THÉORIE ET CONSTRUCTION DES MOMENTS DE FORCES DANS UN PLAN

BEMABaUES SUR LES PROJECTIONS DES FORGES. — Quelles que soient les forces situées dans un plan, qui agissent sur un système invariable, elles peuvent (§ 33) ôtre remplacées par deux résultantes. Ces deux résultantes ont même somme géométrique que les forces données, c'est-à-dire que Torigine et l'extrémité du polygone des deux résultantes coïncident respectivement avec l'origine et l'extrémité du polygone de toutes les forces données.

Donc (§ 7) : la projection sur un axe quelconque des deux résultantes d'un système de forces, dans un plan, est égale à la somme algébrique des projections de ses composantes.

Si les forces admettent une seule résultante (§ 36), elle est égale à leur somme géométrique. Donc (§ 7) : La projection, sur un axe quelconque, de ta résultante d^un système de forces dans un plan est égale à la somme des projections de ces forces sur cet axe.

MOMENT D'UNE FORGE PAR RAPPORT A UN POINT. — Lorsque des forces sont toutes situées dans un même plan, on appelle moment dune force par rapport à un point du plan le produit de la force par sa distance au point. Cette distance, c'est-à-dire la longueur de la perpendiculaire abaissée du point sur la force, se nomme le bras de levier de la force.

On compte les moments positivement ou négativement suivant que la force tend à faire tourner son bras de levier dans un sens convenu, par exemple, dans le sens des aiguilles d'une montre, ou en sens contraire.

MOMENTS DB FORCES DANS UN PLAN. l85

Le point par rapport auquel on prend les moments d'un système de forces se nomme quelquefois le centre des moments.

Soient {fig- 25 ) OE une ligne représentant en grandeur, position et sens, une force / et C un point quelconque du plan, dont la distance à OE est représentée par la perpendiculaire CP. Le moment de la force / par rapport au point G est le produit /xCP = OExCP.

Ce produit est précédé du signe -^ ou du signe — , selon que la force y* tend à faire tourner le bras de levier CP autour du point C supposé fixe, dans un sens convenu ou en sens contraire.

Si le sens convenu pour les moments positifs est celui des aiguilles d'une montre, le moment de la force /est négatif.

Fig. 25.

Remarque /. — Le moment d'une force ne change ni en grandeur, ni en signe si l'on déplace son point d'application sur sa ligne d'action. Il change de signe, si Ton change la force de sens. D^où résulte que la somme algébrique des moments, par rapporta un point, de deux forces égales entre elles, dirigées toutes deux suivant la droite qui joint leurs points d'application et de sens opposés, est nulle \ ou encore, on ne change pas la somme des moments d'un système de forces situées dans un plan, par rapport à n'importe quel point du plan, en adjoignant à ces forces des paires de forces égales et opposées, dirigées suivant les droites qui joignent leurs points d'application ou en supprimant de telles forces.

Remarque IL — Le moment d'une force par rapport à un point quelconque de sa ligne d'action est nul; réciproquement, si le moment d'une force par rapport à un point est nul, ce point appartient nécessairement à la ligne d'action de cette force.

Remarque IIL — Le moment d'une force par rapport à un

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point est égal en valeur absolue au double de Taire du triangle ayant la force pour base et le point pour sommet. Ainsi, le moment de la force/ = OE par rapport au point G est le double de l'aire du triangle OEC.

Remarque IV, — Le moment d'une force /= OE par rapport à un point G est égal, en grandeur et signe, au produit de la distance GO du centre des moments au point d'application de la force par la projection de cette force sur une perpendiculaire à GO.

En effet, menons par le point O une ligne Ox perpendiculaire à OG et projetons la force OE sur Ox. Le moment de la force, en valeur absolue, est égal au double de Taire du triangle OEC; or, si Ton regarde OG comme base de ce triangle, sa hauteur est précisément la projection Oe de la force; la proposition est donc établie en ce qui touche la valeur absolue du moment. Elle est aussi vraie, en ce qui concerne son signe, pourvu qu'on fasse sur le sens positif de Taxe Ox une convention convenable. Si les moments positifs sont comptés de gauche à droite, on devra regarder comme positif le sens Ox tel qu'un observateur placé en O et regardant G ait le demi-axe Ox à sa gauche.

On voit en effet qu'alors la projection de OE sur Taxe Ox est négative; par suite, son produit par la grandeur essentiellement positive OG est aussi négatif, ce qui doit être, puisque le moment de la force /est négatif.

HOMEHT DES FORCES GOHCOTJRANTES. — Théorème. — Le moment de la résultante d^un nombre quelconque de forces appliquées en un même point et situées dans un plan, par rapport à un point quelconque du plan, est égal à la somme algébrique des moments des composantes.

En effet, soient {Jig, 26, p. 187)

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des forces appliquées en un point O et R leur résultante.

Désignons par/',/,',/^, . . ., R' les nombres positifs ou négatifs qui représentent les projections de ces diverses forces sur Taxe