ET LE POLYGONE DE VARIGNON

SUR us DËPLAGEMEHT DES POINTS D'APPUGATION DES FOBGES SÏÏR LEUB DIEEGTIOII. — Tant qu'on ne s'occupe, comme nous Pavons fait jusqu'ici, que des conditions d'équilibre entre les forces extérieures (§ 49) agissant sur un corps solide élastique, on peut, grâce à l'approximation admise au § 47, procéder comme si ce corps était invariable, par conséquent, faire sur les forces toutes les opérations permises en pareil cas, notamment celle qui consiste à déplacer leurs points d'application sur leurs propres directions. • Il en est autrement lorsqu'on veut étudier les forces élastiques que des forces données font naître à l'intérieur d'un corps. Le déplacement du point d'application d'une force quelconque sur sa direction modifierait complètement les pressions ou tensions existant à l'intérieur du corps.

Ainsi, supposons une tige AB(Jlg. 5) en équilibre sous l'action

Fig. 5.

de deux forces /et/' égales, dirigées suivant la droite AC qui joint leurs points d'application et de sens contraires.

Cette partie AC de la tige sera plus ou moins tendue par ces forces, tandis que leur action sur la partie CB sera nulle ou insensible. Il en serait tout autrement si l'on transportait la force/' sur sa ligne d'action en/". Alors toute la ligne AB serait tendue.

Il résulte évidemment de là qu'on ne peut pas, dans les recherches dont il s'agit, composer entre elles des forces ap-

RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. lOt

plîquées en deux points différents d'un corps, puisqu'une telle composition ne peut se faire sans déplacer les points d'application des forces.

SUR L'OmOI DB LA STATiaUE FUBE DANS L'ÉTUDE DES FOBGES DITE- BIEUBE8. — Concevons que, dans un corps en équilibre {fig» 6), sous l'action de forces quelconques, on fasse une section ( généra -

Fig. 6.

lement plane) qui divise ce corps en deux parties (A) et (B). On peut (§ 23) enlever l'une des parties, par exemple celle (B), sans troubler l'équilibre de (A), pourvu qu'aux forces appliquées à celle-ci on adjoigne des forces convenables réparties sur toute l'étendue delà surface de séparation ; ces forces se nomment \es forces élastiques (tensions ou pressions) exercées par la partie (B) sur la partie (A).

Suivant quelles lois ces forces, qui se succèdent d'une manière continue, sont-elles réparties sur la surface de séparation ; en d'autres termes, quelle est, en chaque point de cette surface, la valeur de la pression ou tension par unité de surface? On conçoit que la réponse à cette question doive dépendre non seulement des forces extérieures agissantes, mais aussi de la forme et de la nature du corps et que, pour cette raison, la Statique seule soit impuissante à la résoudre. Klle est essentiellement du ressort de la théorie de l'élasticité.

Mais la Statique nous enseigne que, si la partie (A) du corps est en équilibre, elle le sera, à plus forte raison, si l'on vient à la rendre invariable.

Il est donc nécessaire que les forces qui la sollicitent [y compris

102 2* SECTION. — CIIAP. VI.

les forces élastiques qu'elle subit de la part delà partie (B)] satisfassent aux conditions d'équilibre relatives aux systèmes invariables, résultat que Ton peut énoncer ainsi : si Ton compose entre elles les forces extérieures qui agissent sur une portion quelconque (A) d'un corps comme si ces forces agissaient sur un système invariable, on obtiendra (dans l'hypothèse où nous nous plaçons toujours, de forces toutes dans un plan) une résultante ou un couple résultant. Cette résultante ou ce couple sont des forces purement fictives qui ne pourront à aucun degré remplacer celles d'où elles proviennent.

Si, de même, on compose les forces élastiques que la partie (A) du corps éprouve de la part de celle (B), on obtient, dans l'hypothèse où tout est symétrique par rapport au plan contenant toutes les forces extérieures, une force ou un couple (*). Celte force ou ce couple est également fictif et ne saurait tenir lieu des forces élastiques elles-mêmes .

Mais la Statique apprend : i® que si les forces extérieures, composées comme il vient d'être dit, fournissent une résultante, les forces élastiques en fournissent nécessairement aussi une égale et opposée à la précédente; que de même, si les forces extérieures se composent en un couple, il en est nécessairement de même des forces élastiques et que, de plus^ ce second couple est égal et opposé au premier.

Dans ce qui précède, nous avons considéré les forces élastiques exercées par (B) sur (A); celles exercées par (A) sur (B) leur sont égales et opposées.

Donc, on peut encore dire que, si dans un corps en équilibre on fait une section quelconque qui le divise en deux parties ( A ') e^(B), la résultante des forces extérieures ayant leurs points d'application dans l'une de ces parties est égale en grandeur, direction et sens à la résultante des forces élastiq ues que cette partie exerce sur Vautre,

(*) Les forces élastiques ne sont pas toutes dans le plan de symétrie; mais à chaque force élastique située d'un côté de ce plan répond une force symétrique, et ces deux forces, composées comme si elles agissaient sur un solide invariable, donnent une résultante partielle ^luéc dans le plan de symétrie. Il ne reste donc qu'à composer ces résultantes partielles qui sont dans le même plan que les forces extérieures.

RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. lo3

Dans le cas particulier où les forces extérieures avant leurs points d'application dans Cune des parties se réduisent à un couple, les J or ces élastiques que cette partie exerce sur Vautre se réduisent au même couple.

GOmtE DE PBE8SI0H; EFFORT TRAHCHAHT; PRESSION NOEMILE. — Ce théorème est vrai, que la seclion faite dans le corps soit plane on courbe, pourvu qu'elle soit symétrique par rapport au plan contenant les forces extérieures.

Supposons-la plane et soit {fig* 7, p. io4) X'X sa trace sur le plan de symétrie.

La résultante R de toutes les forces extérieures agissant sur la partie (A) du corps située d'un côté de la section se nomme la force élastique totale exercée par cette partie sur celle (B). Pour trouver cette force- fictive, on a opéré sur les forces extérieures comme si elles agissaient sur des systèmes invariables, c'est-à-dire qu'on a déplacé leurs points d'application sur leurs propres directions. De même, le point d'application de la force fictive R ellemême peut être pris en tout point de sa direction, pourvu que ce point soit supposé invariablement lié à la partie (A) du corps regardée comme invariable. Appliquons-la au point C où elle coupe la ligne X'X, ce point étant ainsi regardé comme appartenant à la portion de gauche (A) du corps. Sa composante T suivantX'X se nomme la force élastique tangentie lie on effort tranchant. Sa composante N, suivant la normale à la section, se nomme la. pression ou tension normale exercée par (A) sur (B). Ici ce serait une pression. En effet, R étant la résultante des forces extérieures qui agissent sur la partie (A) du corps, la résultante R' de celles qui agissent sur la partie (B) est nécessairement égale et opposée àR, puisque le corps tout entier est en équilibre, sous l'action des deux forces R et R'. Cette force R' peut être considérée comme appliquée au même point géométrique C que la force R, mais ce point étant cette fois regardé comme appartenant à la partie (B).

Les composantes normale et tangentielle de R' seraient des forces N' et T' respectivement égales et opposées à N et T.

Les deux forces égales et opposées T et T', agissant, la première sur la partie (A), la seconde sur la partie (B) du corps, tendent à

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