CHAP. VIII

Celte valeur constante se nomme le moment du couple.

En effet, soient (^o^. 27) le couple formé par les forces égales, parallèles et de sens opposés / et /', et C un point du plan. Abaissons de ce point la perpendiculaire sur les deux forces; soient P et P les pieds de celte perpendiculaire sur chacune d'elles.

Les moments des deux forces / et /' par rapport au point C sont en valeur absolue

/xCP et /'xGF = /xGP'.

Mais le premier de ces moments est positif et le second négatif, si nous regardons le sens du mouvement des aiguilles d'une montre

Fig. 27.

lE'

comme celui des moments positifs. Donc, la somme des moments des deux forces est

/(CP — GF)=-/xPP'

ce qui établit la proposition.

Le résultat serait le même si le point C était pris entre les lignes d'action des deux forces.

Remarque, — La somme des moments des deux forces d'un couple n'est nulle par rapport à aucun point du plan, à moins que son bras de levier soit nul. Alors cette somme de moments est nulle relativement à tous les points du plan.

MOMEIITS DE FORGES aïï£LG0Haïï£8. — Théorème. — r Lorsqii*un système de forces situées dans un plan admet une résultante, c*est-à'dire lorsque le polygone de ces forces n'est pas fermé,

MOMENTS DE FORGES DANS UN PLAN. iS^

le moment de la résultante par rapport à tout point du plan est égal à la somme des moments des forces elles-mêmes,

a*» Lorsqu'un système de forces se réduit à un couple, c'està-dire lorsque le polygone de ces forces est fermée la somme de leurs moments relativement à tout point du plan est constante et égale au moment du couple résultant.

£n effet, pour trouver soit la résultante, soit le couple résultant d'un système de forces, on n'a fait (§ 33, 36, 39) que les opérations suivantes : déplacer les points d'application de forces sur leurs lignes d'action; supprimer ou ajouter des paires de forces égales, dirigées suivant les droites qui joignent leurs points d'application et de sens opposés; composer ou décomposer des forces appliquées en un même point. Or il résulte des théorèmes qui viennent d'être établis qu'aucune de ces opérations n'altère la somme des moments des forces considérées.

Donc : I® si elles se réduisent à une résultante, son moment par rapport à tout point du plan est égal à la somme des moments des forces elles-mêmes par rapport à ce point; 2° si elles se réduisent à un couple, la somme de leurs moments par rapport à tout point du plan est égale à la somme des moments des deux forces du couple par rapport à ce point et, comme cette dernière est constante (§ 110) et égale au moment du couple, il en est de même de la première.

EXPBE88I0N DES GOHBITIONS D'ÉAUIUBBE A L'AIDE DES MOMENTS. — Théorème. — Pour que des forces situées ciftns un plan et appliquées à un système invariable soient en équilibre, il faut et il suffit que les sommes de leurs projections sur deux axes non parallèles situés dans ce plan soient nulles, ainsi que la somme de leurs moments relativement à un point du plan.

Remarque. — Si ces conditions sont remplies pour un seul système d'axes et un seul point, elles le sont pour tous les axes et tous les points du plan.

En effet, pour que des forces soient en équilibre, il faut et iJ suffît que les deux forces auxquelles elles sont réductibles (§ 33)

igo a* SECTION. — chap. viii.

soieDt égales et opposées, c'est-à-dire forment un couple dont le bras de levier soit nul. La somme des projections de deux pareilles forces sur un axe quelconque et la somme de leurs moments relativement à un point quelconque du plan sont nulles. Donc(§ 107 et m) il en est de même de la somme des projections des forces données sur un axe quelconque et de la somme de leurs moments relativement à un point quelconque.

La condition indiquée est donc nécessaire.

Elle est d'ailleurs suffisante.

Car, de ce que les sommes des projections des forces sur deux axes sont nulles, il résulte que leur polygone des forces se ferme et que, par suite (§ 39), elles se réduisent à un couple.

Et de ce que la somme de leurs moments relativement à un seul point du plan est nulle, il résulte (§ 111) qu'il en est de même du moment de ce couple, ce qui exige (§110) que son bras de levier soit nul ou que les deux forces qui le composent soient nulles. Dans les deux cas, il constitue un système en équilibre.

Remarque. — Si les conditions d'équilibre indiquées sont remplies relativement à un système d'axes, les forces se réduisant à un couple de moment nul, les sommes de leurs projections et moments sont nulles pour tout axe et pour tout point du plan.

AUTBE rOBHE DES GOHBITIONS D'ÉaUIUBBE. — Théorème. — Pour que des J or ces situées dans un plan et appliquées à un système invariable soient en équilibre, il faut et il suffit que les sommes de leurs moments soient nulles relatii^ement à trois points non en ligne droite situés dans le plan.

En effet, si la somme des moments est nulle relativement à un point A du plan, les forces données ne sont pas réductibles à un couple, puisque le moment d'un couple n'est nul par rapport à aucun point du plan (§ 110, Rem.)^ à moin^ qu'il ne se réduise à deux forces en équilibre.

Ainsi, ou les forces données sont en équilibre, ou elles se réduisent à une force unique. Dans le premier cas, la proposition est démontrée ; dans le second, la force unique est nulle ; en effet, son