CHAPITRE IX

COMPOSITION DES FORCES PARALLÈLES DANS l'eSPACE.

COMPOSITION ET GI»TBS DE DEUX FORGES PABALLÈLES. — Nous avoQS vu (§ 42) que la résultante R de deux forces parallèles et de même sens P et Q est {Jig* 3i) une force de même direction et de

Fig. 3i.

de même sens qu'elles, égale à leur somme, placée entre les deux et divisant la droite a6 qui joint leurs points d'application, en raison inverse de leurs grandeurs ; que, de même, la résultante R (^fig* 32 ) de deux forces P et Q parallèles, de sens contraires et inégales, est une force de même direction et de même sens que la plus grande des deux (on suppose ici Pl> Q), égale à leur différence, placée sur le prolongement de la ligne ha qui joint leurs points d'application et divisant toujours cette ligne en raison inverse des grandeurs des deux forces, de sorte que la résultante est placée du côté de la plus grande des deux.

Cette règle, que nous avons déduite de la considération des polygones funiculaires, est aussi une conséquence immédiate de la théorie des moments.

Soit {Jig* 3 1 ) c le point où la résultante des deux forces données

FORCES PilRALLÉLES DANS L*ESPAGB.

aoi

et supposées de même sens coupe la ligne ab et soient /? et q les distances de ce point aux deux forces données. Le moment de la résultante cherchée R par rapport au point c est nul ; donc (§111) il en est de même de la somme algébrique des moments de ses composantes P et Q.

Ceci exige que ces deux moments soient de signes contraires ou que les forces P et Q tendent à faire tourner leurs bras de levier /> et q en sens opposés. Il est nécessaire, pour cela, que le point c soit placé entre les points a et 6 et alors le théorème fournit la relation

I) n V q ac

i'p-Qq = o ou ^ = y. = -^.

Si (^g> 32) les forces P et Q sont de sens contraires, la néces-

Fig. 3a.

site que la somme des moments des forces P et Q par rapport au point c de Ja résultante soit nulle ou que ces moments soient égaux et de signes contraires exige que le point c ne soit plus entre les points a et 6 et que l'on ait toujours les équations (a).

Remarque. — Si les deux forces parallèles et de sens opposés sont égales, elles fournissent un couple et n^ admettent pas de résultante. Ce cas écarté, qu'il s'agisse de deux forces de même sens ou de sens opposés, la position du point c où la ligne d'action de la résultante coupe la droite qui joint les points d'application a et 6 des deux forces ne dépend ni de la direction commune de ces forces, ni de leurs grandeurs absolues, mais seulement de la position de ces points d'application et du rapport des grandeurs des forces. Le point c ne changerait donc pas si l'on modifiait les intensités

des deux forces dans un même rapport et si l'on faisait lournerleurs lignes d'action d'un même angle quelconque et dans le même sens, autour des points a et 6.

CENTRE DES FORGES PARALLÈLES. SA DÉTERMINATIOH ftRAPHiaUE. —

Thi':orème. — Étant donné un système de forces parallèles situées ou non dans un plan, si, sans changer les rapports de leurs grandeurs, on fait tourner chacune d'elles d'un même angle ol et dans le même sens, autour d'un point fixe arbitrairement choisi sur sa ligne d'action, leur résultante ne fera elle-même que pivoter autour d'un point fixe, indépendant de t angle a et du rapport dans lequel on a modifié les grandeurs des forces.

Ce point fixe se nomme le centre des forces parallèles.

La remarque du paragraphe précédent établit le théorème dans le cas de deux forces.

Supposons-le démontré pour un système de i forces, je dis qu'il sera vrai pour i~\-i. En effet, soient Q la résultante des / premières forces données et R la résultante de Q et de la [i-\- i)»''""^ que nous nommerons P/+, : R sera ainsi la résultante de toutes les forces données.

Faisons tourner chacune de ces forces d'un même angle quelconque autour d'un point fixe et modifions leurs grandeurs dans un même rapport quelconque : par hypothèse, la résultante Q des i premières forces tournera du même angle autour d'un point fixe et sera modifiée dans le même rapport; mais alors la résultante de Q et de P/+i, c'est-à-dire la résultante R de toutes les forces données, tournera elle-même autour d'un point fixe et sera modifiée dans le même rapport en vertu de la remarque du paragraphe précédent. Donc, si le théorème est vrai pour «forces, il est vrai pour e -h i .

Étant établi pour deux forces, il est donc vrai pour trois, par suite pour quatre, et ainsi de suite pour un nombre quelconque.

Remarque /. — Lorsque les points d'application d'un système de forces parallèles distribuées d'une manière quelconque dans

FORCES PARALLÈLES DANS l'eSPACE. 2o3

l'espace sont tous dans un même plan P, le centre des forces parallèles est lui-même dans ce plan.

Pour le démontrer, il suffit de supposer que toutes les forces aient tourné d'un même angle, de façon à venir se placer dans le plan : leur résultante sera alors elle-même dans ce plan ; il en est donc de même du centre des forces parallèles données qui est un point de cette résultante.

De là on déduit :

Remarque IL — Lorsque les points fixes autour desquels pivolent les diverses forces sont sur une ligne droite, le centre des forces parallèles se trouve aussi sur cette ligne.

Car il doit se trouver à la fois dans deux plans quelconques passant par la droite.

COMPOSmOH ET ÉaUILIBBE GBAPHiaïïE DES FOBGES PABALLÈLES DAHS L'ESPAGL — Cette remarque permet de ramener à un problème de Statique graphique plane la recherche du centre des forces parallèles dans l'espace et, par suite, aussi la recherche de la résultante des forces parallèles dans l'espace ; car, si Ton connaît le centre d'un système de forces parallèles, la ligne d'action de leur résultante est connue, puisqu'elle passe par ce centre et est parallèle aux forces données; la grandeur de la résultante égale à la somme des forces données et son sens sont directement fournis par le polygone des forces.

On pourra, par exemple, se donner les lignes d'action, ainsi que le polygone des forces, en projection sur deux plans perpendiculaires. On déterminera les traces des diverses lignes d'action sur l'un des plans de projection ; puis on amènera toutes les forces données dans ce plan en les faisant tourner d'un même angle autour de leurs traces. Le centre des forces ainsi déplacées sera un point de la résultante cherchée ; la direction de cette résultante est celle des forces données; sa grandeur se trouve par les deux projections du polygone des forces.

Si les forces ainsi ramenées dans un plan admettent une résultante unique, il en sera de même des forces données. Ceci exige,

204 a* SECTION. — GHAP. IX. — FORCES PARALLÈLES DANS L*BSPACE.

d'après ce qui précède (§36), que le polygone des forces ramenées dans un plan, lequel est superposable à celui des forces données, ne soit pas fermé.

Si le polygone des forces données est fermé, alors ces forces se feront équilibre ou se réduiront à un couple, suivant que leur polygone funiculaire, après qu'elles auront été amenées dans un plan, sera fermé ou non.

a* SECTION. — CIIAP. X. ^ FORCES PARALLÈLES DANS L*ESPACE. ao5