M / NI

NI L'homogénéité de la formule exige que r=-r^ soit, comme w, une

longueur. Soit

et désignons par C le point de AB défini par la distance i/o ; on

aura

en désignant par u^ la distance du point où la pression est n au point fixe C, u' étant compté positivement dans le même sens que «. Ainsi les pressions normales de chaque section varient proportionnellement à leurs distances à un point fixe C. Le lieu des points G pour les diverses sections se nomme la fibre neutre de la pièce. Cette ligne ne fait pas nécessairement partie de la pièce ; le point C, qui n'est autre que l'intersection de pq avec AB, peut être en dehors de la pièce.

2** Dans le cas particulier où la compression N de la fibre moyenne est nulle, comme il arrive dans les poutres droites horizontales soumises uniquement à des charges verticales, on a

On dit, dans ce cas, que la pièce est soumise à nne flexion simple, c'est-à-dire à une flexion non accompagnée de compression ou extension de la fibre moyenne.

Les forces élastiques normales varient alors proportionnellement à leur distance à la fibre moyenne; en d'autres termes, la fibre neutre et la fibre moyenne coïncident.

3° Si, au contraire, le moment de flexion M est nul dans toutes les sections, ce qui exige (§ 199) comme condition nécessaire que la fibre moyenne coïncide avec l'une des courbes funiculaires rela-

MOMENTS DE FLEXION. 3l5

tives aux charges données qui agissent sur la pièce, on a

on dit, dans ce cas, que la pièce est soumise à une extension simple ou à une compression simple suivant que N est négatif ou positif.

Les forces élastiques sont alors constantes dans toute l'étendue d'une section.

4" Le cas général est celui où aucune des quantités M et N

n'est nulle et où ces quantités sont de même ordre de grandeur.

N Alors, quoique N^o, le terme — est faible par rapport au terme

Y u. En effet, les dimensions transversales de la pièce sont supposées très petites. Or, si l'une de ces dimensions est prise comme quantité très petite du premier ordre, l'aire S sera du second ordre; le moment d'inertie I est, par définition, de l'ordre de S multiplié par le carré d'une longueur comparable aux dimensions (Je la section, c'esl-à-dire une quantité très petite du quatrième

ordre; donc - est très petit du troisième ordre.

Par suite,

Mu M

N est une quantité beaucoup plus grande que ;^7 puisque les numérateurs M et N sont supposés de même ordre, tandis que le dénominateur - est beaucoup plus petit que celui S.

C'est ce qui fait que dans une première approximation on néglige

N souvent le terme -^9 et alors la formule (i3) s'applique à toutes les

pièces.

5** Cela ne serait plus vrai si les forces extérieures étaient telles qu'elles fournissent une compression normale N incomparablement plus grande que le moment de flexion M. Dans ce cas, qui se présente exceptionnellement dans la pratique, qui peut pourtant s'y présenter, les deux termes de la formule (12) seront de même ordre de grandeur.

3lC 3* SECTION. — CHAP. XVII.

Cela arriverait, par exemple, pour une poutre horizontale soumise non seulement à des charges verticales, mais encore à deux forces égales et opposées appliquées à ses deux extrémités, ces dernières forces étant incomparablement plub grandes que les premières.

En résumé :

a. Si N = o, on a rigoureusement la formule ( i3); si N^ o est de même ordre de grandeur que M, on peut substituer cette même formule ( i3) à celle (12), à titre d'approximation.

b. Si M = o (fibre moyenne funiculaire), on a la formule (i4^-

c. SiM^o etN^o et que N soit très grand, il faut toujours employer la formule complète (12).

Remarque, — Si Ton préfère compter positivement les forces normales n et N quand elles représentent les tensions et qu'on les désigne dans ce cas par ni et N', en sorte que n! = — /i et N' = — N, la formule générale ( la) devient

, Mtt N' I ^ S

Ainsi on peut écrire cette formule

N ^ Ma (i4) n=^±-j-,

le signe 4- convenant au cas où l'on regarde les tensions comme positives, le signe — au cas où l'on regarde les pressions comme positives.

Dans les deux cas, u est compté positivement suivant les conventions du §189.

Les moments sont comptés positifs de gauche à droite.

FOBKE DE LA SEGTIOH D'UIB PIÈGE. — On voit que, pour des forces données, c'est-à-dire des valeurs données de M et N et pour une section donnée S, c'est-à-dire pour une dépense donnée de matière, la tension ou pression normale qu'elle supporte en an

MOMENTS DE FLEXION. 3l7

point est d'autant plus faible et, par suite, la pièce se fatigue d'autant moins que le moment d'inertie I est plus grand. Ainsi, la matière sera d'autant mieux employée, toutes choses égales d'ailleurs, que I est plus grand.

Or, pour obtenir le plus grand moment d'inertie possible, il faut éloigner la matière le plus possible de l'axe Ç^' ou du centre de gravité de la pièce. C'est ce qui fait qu'au lieu d'employer des sections comme celles de \difig. 43, on en emploie comme celles de \di fig. 42, dites en forme de double T.

Les parties mn m! n! et m^ n^ m^ n\ se nomment les nervures ou tables supérieure ou inférieure du double T; la partie verticale et étroite en est Vâme. Les pièces telles que x sont des cornières destinées à relier entre elles l'âme et chacune des nervures.

EFFORT TBANGHAHT. — On admet, en général, en Résistance des matériaux, que les forces élastiques tangentielles peuvent être considérées comme uniformément réparties dans toute l'étendue d'une section.

Cela n'est pas exact et, une fois admise l'hypothèse (d'autant plus exacte que les dimensions transversales sont plus faibles) faite au § 208 sous le nom de loi du trapèze, pour ce qui concerne les forces élastiques normales, la répartition des forces élastiques langentielles s'ensuit, ainsi que nous le montrons plus loin (Note III).

En admettant l'hypothèse de la répartition uniforme, ce qui n'a pas un grand inconvénient parce que l'effort tranchant T a, en général, unefaible influence, comparée àcelledu moment de flexion, alors la force élastique tangentielle rapportée à l'unité de surface

en chaque point d'une section d'aire S est ^ •

PIÈCES D'iftALE BÉSISTAMGE. AVAHTA6ES DES STSTÎMES ARTICULÉS SAHS LIMES SITRAROHEAHTES. — Supposons d'abord une pièce courbe telle que sa fibre moyenne coïncide avec l'une des courbes funiculaires des charges qu'elle supporte ou une barre droite qui ne supporte

3l8 3° SECTION. — CHAP. XVII.

que deux forces égales et opposées aux deux extrémités de sa fibre moyenne. Pour de telles pièces le moment de flexion M. est partout nul. Par suite, l'effort tranchant est aussi nul (§ 190, Th. III). Kn

tous les points d'une pareille section règne comme le montre la for-

mule (12), la même force élastique ■^*

Si Ton dispose de la section de façon que ce rapport soit le même dans toutes les sections, on aura ce qu'on nomme une pièce d^ égale résistance, ainsi que nous l'avons déjà indiqué pour de simples barres (§ 106).

La fatigue que subit la pièce se répartit également entre toutes ses parties; ce sont les conditions les plus favorables possibles, celles qui donnent le meilleur emploi de la matière.

Avec les systèmes articulés sans lignes surabondantes, après avoir déterminé les tensions ^ (ou pressions N) de toutes les barres, on peut toujours disposer leurs sections de façon que toutes supportent la même force élastique (tension ou pression) par unité de surface. On peut donc ainsi, sous les charges les plus complexes, obtenir des systèmes d'égale résistance (§ 108).

Il en est tout autrement lorsque les pièces fléchissent, c'est-àdire lorsque le moment de flexion M n'est pas nul.

Alors, soit qu'on emploie la formule (12) ou celle (i3), on cherchera dans chaque section le point qui supporte la plus grande force élastique normale. Il faudra, pour cela, donner à u ses deux valeurs extrêmes, Tune positive, l'autre négative, et prendre la plus grande des deux valeurs absolues ainsi obtenues pour la force élastique n. Cela aura donc lieu pour celui des deux points A ou B {Jig* 44? P' 3i3) le plus éloigné de la fibre neutre, comme le montre la formule (i3).

Cette valeur maxima de n étant obtenue pour chaque section, on peut disposer des moments d'inertie I des diverses sections de façon qu'elle soit la même pour toutes les sections. On peut ensuite, si on le juge utile, disposer de Taire S, de façon que l'effort

tranchant par unité de surface -^ soit constant ou peu variable

d'une section à l'autre.

On dit encore qu'une pièce ainsi constituée est d'égale résistance. Mais elle est loin, cette fois, de mériter ce nom comme dans

le cas précédent. Car ici il nV a que les points les plus tendus ou les plus pressés de chaque section qui supportent la même fatigue dans tout le corps de la pièce. Les autres points supportent des actions élastiques moindres et, comme on est forcé de s'arranger de façon que les premiers ne supportent que les actions compatibles avec la conservation de la matière ( * ), tous les autres points supportent des actions moindres et la matière y est, par suite, insuffisamment ou incomplètement utilisée.

Ainsi, le seul emploi parfait de la matière a Heu pour les pièces droites ou courbes qui ne fléchissent pas. Et, lorsqu'on ne peut pas disposer une pièce de façon qu'elle remplisse cette condition, c'est-à-dire de façon que sa fibre moyenne soit une courbe funiculaire, il faut recourir à des systèmes formés de telles pièces, réunies entre elles par de simples articulations et ne présentant pas de lignes surabondantes.

(') Voir, pour la marche à suivre à cet égard dans la pratique, la Note I.