O est pris sur a6, on réduit (§ 33) les forces données à deux résultantes égales à aO et 06, parallèles entre elles, puisqu'elles coïncident avec les côtés extrêmes du polygone funiculaire, lesquels sont, dans ce cas, parallèles. On n'aurait donc pas directement leur résultante; mais, si le point O coïncide avec a par exemple, l'une de ces deux forces, celle aO, est nulle, par suite, l'autre Ob =: ab donne directement la résultante. Ainsi, on doit prendre le pôle O, soit en dehors de la ligne ab, soit en l'un des points a ou b. En le prenant en a, par exemple, le polygone funiculaire tracé fournit le même résultat que si l'on faisait la composition des forces données en composant d'abord les deux premières 1 et 2 à l'aide du parallélogramme des forces ; puis leur
tanle partielle, qu'oo peul appeler (12) avec la forcée; la elle résultante partielle, qu'on peut appeler (IS.t) avec la i, et ainsi de suite.
r Xesijig. 22 et a2, PI. VI, on a indiqué l'opération concurlent avec celle qui consisterait à chercher la résultante à l'aide polygone funiculaire de pôle quelconque O [voir aussi, à ce , le § 41 ci-sprès].
tratii MÉumura FontAncHTAU! ses paLisoiEs fdiigdlaibes. —
oint de rencontre de deux côtés quelconques d' un polygone •■ulaire est un point de la résultante partielle des forces irises entre ces côtés. Cette résultante est d'ailleurs reprée en grandeur, direction et sens par la somme géométrique ■s mêmes forces.
effet, la rfgic de composition d'un système de forces établie iragraphe précédent s'applique à une portion quelconque de arces, pourvu qu'elles soient consécutives, nsi, si, au lieu de considérer les cinq forces représentées 24 et ■>.{ de la PL VU, nous en prenons, par exemple, consécutives, celles dont les lignes d'action sont
i sont représentées par les côtés
jlygone des forces, les côtés extrêmes du polygone funiculaire if à ces forces sont les côtés \ .2 et 4.0; donc, en vertu de la
établie au paragraphe précédent, si ces côtés se rencontrent l'on les prolonge jusqu'à leur point d'intersection, on aura un t de la résultante des trois forces comprises entre ces côtés et
résultante est la somme géométrique de ces trois forces.
l'on veut, à l'aide d'un même polygone funiculaire, trouver !s les résultantes partielles, il convient de prendre le pôle en rs des diagonales qui, sur le polygone des forces, représeatenl ésultantes, à moins toutefois qu'on le prenne coïncidant avec ommet. La raison en est la même que celle donnée à la fin
COUPLES. — Si Ton appliquait la règle du § 36 qui fournit la résultante d'un système de forces quand elle existe, c'est-à-dire quand le polygone des forces n'est pas fermé, au cas où ce polygone est fermé, on arriverait, comme on le voit aisément, à ce résultat illusoire : un système de forces dont le polygone des forces est fermé admet une résultante nulle dont le point d'application est à l'infini.
Mais, si, au lieu de cette règle qui est naturellement en défaut dans ce cas, puisque (§ 36) c'est le cas où la résultante n'existe pas, on applique le lemrae du § 33 qui ne souilre jamais d'exception, on voit que les deux forces auxquelles le système peut se réduire sont alors égales, parallèles et de sens opposés. L'ensemble de deux pareilles forces se nomme un couple; la distance entre leurs lignes d'action se nomme le bras de les^ier du couple.
Il est facile de démontrer directement qu'un couple est irréductible, c'est-à-dire n'admet pas une résultante unique.
En effet désignons, comme on le fait d'habitude, par F et — F les deux forces du couple. Si elles admettent une résultante R, celle-ci doit être située dans le plan du couple (plan des deux forces formant le couple); car il n'y a pas de raison pour qu'elle occupe, en dehors de ce plan, une position plutôt que la position symétrique.
Si cette résultante R existait, une force R' qui lui serait égale et opposée maintiendrait le couple en équilibre (§21). Il s'agit donc simplement de démontrer qu'on ne peut pas trouver dans le plan du couple une force R', telle que les trois forces
F, —F et R' se fassent équilibre.
En effet, la première condition pour qu'elles se fassent équilibre (§ 35), c'est que leur somme géométrique soit nulle ou que le polygone de ces trois forces se ferme. Or, les deux forces F et — F portées bout à bout donnent déjà un polygone fermé; le polygone des trois forces ne peut donc se fermer que si la force R' est nulle. Mais dire que la force R' qui équilibre le couple est nulle, c'est dire que les deux forces F et — F se font, par elles-mêmes, équilibre,
46 2" SECTIOX. — €HAP. IV.
ce qui est impossible, puisque (g H) deux forces ne peuvent se (aire équilibre sur un système invariable que si elles ont même ligne d'action.
coHsmoir SRArmani povb ans des forces sirnÉss SAirs vu flu se b^
DUISSHTiUlf GOn?IiE. — Pour que des forces appliquées à un solide invariable et distribuées d'une manière quelconque dans un plan se réduisent à un couple, il jaut et il suffit que le polygone de CCS forces se ferme, l'un des polygones funiculaires ne se fermant pas, et alors aucun polygone funiculaire ne se ferme.
En effet, si le polvgone des forces ne se ferme pas, le système admet une résultante. Si le polygone des forces se ferme et qu'un seul polygone funiculaire se ferme également, le système est en équilibre.
On voitd'ailleurs directement (yt^, 2iet 24, /*/. F//) que, si le polygone des forces se ferme, les deux rayons aOetOftqui représentent (§33) les deux résultan tes des forces données coïncident; les lignes d'action 1 A et SB de ces deux résultantes leur étant parallèles sont donc parallèles entre elles, et les deux résultantes ellesmêmes représentées par aO et O fc sont égales cl de sens opposés. Ainsi ces deux résultantes forment bien un couple.
Réciproquement, si les deux résultantes forment un couple : 1" de ce que leurs lignes d'action lA et oB sont parallèles, il s'ensuit que les rayons extrêmes «OetOi coïncident en direction; a" de ce qu'elles sont égales et de sens opposés, il résulte que nO est égal et opposé à 06, c'est-à-dire que les deux points « et 6 coïncident.
BÉsmit. — Des forces distribuées d'une manière quelconque dans un plan, appliquées ù un système invariable étant définies par leurs lignes d'action et leur polygone des forces, il peut se présenter deux cas :
1° Le polygone des forces n'est pas fermé;
2" Il est fermé.
Dans le premier cas, le système admet toujours une résultante que l'on sait trouver (§ 36) parla construction d'un polygone funiculaire.
Dans le second, pour savoir à quoi le système est réductible, il faut aussi construire un polygone funiculaire. Les côtés extrêmes de ce polygone, quel qu'il soit, ne peuvent (le polygone des forces étant fermé) qu'être ou parallèles ou coïncidants.
S'il arrive qu'ils coïncident, les forces données sont en équilibre (§ 33).
S'ils sont parallèles, le système se réduit à un couple dont le polygone funiculaire construit fournit les deux forces et le bras de levier (§ 39 et 33).
Observons que, si l'on construisait un autre polygone, on trouverait un couple avec d'autres éléments. Cela prouve que, s'il n'existe pas une force unique équivalente à un couple, il existe, en revanche, une infinité de couples équivalents entre eux.
Etant donnés deux couples, il est facile de vérifier graphiquement s'ils sont équivalents. Pour qu'ils le soient, il faut et il suffit (§ 21) que les forces de l'un d'eux et celles de l'autre changées de sens se fassent équilibre. Nous savons vérifier si quatre forces se font 'équilibre. Ici le polygone des quatre forces se ferme et il suffit de vérifier si un de leurs polygones funiculaires se ferme aussi.
D'une manière générale, on vérifie de même si deux systèmes de forces quelconques situées dans un plan et appliquées à un solide invariable sont équivalents, en vérifiant s'il y a équilibre entre les forces de l'un des systèmes et celles de l'autre changées de sens.
EXEMPLES, l** Forces quelconques. — Les Ji g. 14 et i4, PI- Ul, contiennent les divers cas qui peuvent se présenter dans la composition des forces :
I** Les quatre forces
1, % 3, i représentées par
admettent comme polygone funiculaire le polygone Aol.2.3.iBo
par l'interseclion o de ses côtés extrêmes, donne la résultante
= ab.
Les cinq forces
dernière égale el opposée à 5R et représentée par ba, sonl ;mment en équilibre; leur polygone des forces représenté par
)tés
I, 2, 3, 4, j = fc«
'ermé, ainsi que leur polygone funiculaire qui comprend la
e A(|1.2.3.'iBo relative aux quatre premières forces; pour le
iner, il faut prolonger 4B|) jusqu'en S, ce qui donne le côté 4.3
lèle au rayon 4-5 (ou Ob), puis, par le point 5, tracer une
lèle au ravoD 5. i (ou Oa . Ce dernier côté coïncide avec le
ier.
Les cinq forces
mière représentée par ba, par suite, parallèle àRR'. polygone des forces est fermé; le polygone funiculaire est
Ai.2.3.4.S,H,.
i côtés extrêmes A, 1 el5|B, sont parallèles et les forces se réni à un couple dont les deux forces ont pour lignes d'action ités extrêmes 1 Ad, 5)B, et sont égales à aO etOad'aprèsle edu§33.
ns les /(^. 22 el a 2 [PI. VI) qui comprennent sept forces pour lignes d'action
résentées par les côtés
lygone des forces, on a montré comment on pourrait opérer, 'usage du polygone funiculaire, par compositions succèslignes d'action ll'etSS' se rencontrent en E, leur résullassepar ce pointet est représentée, sur lepolygone desforces, diagonale (12): sa ligne d'action (12) est donc parallèle ù
cette diagonale. Si on la prolonge jusqu'à son intersection avec 33' en z et qu'on la compose avec cette dernière force, leur résultante est représentée, sur le polygone des forces, par la diagonale ( i 23) et a pour ligne d'action (123); de même la résultante des quatre premières forces est représentée par la diagonale ( i 234) du polygone des forces et sa ligne d'action €st (1.2.3.4), et ainsi de suite. La résultante R des sept forces est représentée para6.
On voit que ce procédé, qui aurait l'inconvénient d'être en défaut si les forces données étaient parallèles et même si une résul- , tante partielle ne rencontrait pas la force avec laquelle on veut la composer ou la rencontrait en dehors des limites de l'épure, n'est en réalité qu'un cas particulier de la méthode du polygone funicu«- Jaire.
Le polygone formé par les lignes successives
n'est en effet, comme on le voit, autre que le polygone funiculaire relatif au pôle a.
Nous avons, sur la même épure et à titre de vérification, tracé le polygone funiculaire dont le pôle est O. C'est le polygone A1.2.3.4.5.6.7B.
On voit que l'intersection de ses côtés extrêmes Al et 7B donne bien un point 8 de la résultante. Et ses divers côtés, par leurs intersections, donnent non seulement les résultantes partielles (12), (123), . . . , mais aussi celles de forces consécutives telles que 2, 3, 4. De plus elles donnent la faculté de choisir le pôle de façon que les rayons vecteurs et, par suite, les côtés du polygone funiculaire qui leur sont parallèles ne se coupent jamais sous des angles trop aigus; elle est applicable, que les forces soient parallèles ou non; enfin elle constitue une méthode, puisqu'elle fournit les conditions d'équilibre, celles nécessaires à l'existence d'une résultante ou d'un couple résultant.
2^ Forces parallèles. — Quand les forces sont parallèles, les côtes du polygone des forces sont sur une même ligne droite. La Jig. 31 [PL VIII) contient les lignes d'action de quatre forces
parallèles
5o a* SECTION. — CHAP. IV.
le polj'gone de ces forces (Jig. 3t) a sou origine en a et son extrémité en b.
Les côtés
Al, 1.2, 2.3, 3.*, 4B
du polygone funiculaire avant son pôle en O sont respectivement parallèles aux rayons aboutissant aux points
L'intersection 3 des côtés extrêmes 1A et 46 donne un poinl de la résultante 5R = ab.
Soit 5R' une force égale et opposée à R, de sorte que 5R' est représentée, sur le poljgone des forces, par ba^ 5. Elle fera équilibre aux quatre forces données, puisqu'elle est égale et opposée à leur résullanle et l'on vérifie, en cITet, que le polygone des cinq forces i, 2, 3, J, 5, ainsi que leur poKgone funiculaire est fermé.
PBOBLËMES USUELS BEUTIFS A LA GOUOSmOH DES FORCES. — Problème L — Étant données plusieurs forces parallèles, trouver deux forces de même direction qu'elles, passant par des points donnés et leur faisant équilibre.
Soient {Jîg. 93, PL XAl)
i, 2, 3, 4, S, 6 les lignes d'action des forces données, et {fig- gS)
I, 1, 3, i, 5, 6 les côtés de leur polvgone.
Soient 7 et 8 les lignes d'action des forces inconnues et 7 el 8 leurs grandeurs cherchées. Supposons le problème résolu; portons 6<iJ ^ ^ et iùa ^ 8 à la suite des forces connues, sur le polygone des forces ; il devra se fermer; on reviendra donc en a el le point c» ou 7.8 est seul inconnu.
Construisons le polygone funiculaire relatif au pôle O- A cet eifet, partant d'un point S' de la ligne d'action 8, nous pourrons construire le contour 8M'.2',3'.4'.5'.6'.7' dont les côtés sont respectivement parallèles aux rayons vecteurs issus de O et allant aux
POLYGONES FUNICULAIRES. 5l
sommets connus 8.1 ou a; 1.2, 2.3, 3.4» 4-^9 ^«^i 6*7 ou b. Et, comme le polygone doit se fermer, il suffit de joindre les points 7' et 8', puis de mener de O une parallèle à cette ligne; on aura le point 7.8 ou ci>.
Ainsi, la règle est celle-ci: numérotez les forces données 1, 2, 3, 4, 5, 6; donnez les deux numéros suivants 7, 8 aux forces inconnues; puis, construisez un polygone funiculaire de pôle quelconque O des forces données; arrêtez les deux côtés extrêmes de ce polygone en leurs points d'intersection T et 8' avec les lignes d'action données; menez la corde 7'. 8' de ce polygone et, par le pôle, menez un rayon parallèle à cette corde. Il divisera la ligne ab qui ferme le polygone des forces en deux segments qui donnent les forces cherchées.
Rien ne serait changé à cette marche si les forces données n'étaient pas toutes de même sens ou si les lignes 7 et 8 ne comprenaient pas, entre elles, toutes les forces.
Problème IL — Réduire un système de forces parallèles à deux forces de mêmes directions qu^ elles, ayant des lignes d'' action données.
Si R et R' sont les deux résultantes cherchées, les forces — R et — R' égales et opposées à ces dernières maintiendront (§22) les forces données en équilibre.
La marche à suivre est donc la même que ci-dessus. Seulement les deux forces cherchées, au lieu d'être 7=6(0 {Jig» 23) et 8 = cuûî, seront ces forces changées de sens.
Problème III. — Etant données des forces quelconques, trousser deux forces les équilibrant et agissant suivant des lignes d'action données, parallèles à leur résultante.
On procédera exactement comme dans le problème I. Les côtés I, 2, 3, 4) 5, 6 du polygone des forces, au lieu d'être en ligne droite, formeront un contour polygonal : on mènera la droite ba qui ferme ce contour. On construira le polygone funiculaire 8M'. 2'. 3'. 4'. 5'. 6'. 7' des forces connues en arrêtant les côtés extrêmes en leurs points d'intersection T et 8' avec les lignes d'action données; on joindra les extrémités 7^ et 8' de ce polygone; et le ra%on Oco parallèle à cette ligne donnera, par son intersection
Si 3° SECTION. — CHAP. IV.
avec la droite l*a qui ferme le poljgone des forces, les deux Ibrces cherchées -j et 8,
Problème IV. — Étant données des forces quelconquex, les ramener à deux forces agissant suivant des lignes d'action données parallèles à leur résultante.
Même problème que le précédcnl, sauf que les forces obleaues seront changées de sens.
Problème V. — Trouver la résultante de deux forces parallèles.
On peut évidemment appli<]uer la méthode générale* du polvgone funiculaire. Elle est indiquée surles/ii^. 26 et a6, PI. Vil, où lesl'orcesdonnéesont, pour lignes d'action, 1 elâet,pourgi-andeurs, 1 = atii et a ^ 0)6. La résultante passe par l'intersection 3 des côtés extrêmes Al et 2B du poljgone funiculaire relatif au pôle O. On ferait de même si les forces 1 et 2 étaient de sens contraires. Mais il est plus simple d'employer la marche suivante.
Soient (fig. 28, PI. VII) 1 et 2 les lignes d'action des forces données, i et a leurs grandeurs. Sur la ligne d'action de chaque force portons la grandeur de l'autre force, de sorte que, sur la ligne indéfinie 1, à panir d'un point quelconque, on porte Oj^i^ 2 et, sur celle 2 aussi, à partir d'un point quelconque, on porte a,6,=;i. On joint l'origine de chacune de ces deux lignes à l'extrémité de l'autre, ce qui donne les deux droites a, &, et a^b,. Leur point d'intersection G appartient à la résultante.
En eDet, par le point b-i, menons b-ib'.^ parallèle àcr, &(, de sorte que t)ô,,= 2'=2. On peut donc considérer a, 6, i^ comme le polygone des deux forces données. Construisons un polygone funiculaire de ces forces en prenant le point 6, pour pôle, en sorte que les trois rayons sont b^a,, b^b,, b^b'.^. Prenons le point a, pour point de départ de ce polygone funiculaire. Alors, sou premier côté parallèle au rayon Ut b^ sera ce rayon lui-même ; son deuxième côté parallèle au rayon b-i b, sera également ce rayon même ; le troisième et dernier côté s'obtient en menant par b, une parallèle au rayon b^b'^; c'est la ligne bio^. Ainsi, le polygone funiculaire cherché est celui ath^hta^. L'intersection de ses deux côtés extrêmes a,bi et &, dj donne un point de la résultante. Il est donc
ainsi établi que le point C appartient à la résultante. La ligne d'action 3 de cette résultante est d'ailleurs parallèle aux forces données. Elle est égale à la somme géométrique de ces forcés, c'està-dire à leur somme arithmétique, si elles sont de même sens comme dans la fig, 28, et à leur différence arithmétique si elles sont de sens contraires comme dans la Jig. 2o.
On voit que, dans le premier cas, la ligne d'action de la résultante est entre les lignes d'action des composantes; dans le second, elle est en dehors de la zone du plan bordée par ces lignes et placée du c(Ué de la plus grande des deux forces données, celle dont la ligne d'action est 2' et la grandeur 2 et a même sens que cette force.
Dans les deux cas, les triangles ai&fC et a^h^Q* étant semblables, leurs bases sont entre elles comme leurs hauteurs, de sorte que, si p^ ou/?2 sont les distances de la résultante ou du point C aux deux composantes 1 et 2, on a
c'est-à-dire que la ligne d^ action de la résultante est telle que ses distances aux lignes d^ action des deux composantes sont en raison inverse de ces dernières.
Si l'on désigne par F< et Fj les deux composantes i et 2, on a
donc
Remarque, — Un couple peut être considéré comme une force infiniment petite dont le point d'application est infiniment éloigné, mais de telle sorte que le produit de cette force par la distance de son point d'application à l'une quelconque des deux forces du couple reste fini et égal au produit de la force du couple par son bras de levier. En effet, de l'équation ci-dessus on tire
Fj F, Fa— Fi
P\ Pt Pi—p%' d'où
Supposons que, F2 restant fixe, F| grandisse de façon à devenir égale à F^ et qu'ainsi, à la limite, les deux forces forment un couple. Le second membre reste fixe, puisque c'est le produit de la force F^ du couple par son bras de levier /?2 — p\. Donc, le
mïer membre reste aussi fixe. Mais, comme le facteur Fj — F, TOÎL indéfiniment, celui y?, croit indéfiniment, ^e produit de la force d'un couple par son bras de levier se nme le moment du couple.
'roblème VI. — Décomposer une force donnée en deux autres même direction gu ^elle et ayant des lignes d'action données.
3e problème est évidemment un cas particulier du problème II. i^ilpeut se résoudre plus simplement, comme l'inverse du précé- U. Soit3 la ligne d'action delaforce à décomposer (yf^. 28, P/.Fy/) deux autres dont les lignes d'action sont 1 et 2 et soit Oi b\ la ndeuT de la force donnée 3 que nous portons sur l'une des nés d'action données, par exemple celle 2. Nous joignons les remités «1 et b\ de cette ligne k un point quelconque b^ de la le d'action donnée 1 , et, parle point C où l'un decesdeux rayons, ui a, èj, coupe la ligne d'action 3, nous menons une parallèle à itre; le point 6| où elle coupe 2 détermine les deux composantes ^,^1 clb,b\^7,' dirigées respectivement suivant les lignes ction i et 2 ; car, en composant ces deux forces, on obtient, en tu du problème précédent, une résultante qui a bien 3 pour le d'action et a, bi= 3 pour grandeur.
3ans le cas où U ligne d'action 3 est entre les lignes d' action inées 1 et 2 (/î^. 28), on trouve deux composantes i et a toutes IX de même sens que la force donnée; dans le cas contraire, ^. 25), les deux composantes obtenues sont de sens contraires.
Problème Vil. — Décomposer une force donnée en deux autres même direction qu'elle et dont l'une soit donnée en granur, direction et sens.
soit toujours (/tg. 28) 3 la ligne d'action de la force à décomler et 3 sa grandeur.
*oit 2 la ligne d'action de la composante donn ée et 2 sa granir. Sur cette ligne 2 portons bout à bout a, b'^ ^3 el b'.jbt= a' igale à la force donnée 2 changée de sens, de sorte que si, "me sur la /ig. 28, les deux forces données 3 et a sont de même s, le point b, est compris entre a, et 6.,; c'est l'inverse (yï^. 25) es forces 3 et a sont de sens contraires. On joint les points a.
et 6| à un point quelconque G de la ligne d^action 3 de la force à décomposer.
Par le point h\^ on mène une parallèle au rayon 6| G jusqu'à sa rencontre avec celui a, G en 62 î on aura un point de la ligne d'action i de la composante inconnue, laquelle est d'ailleurs, en grandeur et sens, représentée par «i 6| = i .
Problème VIII. — Équilibrer une force donnée par deux autres de même direction qu'elle et ayant des lignes d'action données.
Il suffit (§ 21 ) de résoudre le problème VI et de changer le sens des forces obtenues dans ce problème.
Problème IX. — Equilibrer une force donnée par deux autres de même direction qu'elle et dont l'une soit donnée.
Il suffit de résoudre le problème VII après avoir changé le sens de la force donnée et de changer ensuite le sens de la force obtenue.
noniÉrt8&ÉOXÉTRiaUS3DS8P3LTaO]|£SFÏÏIIGULiIBSS — Théorèms I. — De quelque façon qu'on déplace le pôle du polygone funiculaire d'un système de forces données, le lieu des points de rencontre de deux quelconques de leurs côtés est une droite parallèle à la somme géométrique des forces comprises entre ces côtés.
Ce théorème est une conséquence évidente de ce que (§ 37) le point de rencontre de deux côtés d'un polygone funiculaire appartient à la ligne d'action de la résultante des forces comprises entre ces côtés.
Théorème II. — Si deux systèmes de forces (¥) et {¥')sont équivalentsetque l'on construise deux polygones funiculaires, l'unV relatif aux forces (F), l'autre P' relatif aux forces (F'), ces deux polygones ayant même pôle et même point de départ^ leurs côtés extrêmes coïncideront.
Il est sous-entendu, dans cet énoncé, qu'en portant les forces
(F) et les forces (F') bout à bout pour construire les polygones de ces deux systèmes de forces, on part du même point, en sorte que ces deux polygones ont, par hypothèse, même origine. Soit a cette origine commune; désignons par b et U les extrémités des polygones des deux systèmes de forces.
Soient O le pôle et A le point de départ commun aux deux polygones funiculaires P et P'. Le premier côté du polygone P coïncidera'nécessairement avec le premier côté du polygone P', puisque, par hypothèse, ces deux côtés passent l'un et l'autre par le point A et sont l'un et l'autre parallèles au rayon Oa issu du pôle commun et allant à l'origine commune des deux polygones des forces. Cette coïncidence existerait en vertu des hypothèses faites, même si les deux systèmes de forces (F) et (F') n'étaient pas équivalents.
Il s'agit donc simplement de montrer que, dans le cas où ces systèmes sont équivalents, les derniers côtés des deux polygones coïncident aussi.
Or les forces (F) sont (§ 33) réductibles à deux forces/ et/' dirigées suivant les côtés extrêmes du polygone P et représentées par les rayons extrêmes aO et 06 issus du pôle de ce polygone; de même les forces (F') sont réductibles à deux forces / et /" dirigées suivant les côtés extrêmes du polygone P' et représentées par les rayons Oa et 06', de sorte que la force / dirigée suivant le premier côté est la même dans les deux systèmes. Or les deux deux systèmes de forces (F) et (F') étant équivalents, il en est de même des deux systèmes formés l'un par les deux résultantes
l'autre par les deux résultantes
Les forces /' et/'' sont donc équivalentes, c'est-à-dire égales, de même sens et ayant même ligne d'action, ce qui établit bien la proposition énoncée et montre d'ailleurs que les extrémités b et // des deux polygones des forces coïncident aussi, ce qui résulte, en effet, des conditions d'équivalence précédemment établies.
CoROLLAïuE. — Le lieu des pôles des polvfi^ones funiculaires d\in système dejorcesy assujettis à ce que leurs côté^xti^émes
passent chacun par unpoint fixe, ne change pas si Von remplace ces forces par des forces équivalentes quelconques.
En effel, soit O un point du lieu des pôles des polygones funiculairei d'un système de forces (F), ces polygones étant assujettis à se terminer en deux points fixes A et B. Si (F') est un système de forces équivalent à celui (F), le point O appartient aussi au lieu des pôles des polygones funiculaires des forces (F'), assujettis à se . terminer en A et B. En effet, si l'on construit un polygone funiculaire de ces dernières forces, ayant le point O pour pôle et le point A pour point de départ, son dernier côté passera par le point B; car ce dernier côté coïncide avec celui du polygone relatif au système (F) de même pôle O et ayant le point A comme point de départ, et ce dernier, par hypothèse, passe par le point B.
Ainsi, tout point O du lieu relatif aux forces (F) appartient au Heu relatif aux forces (F').
On verrait de même que tout point du lieu relatif aux forces (F') appartient à celui relatif aux forces (F). Les deux lieux sont donc identiques.
TiiéoiiEMBlII. — Le lieu des pôles des polygones funiculaires, dont deux côtés sont assujettis à passer chacun par un point fixe, est une droite parallèle à celle qui joint les deux points fixes.
Supposons d'abord que ce soient les côtés extrêmes du polygone funiculaire d'un système de forces qui doivent passer par deux points A etB(yî^. 4> p- 58), et supposons, en premier lieu, que ces forces admettent une résultante R. Cette résultante est représentée, sur le polygone des forces, par la ligne ab^ et sa ligne d'action R peut être obtenue par la construction d'un polygone funiculaire quelconque. Décomposons la force R en deux autres F| et Y^j de même direction qu'elle et passant par les points donnés A et B.
Soient respectivement aiù et tùb les grandeurs de ces deux forces; on sait (§ 42, Prob. V) 'que le point w divise la ligne ab en raison inverse des distances connues des points A et B à la ligne d'action de la résultante et est compris entre les points a et b ou sur le prolongement de la ligne a6, suivant que la ligne R elle-môine coupe la droite AB entre les points Aet B ou en dehors de AB, de sorte que le point to est facile à déterminer.
Les deux forces F| et F2 forment un système équivalent à celui proposé ; il suffit donc, en vertu du corollaire du théorème précédent, de chercher le lieu des pôles O des polygones funiculaires de ces deux forces, dont les côtés extrêmes passent par les points A et B. Or il est aisé de voir que ce lieu est la parallèle à AB menée par le point o>. Soit, en effet, O un point pris sur cette parallèle. Construisons le polygone funiculaire relatif aux deux forces F| et F2 ayant le 'point O pour pôle, en faisant passer le premier côté par le point A. Ce premier côté sera donc une droite A' A parallèle au rayon aO, le second côté sera une parallèle au ravon Ow, c'est-à-dire la droite AB, et le dernier côté sera une droite BB' parallèle à 06.
Les côtés extrêmes A' A et B'B passent bien par les points A
Fi g. l\.
et B, et comme, en vertu du théorème II, ces deux côtés coïncident avec les côtés extrêmes de celui des polygones funiculaires des forces données qui aurait le point O pour pôle et partirait du point A, la proposition est établie. D'ailleurs, si Oco n'était pas parallèle à AB, le dernier côté ne pourrait pas passer par le point B lorsque le premier passe par le point A; la droite menée du point O) parallèlement à AB jouit donc de la propriété demandée à l'exclusion de tous les autres points du plan.
Supposons à présent {Jig* 4 ^is) que les forces données se réduisent à un couple; ce couple se trouvera par la construction d'un polygone funiculaire quelconque des forces données. Décomposons chacune des deux forces de ce couple en deux autres de même direction qu'elle et passant aux points A et B. Nous aurons donc, au point A, deux forces dont les lignes d'action coïncident et qu'on ajoutera entre elles; de même au point B, ce qui fournira à
POLYGONES FUNICULAIRES. Sq
la place du couple d'abord trouvé un nouveau couple dont les deux forces F^ et Fa passent par les points A et B.
Du point a, origine du polygone des forces données (lequel est ici fermé), menons aw égal à F, et o>a égal à Fj.
Les deux forces F| et F2 représentées par ato el toa forment un système équivalent aux forces données : il suffit donc (Th. II, Corollaire) de trouver le lieu des pôles O des polygones funiculaires relatifs à ces deux forces et dont les côtés extrêmes passent par les points donnés A et B. Or, on voit, comme dans le cas précédent, que ce lieu est une parallèle à AB menée par le point 0). Les côtés extrêmes A'A et BB' sont ici parallèles, pour les forces données comme sur celles du couple résultant par lequel on les a remplacées.
Fig. 4 àis.
Si les côtés qui doivent passer par deux points fixes n'étaient pas les côtés extrêmes d'un polygone funiculaire, on regarderait ces côtés comme les côtés extrêmes des polygones funiculaires relatifs aux forces comprises entre eux et Ton procéderait sur la résultante partielle (ou le couple résultant) de ces forces, comme on vient de le faire sur la résultante ou le couple résultant de toutes les forces données.
Remarque. — Quand les forces données admettent une résultante R (Jlg* 4? p« 58), suivant que cette résultante coupe ou non la ligne AB entre les points A et B, le point w se trouve ou non entre les points a et 6, et toujours les segments aco et (ofr sont en raison inverse de ceux AI et IB que la résultante détermine sur AB.
Go 2* SECTION. — CIIAP. IV.
Théorème IV. — Les côtés correspondants de deux polygones funiculaires quelconques dUin système de forces se coupent en des points placés tous sur une même droite parallèle à celle qui joint les pôles de ces deux polygones.
Considérons (Jig* 14, PL 111) quatre forces, dont les lignes d'action sont les lignes munies de flèches
1, 2, 3, 4, et dont les grandeurs sont représentées .(yî^r. i^) par les côtés
du polygone des forces.
Soit Aol.2.3.4Bo un polygone funiculaire de ces forces relatif au pôle quelconque O.
Concevons qu'on trace le polygone funiculaire de ces mêmes forces relativement à un autre pôle quelconque O'.
Désignons par \\ 2', 3', i! les sommets de ce second polygone (non tracé) placés sur les lignes droites 1, 2, 3, 4. Le premier côté de ce second polygone coupe le côté correspondant du polygone relatif au pôle O en un certain point. Désignons par Aq ce point.
De même le dernier côté du second polygone coupe le côté analogue du premier polygone en un point. Désignons par Bg ce point, (le sorte que le second polygone sera désigné par Aol'.2'.3'.4'Bo.
Il s'agit de démontrer :
1® Que deux autres côtés correspondants quelconques des deux polygones, par exemple i.3et 4'. 3', se coupent en un point C placé aussi sur la droite A^B^;
2^ Que cette droite qui contient ainsi les points d'intersection de tous les côtés correspondants est parallèle à celle 00' qui joint les deux pôles.
Ce dernier point est évident, en vertu du théorème précédent.
Pour établir le premier, considérons les polygones funiculaires
Aq 1 .2.3 C) Aq 1.2.3 C,
de pôles O et O', relatifs aux trois forces i, 2, 3.
En vertu du théorème précédent, le lieu des pôles O pour lesquels les côtés exlrêmes de ces polygones passent par les points
POLYGONES FUNICULAIRES. 6l
\q el C est une cfroite parallèle à AoG. Donc 00' est parallèle à Ao C, et, comme 00' est aussi parallèle à AqB, le point G est sur cette dernière ligne.
Des deux théorèmes précédents résultent immédiatement les deux suivants :
Théorème V. — Lorsque deux côtés d'un polygone funiculaire pivotent autour de deux points fixeSy tous les autres côtés pivotent autour de points Jixes, tous situés sur la droite qui joint les premiers et le lieu des pôles est une parallèle à cette même droite.
Théorème VI. — Lorsque le pôle d'un polygone funiculaire
décrit une droite et qu'un seul côté de ce polygone pivote autour
d'un point fixe, tous les autres côtés pivotent autour de points
fixes placés sur une parallèle menée, par le premier point fixe,
à la droite que décrit le pôle, ,
^^ /^ Exemple. — Sur les fig, Jtf-et *^, PL IV, sont tracés les
polygones funiculaires des sept forces dont les lignes d'action sont
11', 22', 33', 44', 55', 66', 7 7', et les grandeurs
I, 2, if 4, 3, O, 7>
relativement aux pôles O et O'.
Le polygone relatif au pôle O est tracé en lignes pleines, Taulrt* en traits discontinus.
Les pivots des sept côtés sont
situés sur la droite ZZ| parallèle à celle ^Z| qui joint les deux pôles. La figure permet aussi de vérifier que le polygone funiculaire relatif au pôle O donne, comme cela doit être, la même résultante si Ton intervertit l'ordre des forces que l'on compose ; si, au lieu de suivre l'ordre i, 2, 3, 4? ^j • • • ^^ polygone des forces, on adopte celui i, 2, 3, 5, 4) • • ••
§ 43 Ois.
PBOPRiiTÉS FAETIGUUÈBE8 AUX POLnOHES FUMIGULAIBES DES FORGES PAlALLtUS. — Considérons (fig» 93, PI. XXI) un système de forces
6a a* SECTION. — chap. iv.
parallèles dont les lignes d'action sont
i, 2, 3, 4, 5, 6, le polygone des forces ab (Jig» gS) ayant pour côtés
Pour simplifier le langage nous supposerons ces forces verticales.
Construisons un polygone funiculaire quelconque de pôle O, et coupons ses côtés extrêmes par deux verticales arbitraires, mais fixes, 77' et 88' qui rencontrent ces côtés en 7' et 8'. Menons la corde 7'. 8' et par le pôle, le rayon Oo> parallèle à cette corde. Nous savons (Prob. I, § 42) que 6(0=7 et o>a=8 sont les grandeurs de deuxforces qui, appliquées suivant les verticales 77' et 88', feraient équilibre aux forces données.
Ces deux forces 7 et 8 sont évidemment indépendantes du polygone funiculaire qui a servi à les obtenir.
De là, résultent des propriétés très importantes, particulières aux polygones funiculaires de forces parallèles.
Théorème VII. — Si l^on construit un polygone funiculaire quelconque d*un système de forces parallèles (verticales pour fixer les idées)^ qu^on prolonge ses deux côtés jusqu'à leurs rencontres en 7' et 8' avec deux verticales fixes, mais choisies arbitrairement, et qu'on mène la corde 7'. 8' qui joint ces deux points, le produit du segment ab qu'une verticale quelconque détermine entre le polygone et la corde, par la distance polaire d, est le même pour tous les polygones funiculaires des forces considérées.
Considérons en effet une verticale quelconque déterminant, entre le polygone et sa corde, une ordonnée ab.
Supposons que ce soit le côté 2'.!' du polygone funiculaire qui se trouve coupé par cette verticale.
Prolongeons le côté 2M' jusqu'à son intersection en I avec la corde. D'après la propriété fondamentale des polygones funiculaires (§33), le point I où ce côté coupe la corde 7'. 8' appartient à la résultante R des forces situées entre les verticales 8 et ab. Ici ce sont les deux forces ayant pour lignes d'action 88' et 1 1' et pour grandeurs (i)a=8 et aC = i.
La grandeur et la position de cette résultante sont indépendantes du polygone funiculaire choisi pour les déterminer. Un autre polygone donnerait un autre point I de la verticale R, mais la distance de ce nouveau point à la verticale ab serait toujours égale à Ii. Quant à la grandeur de R représentée sur le polygone des forces par la différence 8 — i = o>C, elle ne dépend pas non plus du polygone funiculaire employé.
Or, les deux triangles, Iba et OGo> sont semblables, puisque le côté Oco est parallèle à la corde 7'. 8', comme l'indique la solution du problème I, § 42, le côté 1^2' est parallèle au rayon 1.2 ou OC, et les deux autres côtés sont verticaux. Par suite, les bases ab et Co> de ces deux triangles sont entre elles comme leurs hauteurs, d^où, en appelant la di s Lan ce polaire ef,
ab __ li Gtô ~ 5 ou
ab X rf= G(o X U ou
z X d = Cta xli,
en désignant, comme nous le ferons habituellement, par z les ordonnées verticales telles que ab déterminées entre le périmètre d'un polygone funiculaire et une de ses cordes.
Le second membre étant indépendant du polygone funiculaire considéré, il doit en être de même du premier.
On peut encore énoncer la proposition sous la forme suivante :
TuÉORÈstB VII 6w. — Qu'on construise deux polygones funiculaires quelconques, d'un même système de forces verticales, de distances polaires do et d, qu'on trace deux verticales fixes qui coupent les deux côtés extrêmes du premier de ces polygones respectivement en Aq et Bo (Jig- 18 et 19, PL F), les deux côtés extrêmes du second respectivement en A et B; qu'on mène les cordes Aq Bo et AB ; les ordonnées Zq et z déterminées par une troisième verticale quelconque entre chaque polygone et sa corde sont en raison inverse des distances polaires :
(a) z X d = ZqX do.
Corollaire 1. — Ayant tracé un premier polygone funiculaire d'un système de forces parallèles, de distance polaire
quelconque rf,,? coupons-le par une droite entièrement arbitraire Ao Bo {Jig* 1 8, P/. V) ; puis y à partir d'une autre droite ellemême arbitraire AB, menons (Jig- 19) des ordonnées verticales z proportionnelles aux ordonnées correspondantes Zq du premier polygone comptées depuis AoBq et étant à celles-ci dans un rapport arbitrairement choisi dold; nous aurons un noui^eau polygone funiculaire des forces données, de distance polaire d.
En effet, soient Aq et Bq les points d'intersection des côtés extrêmes du polygone funiculaire a\ec la droite Aq Bq et soient A et B les points d'intersection du second polygone tracé avec la ligne AB. Par la construction même, les points Aq et A sont sur une même verticale, ainsi que les points Bq et B. Or, si l'on voulait construire un polygone funiculaire passant par les points A et B et de distance polaire c/, il suffirait, d'après l'équation (a) ci-dessus, de prendre les ordonnées z de façon qu'elles soient à celles correspondantes Zq dans le rapport c/q I ^«
GoROLLAïKE II. — Siy en particulier, on prend les ordonnées z égales à celles Zq, le nouveau polygone J uniculaire aura même distance polaire que U ancien.
HOMBBE DE CONDITIONS NÉCESSAIRES POUB TRACER UN POLTOONE FUNICU- LAIRE. — Pour définir un polygone funiculaire d'un système de forces, il suffit de connaître : i°son pôle; 2"le point de départ, c'està-dire un point par lequel doit passer le premier côté du polygone.
Pour définir un point dans un plan, il faut connaître deux lignes sur lesquelles il doit se trouver ou, ce qui revient au même, ses deux coordonnées; cela fait deux conditions.
Assujettir un point à se trouver sur une droite donnée ou inversement assujettir une droite à passer par un point donné, c'est lui imposer une seule condition.
Ainsi, donner le pôle d'un polygone funiculaire, c'est donner deux conditions, tandis qu'assujettir son premier côté (ou généralement un de ses côtés) à passer par un point, c'est donner une seule condition. De là résulte qu'un polygone funiculaire relatif à un système de forces est entièrement défini par trois conditions.
Si on se les donne, le pôle et le point de départ sont définis (il peut y avoir plusieurs solutions, mais non une infinité). Si Ton ne s'en donne que deux, le pôle peut décrire une ligne droite ou courbe, dans le plan, et à chaque point de cette ligne répond un ou un nombre fini de polygones. Si Ton n'impose qu'une seule condition, tous les points du plan ou tout au moins des points couvTant une aire et ne formant plus une simple ligne peuvent être pris pour pôles^ et à chacun d'eux répond, en général, un ou un nombre fini de polygones.
Si l'on ne donne aucune condition^ non seulement tous les points du plan peuvent être pris pour pôles, mais à chacun d'eux répond une infinité de polygones, puisque le point de départ peut être pris arbitrairement.
nOBLtMES BELATirS AU TRACÉ DES POLTftOHES FUinGUIiAIBES. ~ Problème I. — Trouver le lieu des pôles des polygones funiculaires d'un système de forces, dont les deux côtés extrêmes sont assujettis à passer par des points donnés.
Supposons {Jig' 14, PL III) que les quatre lignes munies de flèches 1, 2, 3, 4 soient les lignes d'action de quatre forces représentées sur le polygone des forces {fig* i4) ^^ les côtés
On demande de trouver le lieu de^ pôles des polygones funiculaires de ces forces dont les côtés extrêmes passent par deux points donnés  et B.
Nous savons par le théorème III du § 43 que le lieu cherché est une droite, et ce théorème combiné avec le problème III du § 42 nous indique la marche suivante :
Déterminer la résultante R des forces données, ce qui exige le tracé d'un polygone funiculaire quelconque (non assujetti aux conditions du problème actuel).
Soit 5.1.2.3.4.5 ce polygone dont le pôle est O.
Soit 5R la ligne d'action de la résultante représentée sur le polygone des forces par la ligne ab et formée par l'intersection des côtés extrêmes du polygone tracé.
Par les points donnés A et B, menons Al et B^ parallèles à R
C6 a" SECTION. — CHAP. IV.
jusqu'à leur rencontre en a, jî avec ces deux côtés. Par le pôle O menons une parallèle à la droite a^ qui ferme le polygone ; le point 0) où cette parallèle coupe ab détermine les deux, forces a to = F| et o>6 = F2 qui, appliquées en A et B, seraient équivalentes à celles données.
Donc le lieu est la parallèle à ÂB menée par le point (o.
Si les forces se réduisaient à un couple, la marche analogue serait facile à trouver; mais nous verrons plus tard un moyen immédiat de remplacer un couple par un autre dont les forces passent par deux points donnés A et B et, cette opération faite, la démonstration du théorème TII du § 43 indique immédiatement la position de la droite qui forme le lieu cherché.
Problème IL — Trouver le lieu des pôles des polygones funiculaires d^un système de forces dont deux côtés quelconques passent par deux points donnés,
Supposons que les lignes d'action des forces données portent les numéros
et les côtés correspondants du polygone des forces, ceux
Le polygone funiculaire d'un système de n forces a /i + i côtés; supposons qu'on demande que ce soit le /*'"** et Icy'*''"*^ qui passent chacun par un point donné. Ce sont les côtés extrêmes de la partie du polygone funiculaire qui est relative aux forces dont les lignes d'action sont
Il suffit donc de laisser de côté toutes les autres forces et de procéder, sur ces dernières, comme dans le problème précédent.
Ainsi, si, dans l'exemple précédent, on demande que le premier côté passe par un point A et Tavant-dernier 3.4 par un point C, on laissera de côté la force 4. On déterminera, à l'aide d'un polygone funiculaire quelconque, la résultante des trois premières forces représentées sur le polygone des forces par ac et dont la ligne d'action passe par l'intersection des côtés 4.3 et 5.1; on pro-
POLYGONÉ'S FUNICULAIRES. 67
cédera, sur celle résullanle partielle, comme nous Pavons fait dans le problème précédent.
Ici, le point C ayant été pris sur la droite AB du problème précédent, on devra, comme vérification, trouver le même lieu, en vertu du théorème IV, du § 43.
PaoBLÈME III. — Déterminer le polygone funiculaire d'un système de forces dont les côtés extrêmes sont assujettis à passer par deux points donnés A, B et le i^"^^ côté par un point C.
I® Cherchez la droite lieu des pôles des polygones dont les côtés extrêmes sont assujettis à passer parles points AetB( Problème I).
2^ Cherchez de même la droite lieu des pôles des polygones dont le premier côté est assujetti à passer par le point A et le t*'"® par le point G (Problème II).
Le point d'intersection de ces deux droites donnera le pôle du polygone cherché. Comme vérification, on pourrait chercher le lieu des pôles des polygones dont le dernier côté est assujetti à passer par le point B et le i**^"*' par le point C. On devrait trouver la même solution.
Au pôle trouvé répond un polygone unique, puisque le point de départ est donné.
Problème III bis. — Même problèmeque le précédent pour des forces parallèles.
Quand il s'agit de forces parallèles, la solution générale qui précède peut être notablement simplifiée.
Soit (Jig- 19, PL V) un système de forces parallèles dont les lignes d'action sont
représentées sur le polygone des forces {fig* i8) parles longueurs
On demande de tracer le polygone funiculaire de ces forces dont les côtés extrêmes passent par deux points A el B et dont le côté compris entre les forces 1 et 2 passe par le point C.
A cet effet, traçons un polygone funiculaire quelconque des forces
68 a* SECTION. — CH\P. IV.
données^ celui dont le pôle arbitrairement choisi est Oo. Soit
{fie- 18)
Ao 1 0 ^0 3o <o «^0 ^0 ce polygone.
Désignons par Aq et B^, les points où les verticales des points donnés A et B coupent ses côtés extrêmes.
Menons la verticale du point C qui coupe la droite donnée AB en c et détermine dans le polygone funiculaire de pôle Oq une ordonnée Cor4o.
Amplifions les ordonnées des sommets de ce polygone dans le rapport Ce : CoCq.
On forme ainsi un polygone Ao 1 ^ 2J, 3'^ 4'^ 5'^, Bo ; on voit que, pour faire cette opération, il suffît de prolonger le côté âol© du premier polygone jusqu'à sa rencontre en s avec la corde BA et de joindre 5CJ,, le point C'^ étant tel que CoG',, = cC. On obtient ainsi les sommets 1'^ et 2'^,; en procédant de même sur 2o3o, si le point de rencontre n'est pas trop éloigné, on aura le sommet 3J, et ainsi de suite.
Le nouveau polygone obtenu est encore un polygone funiculaire des forces données (§43 6w, corollaire II).
Portons, à partir deAB, sur les lignes d'action des forces données, des ordonnées égales à celles correspondantes de ce dernier polygone; nous formerons un polygone Al. 2. 3. 4.5 B qui passe évidemment par les trois points A, B, C.
D'ailleurs c'est encore un polygone funiculaire des forces données (§ 43 bis^ corollaire I): donc c'est le polygone cherché.
PaoBLÈME IV. — Déterminer le polygone funiculaire dUin système de forces parallèles dont les côtés extrêmes sont assujettis àpasserpar deux points donnés et dont la distance polaire d soit donnée.
Traçons un polygone funiculaire de distance polaire d et d'ailleurs arbitraire. Soit (mêmes figures que dans le problème précédent) Aolo2'o3'„4'^5'^^Bo ce polygone.
Soient Ao et Bo les points où les verticales des points A et B coupent ses côtés extrêmes. Menons la corde AoBo et à partir de AB portons, sur les lignes d'action des forces données, des ordon-
POLYGONES FUMCI'LAIRES. 69
nées égales à celles du polygone tracé, comptées depuis AoBq. On formera un polygone Al. 2. 3. 4. 5 B qui passe par les points A et B. C'est d'ailleurs un polygone funiculaire des forces données, ayant même distance polaire que celui d'où il est déduit (§ 43 bis, corollaire I). C'est donc le polygone cherché.
Si l'on porte les mêmes ordonnées au-dessus de la ligne AB, on aura une seconde solution A1'2'3'4'5'B.
Le problème comporte en effet deux solutions. Si Ton cherche les pôles O et O' relatifs à chacun des deux polygones obtenus, ils se trouveront naturellement sur une parallèle à la ligne AB en vertu du théorème V du § 43 et à égale distance d du polygone des forces.
§ 43 bis.
DES GOUBBES FUHIGULAIBES (*). — Toutes les propositions établies relativement aux polygones funiculaires d'un nombre fini de forces subsistent, quelque nombreuses et voisines que soient ces forces: Elles sont donc encore vraies lorsque les forces se succèdent d'une manière continue. Les polygones funiculaires deviennent alors des courbes funiculaires et les polygones des forces deviennent des courbes des forces, sauf dans le cas de forces parallèles où les forces continuent toujours à occuper une portion de ligne droite quand elles sont portées bout à bout.
Les côtés des polygones funiculaires et des forces deviennent respectivement les tangentes aux courbes funiculaires et des forces. Et, comme les côtés d'un polygone funiculaire sont parallèles aux rayons polaires correspondants, que d'autre part les côtés du polygone des forces sont parallèles aux lignes d'action des forces, il s'ensuit que, dans le cas de forces continues, les tangentes à une courbe funiculaire sont parallèles aux rayons polaires correspondants, les tangentes à la courbe des forces sont parallèles aux lignes d'action des forces; enGn les éléments infiniment petits pris sur la courbe des forces, lesquels tiennent lieu des côtés du polygone des forces, représentent les grandeurs des forces agissant aux points correspondants de la courbe funiculaire.
(*) Voir aussi Notes III et III bis.
70 2* SECTION. — GIIAP. IV.
Ainsi, soit {^fig- 20, PI- F) AB uïijc courbe quelconque qui soit regardée comme la courbe funiculaire, relative au pôle O (^fig* 20), d'un système de forces dont la courbe des forces est ab- Si Ton mène un rayon polaire quelconque O/?, puis qu'on mène une tangente à la courbe funiculaire parallèle à ce rayon, le point de contact P sera le point de la courbe funiculaire correspondant au point /?; de même, si Ton mène un rayon 0<7, on obtient un point correspondant Q. En vertu de la propriété mécanique fondamentale (§ 37) des polygones funiculaires, applicable aux courbes funiculaires, le point S où se coupent les tangentes en P et Q est un point de la résultante de toutes les forces en nombre illimité agissant entre P et Q et cette résultante elle-même est représentée par la corde pq, La résultante de toutes les forces passe par le point de rencontre des tangentes extrêmes AT et BT' parallèles aux rayons polaires extrêmes Oa et 06 et elle est représentée en grandeur, direction et sens par la droite ab qui va de l'origine à l'extrémité de la courbe des forces.
Si Op et 0/>' sont deux rayons infiniment voisins auxquels correspondent les points P et P', la résultante des forces agissant sur l'élément PP' passe par le point s où se coupent les tangentes en ses extrémités, est parallèle à l'élément correspondant ppf et est représentée en grandeur, direction et sens par ce dernier.
Toutes ces considérations subsistent si les forces sont parallèles, c'est-à-dire si la courbe ab est remplacée par une portion de droite a\ b\ .
Supposons qu'on circonscrive à la courbe funiculaire un polygone quelconque ATST'B dont les côtés ont pour points de contact les extrémités A et B et les points intermédiaires en nombre quelconque P, Q, •••• La résultante 1 des forces agissant entre A et P passe par le point Tet est représentée sur la courbe des forces par la corde ap'=- \\ la résultante 2 de celles qui agissent entre P et Q passe par le sommet S du polygone circonscrit et est égale ^pq = 2 ; de même, la résultante 3 de celles qui agissent entre les points de contact Q et B passe par le sommet T' et est égale à çr6= 3.
Ainsi, tout polygone circonscrit à une courbe funiculaire est un polygone funiculaire d^un nombre fini de forces, à savoir : les résultantes partielles des forces qui agissent entre
les points de contact successifs de la courbe et du polygone. Supposons inversement que, étant données des forces se succédant d'une manière continue, on marque les lignes d'action d'un certain nombre d'entre elles, à savoir : la ligne d'action AA| parallèle à la tangente en a à la courbe de ces forces, les lignes d'action PPi, QQi, ..«, BB| respectivement parallèles aux tangentes en />, ^, . . . , 6 et que, par un moyen quelconque, on sache trouver les résultantes partielles 1, 2, 3, ... des forces en nombre illimité agissant respectivement entre AA| et PP|, entre PP| et QQi, ... ; ces forces sont représentées par les cordes i, a, 3, ... constituant les côtes de leur polygone des forces. Si l'on construit le polygone funiculaire de ces forces ayant le point O pour pôle et le point A pour point de départ, on retrouvera le polygone ATST'B, c'està-dire un polygone circonscrit à la courbe funiculaire de pôle O, les points de contact étantsur les lignes AA|, PPj, QQi, .... Ainsi :
Théorème. — Étant données des forces se succédant d'une manière continue, si l'on peut les séparer en groupes, chaque groupe étant limité par les lignes d'action de deux des forces données et, de plus, tel quon sache trouver la résultante des forces qui le composent, à savoir : le groupe des forces dont les lignes d'action sont comprises entre celles AA| et PP, ayant i, I pour résultante ; le groupe des forces dont les lignes d* action sont comprises entre celles PP| et QQi ayant 2, 2 pour résultante et ainsi de suite, tout polygone funiculaire de pôle quelconque O de ces résultantes est circonscrit à la courbe funiculaire de même pôle et ayant même point de départ des forces données. De plus, les points de contact sont sur les lignes de séparation des groupes W^^ PP<,
Remarque I. — Si les forces données sont toutes verticales, les lignes de séparation AA|, PPf, . . . des groupes doivent aussi être verticales; les points de contact de la courbe et du polygone circonscrit seront sur ces verticales, tandis que les sommets du polygone circonscrit seront sur les verticales 1 , 2, 3, ... représentant les lignes d'action des résultantes partielles.
Remarque II. — Ainsi que nous l'avons dit en commençant, toutes les propriétés des polygones funiculaires appartiennent
7a 2* SECTION. — CIIAP. IV. — POLYGONES FUNICULAIRES.
aassi aux courbes funiculaires. Il suffit, dans les énoncés, de remplacer les mots côtés des polygones funiculaires et des forces par les mots tangentes aux courbes funiculaires et aux courbes des forces.
Parmi ces théorèmes nous citerons celui-ci, qui est un cas
particulier du précédent et qui résulte aussi du théorème H (§ 43) :
Théorème. — On ne change pas les tangentes extrêmes dhine courbe funiculaire d^un système de forces, en remplaçant ces forces par d'autres équivalentes, quelles qu'elles soient.
En d^autres termes, étant données des forces continues, si Ton construit une courbe funiculaire de ces forces avec un pôle et un point de départ donnés, puis qu'on construise avec ce même pôle et ce même point de départ la courbe ou le polygone funiculaire d'un système de forces, en nombre illimité ou non, équivalentes aux forces données, les tangentes extrêmes de cette seconde courbe ou les côtés extrêmes du polygone coïncideront avec les tangentes extrêmes de la première courbe.
On voit en quoi cette proposition diffère de la précédente. Si l'on remplace {fig^ 20 et 20, PL V) les forces continues données par le système équivalent formé par les forces 1, 2, 3^ non seulement on ne change pas les tangentes extrêmes de la courbe funiculaire, mais on ne change pas non plus les tangentes aux poinls P, Q, . . ., placés sur les lignes de séparation des groupes. Mais cela tient à ce que les groupes sont séparés par des lignes d'action des forces données elles-mêmes. Si Ton prenait d'autres systèmes de forces équivalentes aux forces données, cette seconde propriété ne subsisterait pas; mais celle relative aux tangentes extrêmes subsisterait toujours. Le polygone funiculaire obtenu ne serait plus circonscrit à Ja courbe funiculaire; mais ses côtes extrêmes coïncideraient toujours avec les tangentes extrêmes de cette courbe.
2* SECTION. — CllAP. V. — CONDITIONS D'ÉQUILIBRE DKS CORPS. 78
