CHAPITRE XVIII

MOMENTS FLÉCHISSANTS PRODUITS PAR LE PASSAGE d'uN CONVOI SUR UNE POUTRE A DEUX APPUIS SIMPLES.

OBJET DE CE CHAPITRE. — Une poulre à deux appuis simples porte une charge permanente, généralement uniforme, mais que nous supposerons d'abord quelconque.

On suppose qu'elle livre passage à un convoi dont les charges seron t regardées comme des forces isolées concentrées aux points d'appui des roues; on admettra, en premier lieu, que les roues portent directement sur la poutre que l'on étudie (poutre longitudinale) sans tenir compte de sa liaison avec les pièces de ponL ou poutrelles transversales, sauf à examiner ensuite en quoi les résultats peuvent être modifiés par la présence de ces dernières.

Si l'on connaît, à chaque instant, les moments de flexion et les efforts tranchants (il n'y a pas de compression de la fibre moyenne), on peut, comme nous le savons, en déduire les forces élastiques en chaque point de la pièce, rigoureusement dans les poutres réticulaires, approximativement dans les poutres soit pleines, soit évidées.

A l'égard des moments de flexion dont nous nous occuperons tout d'abord, on peut utilement poser quatre problèmes :

Problème I. — Etant donnée une section transversale de la poutre, trouver la position du convoi qui y détermine le moment dejlexion maximum et la grandeur de ce moment.

Problème II (inverse du précédent). — Étant donnée une position du convoi, trouver la section qui éprouve, pour cette position, le moment de flexion maximum et déterminer ce m,oment.

Problème III. — Pendant la marche du train, il se produit, à chaque instant, un moment de flexion intéressant à suivre, sous chacun des essieux; trouver la position du train dans laquelle, sous un essieu donné, se produit le moment maximum et déterminer ce moment.

Problème IV. — Trouver le moment maximum maximorum^ c'est-à-dire le plus grand de tous les moments qui se produisent dans la poutre entière pendant le passage du train.

On peut se proposer des problèmes analogues relativement aux efforts iranchants dans les diverses sections et relativement aux forces élastiques développées par le passage d'un convoi, dans chacune des barres composant une poutre réticulaire, sic'est à une telle poutre qu'on a affaire.

Le problème I est le plus important; car, si Ton connaît les moments fléchissants et efforts tranchants maxima dans chaque section, on peut en déduire les dimensions à donner à la poutre, qu'elle soit pleine ou non.

Le problème IV peut naturellement se déduire du problème I. Si Ton connaît le plus grand moment de flexion qui se produit dans chaque section, le plus grand de tous ces moments sera le maximum maximorum.

Pour les poutres de petite portée auxquelles on donne une section uniforme, c'est ce dernier moment qu'il sufBt de connaître; il est donc intéressant de pouvoir l'obtenir directement sans avoir à résoudre le problème I pour chaque section de la poutre.

Nous verrons que le problème III facilite beaucoup ce résultat.

0B8EETATIOV BELATIVB A L'UTLIIEirCE DE LA GIABCrE FEBMAHEHTE. — Le problème I se distingue des autres non seulement par son importance, mais aussi parce qu'il peut être résolu indépendamment de la charge permanente.

Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse de trouver le plus grand moment fléchissant qui se produira dans une section donnée pendant le passage du train.

Le moment fléchissant, en un point d'une poutre, est la somme : I. ai

32a 3* SECTION. — CHAP. XVIIi.

1° du moment fléchissant dû à la charge permanente, 2° de celui dû à la charge roulante. Le premier reste constant au point considéré pendant toute la durée du passage du convoi; le second varie seul, de sorte qu'il suffit d'en chercher le maximum, abstï^ctioD faite de la charge permanente, et d'y ajouter ensuite le terme constant dû à cette dernière pour avoir le moment maximum dû à la charge fixe et à la charge mobile réunies.

La même observation s'applique à la recherche de l'effort tranchant maximum dans une section donnée et de la tension maxîma dans une barre donnée d'un système réticulaire.

Les choses se passent tout autrement dans les trois autres problèmes. S'il s'agit, par exemple, de déterminer la section dans laquelle se produit le moment fléchissant maximum pour une position déterminée du train, cette section dépend non seulement de la surcharge donnée, mais aussi de la charge permanente.

$i y. est le moment fléchissant total dans une section d'abscisse X : 1** la partie de }jl due à la charge permanente est une fonction de la seule variable x] appelons-la f{x)\ 2"" celle due au conYoi en marche dépend non seulement de la section considérée ou de la variable x^ mais aussi de la position du convoi, laquelle est définie à chaque instant par l'abscisse z d'un des points qui le composent, par exemple de l'essieu de queue; c'est donc une fonction de ^ et^; désignons-la par <p(^, z)^ en sorte que

Le problème I consiste à trouver la valeur de la variable z qui rend [x maximum, x restant constant.

Le premier terme est donc constant et n'intervient pas dans la valeur cherchée de z.

Le problème II, au contraire, consiste à trouver la valeur de x qui rend }jl maximum, z demeurant constant.

Les deux termes de [x interviennent dans cette recherche.

Dans le problème III on ne considère plus une section fixe, c'està-dire une valeur donnée de x, mais une section qui se déplace avec le train, en restant constamment sous un essieu.

Soit a la distance invariable de l'essieu dont il s'agit à l'essieu de queue. Alors l'abscisse x de la section considérée est

d'où

;i = x — a et jx — /(a7)-h^(:r, a? — a)

où a est une constante, et c'est le maximum de la fonction de x qui forme le second membre qu'on a à chercher. On voit que la charge permanente /(^) intervient.

Enfin dans le problème IV on a à chercher le maximum de [jl lorsque les deux variables x ei z varient indépendamment l'une de l'autre.

Si les deux fonctions du second membre étaient continues, il faudrait égaler à zéro séparément les dérivées de (jl par rapport à X et par rapport à z, et les deux équations

donneraient les valeurs de x et de ^, c'est-à-dire la section du pont et la position du convoi qui fournissent le maximum maximorum de fx et en portant les valeurs trouvées dans l'expression de [X, on aurait ce maximum maximorum.

Mais, dans tous ces problèmes, les règles habituelles pour la détermination du maximum des fonctions analjrtiques doivent s'appliquer avec certaines précautions, puisqu'en raison des charges isolées les fonctions à discuter changent de forme chaque fois qu'un essieu franchit la section que Ton considère et chaque fois qu'un essieu quitte le pont ou qu'un nouvel essieu s'engage, et c'est là ce qui rend ces problèmes un peu délicats, quoiqu'ils ne donnent lieu qu'à des considérations très élémentaires, du moins quand il s'agit d'une poutre à deux appuis simples.

Problème I.

MOMEn FLÉGHISSAn HASHUMPOUYAHT SE PBODUIBE DANS UNE SECTION DONNÉE. — Théorème I. — Le moment Jléchissant maximum que le passage d^un convoi sur une poutre à deux appuis simples fait naître dans une section donnée de la poutre se produit nécessairement au moment du passage d'une roue sur cette section.

3a4 3* SBOTiON. — chap. xviii.

Soient i^fig* 45) A. et A' les deux appuis d'une poutre que traverse un train dont les essieux sont numérotés de gauche à droite, et nous désignerons par les lettres P|, P2, Pj, • • . , P/, Pi+i, . . ., P„ les poids des essieux portant respectivement les n®* i, 2,

Pour plus de généralité, nous admettons que d'autres essieux que nous n'avons pas numérotés peuvent, se trouver de part el d'autre de la portée du pont.

Considérons une section X dont l'abscisse XA comptée depuis la culée de gauche est x et admettons que la position actuelle du

Fig. 45.

SI û

train soit telle que cette section tombe entre les deux essieux consécutifs i et f -h I. Il s'agit d'examiner si elle peut répondre au maximum du moment fléchissant [jl dans cette section. L'expression de ce moment est (§ 193)

I ( x[P/.m(/-<Xx>i)^...-+-P„(/ — a«)]

c'est-à-dire

Soient «1 = o, a2, «3, ..., an les distances des essieux n*** u 2, 3, . . ., 71 à celui n® I, de sorte que les longueurs a/ ne changent pas pendant le déplacement du train, et soit ai = ^ l'abscisse variable de l'essieu i .

On aura

et, par suite,

^ £ ( r[P/+i(/ — a^+, — i5)-h ...4-P„(/— a„— ^)] ) ^~ ^ ( -*-(^--a:)[Pi;f-i-Pi(ai-h-«)-T- ... -h P/ (a, -4-^)] j

OU, en réunissant les termes en :;,

.irx2p(/-a)^(/-x)2p«l--rin-fipj'^

(l) IL^

les sommes 51' S' S ^® rapportant respectivement à tous les

essieux engagés à la gauche de la section X, à sa droite et sur le pont tout entier.

Supposons maintenant que le convoi se déplace un peu, c'està-dire que z varie, mais assez peu pour qu'aucun essieu ne traverse la section X et qu'en outre aucun ne franchisse une culée soit pour s'engager sur le pont soit pour le quitter.

Alors toutes les sommes 2 qui entrent dans l'expression ci-dessus restent invariables; les distances* ai des essieux à l'un d'entre

(*) Observons^ en passant, que si Ton regarde x comme une abscisse et \i comme une ordonnée, cette équation, pour une valeur donnée de 2, c'est-à-dire pour une position donnée du train, représente une ligne droite dont la portion comprise entre les verticales i et i -\- i est un des côtés du polygone représentatif des moments fléchissants. Si z varie, c'est-à-dire si le train se déplace, ce côté change aussi; mais on voit qu'il passera toujours, quel que soit Zj par le point d'intersection des deux droites, dont la première verticale,

in r " 'H

11 L l-Hl 1-1

Si z varie dans des limites telles qu'aucune partie du convoi ne quitte le pont,

alors >^ P né change pas et pour chaque valeur de i, c'est-à-dire pour chaque

c^té du polygone des moments, ces deux équations fourniront un point fîxe. D'où ce théorème :

Pendant qu* un convoi traverse une poutre à deux appuis simples ( tant que le convoi tout entier est engagé), le polygone représentatif des moments fléchissants, que son passage fait naître, se déforme de façon que chacun de ses côtés pivote autour d*un point fixe.

Il est facile de reconnaître que le pivotement de tous les côtés se fait de droite à gauche si le convoi parcourt la poutre de gauche à droite et vice versa ( cette proposition peut aussi se déduire du théorème VII, § 194); elle a été donnée récemment dans une Note At% Annales des Ponts et Chaussées, par M. l'ingénieur Le Ghàtelier.

326 3' SECTION. — CHAP. XVIll.

eux sont aussi invariables; enfin x est une constante pour la section X qu'on considère, de sorte que z est la seule quantité qui varie par suite d'un déplacement du train opéré dans les limites indiquées. Si donc le coefficient de z est positif, }ji croîtra avec z\ s'il est négatif, [jl croîtra si z décroît.

Dans le premier cas, il suffit de faire avancer infiniment peu le convoi de gauche à droite pour accroître le moment fléchissant dans la section X; dans le second il suffit de le faire rétrograder pour obtenir le même résultat. Donc, dans aucun des deux cas, la valeur de [jl répondant à la position actuelle n'est la plus grande possible. Pour qu'elle puisse être telle, il faut donc que la position du train soit choisie de façon que le coefficient de z soit nul, c'està-dire que l'on ait

Le second membre est connu pour la section considérée X et il s'agirait de trouver une position du train répartissant les essieux de part et d'autre. de X, de façon à satisfaire à cette équation. En général, c'est impossible, puisque le premier membre ne varie pas avec continuité quand le train se déplace; il ne peut donc pas, en

général, devenir égal à une grandeur donnée -, • Or, toutes les fois

que cette égalité est impossible, la position choisie pour le train, c'est-à-dire une position telle qu'aucun essieu ne se trouve soit sur la section donnée, soit sur l'un des appuis A ou A', ne saurait fournir le maximum de [x. S'il se trouve qu'exceptionnellement l'égalité puisse être satisfaite par une telle position du train, alors le coefficient de ^, dans l'équation (i), étant nul, jx restera constant tant que les sommes S qui entrent dans son expression ne changent pas, c'est-à-dire tant qu'aucune charge ne franchit soit la section X, soit l'un des appuis A et A'. Si donc [jl était maximum dans la position choisie, ce maximum se conserverait jusqu'à ce qu'une charge arrivât soit en X, soit en A ou en A'.

De là, nous pouvons déjà conclure que le maximum du moment fléchissant dans une section X doit se produire, sans exception,

soit au passage d'un essieu dans cette section, soit au passage d'un essieu sur un des deux appuis.

Mais je dis qu^il ne se produit pas au passage sur les appuis, à moins qu'à l'instant de ce passage, il se trouve un essieu dans la section que l'on considère, ce qui achèvera d'établir la proposition.

En effet, pour que le moment [jl qui se produit en X soit maximum lors du passage d'un essieu quelconque, par exemple, celui D'*y, en A', il faut : i^ que ce moment croisse lorsque, dans le mouvement de gauche à droite, l'essieu j s'approche de A'; 2° qu'il décroisse à partir de l'instant où cet essieu quitte la poutre.

Envisagons le convoi à partir de l'instant où l'essieu en question est arrivé assez près de la culée pour se trouver à la droite de la section X et pour que les essieux n"" y -h i , y 4- 2, . . . , n qui le précèdent aient déjà quitté le pont.

Le moment de flexion [jl dû aux j essieux alors engagés se compose de celui ^ dû aux j — i premiers essieux et de celui dû à l'essieu n°y. Ce dernier étant à la droite de la section X fournit (§ 196) dans l'expresssion de [jl un terme

ay étant son abscisse à un instant quelconque. Donc

Après que l'essieu n° j a quitté le pont, on a

Lorsque le convoi avance, l'abscisse ay croît. Donc le second terme du second membre de (6) décroît et, pour que ce second membre puisse croître, il faut que ^ croisse.

Les deux conditions i** et 2** peuvent donc s'exprimer ainsi : pour que le moment [jl que le convoi comprenant son essieu de tête n**/ détermine dans une section puisse être maximum au moment précis où cet essieu franchit une culée A', il faut que le moment [jl' que le convoi privé de ce même essieu détermine dans la section : i** croisse quand celui-ci s'approche de A' ; 2** décroisse quand il a dépassé ce point. Gela équivaut à dire que, pour que le moment i^ produit par un convoi dans une section soit maximum à l'instant

précis où son essieu de tête franchit la culée, il faut que le monienl [x'que le convoi privé de cet essieu détermine dans cette section soit lui-même maximum à cet instant.

Mais cette dernière quantité ne peut Fétre, suivant la partie du théorème déjà établie, que si un des essieux qui la composent se trouve dans la section.

Un raisonnement analogue montre que, si le maximum de [x se produit au moment où un essieu nouveau^ s'engage sur le pont, il faut que le moment de flexion produit parles essieux précédemment engagés soit aussi maximum à cet instant, ce qui exige qu'un de ces essieux soit dans la section X.

Ainsi, le maximum du moment fléchissant dans une section se produit nécessairement quand un essieu passe dans cette section [il peut parfois subsister constant après le passage; cela arrive quand Tégalité {a) peut être satisfaite; mais il n'existe pas de moment fléchissant maximum dans une section qui ne se produise à l'instant où un essieu la traverse].

Remarque, — Puisque le moment 'fléchissant maximum ne se produit pas quand un essieu franchit une culée, il s'ensuit que si ce moment, dans une section donnée, croît jusqu'à l'instant où la tête du convoi arrive sur une culée (et si, à cet instant, aucune roue ne se trouve sur la section), il continuera encore de croître après que la tête aura quitté le pont. Son maximum se produira donc, dans ce cas, lorsqu'une partie seulement du convoi est engagée.

Ce qui est vrai de la tête est vrai de la queue.

Théorème II. — Pour trouver la position d^un com^oi qui produit le plus grand moment fléchissant possible dans une section X {fig' 46) d^ une poutre à deux appuis simples A et A', par Vun des appuis A', menez une verticale k^y sur laquelle vous porterez bout à bout des longueurs

représentant, à une échelle convenue^ les charges des essieux engagés sur le pont {polygone des forces).

Joignez V extrémité E de la ligne obtenue, au point A; par le point X menez la perpendiculaire Xe jusqu^à sa rencontre en e avec la ligne AE; enfin, par le point e menez une parallèle

à KM. Soit i celle des forces du polygone des forces A'E que cette parallèle rencontre; cela indiquera que c^est quand le train sera placé de façon que V essieu n^ i se trouve en X, que le moment fléchissant maximum se produira dans la section passant par ce point.

Dans le cas exceptionnel où Thorizontale e passerait au point de division de deux forces consécutives i et f-t-i, on pourrait placer en X soit Tessieu n° i, soit l'essieu n° i-\-i\ le moment fléchissant aurait la même valeur el cette valeur serait la plus grande possible (* ).

En effet, puisqu'on est certain de trouver le moment maximum

Fig. 46.

en ne considérant que des positions du convoi où l'une des roues passe sur la section considérée, soit i le numéro de cette roue. Pour que le moment (jl fourni par l'équation (i) soit réellement maximum, il faut qu'avant le passage de la roue i en X il croisse avec z et qu'après ce passage il décroisse quand z croît. Ceci exige que le coefficient de z soit positif dans le premier

(') Cette proposition a été, à notre connaissance, donnée pour la première fois par M. le professeur Veyrauch : Die Maximal Momente ein fâcher Tràger, etc. [ZeiUchrift des Arch, und Ing. Vereins zu Hannover, 1875). Voir aussi un Mémoire de M. l'inspecteur général des Ponts et Chaussées Kleitz {Annales des Ponu et Chaussées, 1876).

cas et négatif dans le second, c'est-à-dire qu'on ait les deux inégalités

Or, sur la figure ci-dessus, on a

d^ailleurs, si aet ^ sont les deux points de division limitrophes du

point où l'horizontale du point e rencontre le polygone des

forces,

Aa :Xe -CA?.

Donc

Si l'horizontale e tombait en p, au point de séparation de deux forces I et / -i- I , on aurait

La seconde des deux inégalités ci-dessus serait remplacée par une égalité. C'est le cas mentionné dans la démonstration du théorème I où le coefficient de ;;, dans l'expression de [jl, serait nul tant que l'essieu i serait à gauche de X.

Le moment [jl, au lieu de croître, resterait donc constant jusqu'à l'arrivée de cet essieu en X et décroîtrait ensuite (en vertu de la première inégalité). Il satisferait donc toujours à la condition du maximum. Et, puisque ce maximum se maintient constant depuis le moment où l'essieu i + i arrive en X jusqu'à celui où c'est i qui y passe, on voit que, pour le calculer, on peut donner au convoi

MOMENTS FLéClIISSANTS. 33l

une position telle que ce soit l'un ou l'autre des deux essieux, dont les charges aboutissent en p, qui tombe en X, et que même on peut supposer au train toute position où la section X tombe entre les deux essieuii i et i-\-i. On sera certain d'arriver toujours à la même valeur du moment fléchissant.

La figure montre bien, d'après cela, quelles sont les sections qui ont ce caractère exceptionnel que le moment fléchissant maximum s'y maintient constant pendant un intervalle de temps fini. Il suffit, par les points de division 1.2, 2.3, ... du polygone des forces, de mener des horizontales jusqu'à la ligne AE, et ce sont les sections correspondantes /?, q, ..., qui jouissent de la propriété dont il s'agit.

§ 215 bis.

Le théorème II suppose essentiellement que, pendant la marche

du convoi, le poids total \^ P n'a pas changé; il suppose, en d'autres

termes, que le moment maximum se produit dans toutes les sections pendant que le' convoi tout entier est engagé. Si donc l'application de ce théorème à certaines sections fournit des positions du convoi dans lesquelles il n'est que partiellement engagé, l'hypothèse admise ne se réalise pas et le résultat obtenu est illusoire. Ce théorème a donc besoin d*étre complété. Nous le compléterons ainsi :

Théorème III. — Si Vapplication du théorème 11 à une seclion IL procure une position du convoi pour laquelle une partie seulement du convoi se trouve engagée, on appliquera ce théorème à cette partie. On obtiendra ainsi une nouvelle position du convoi. Cette nouvelle position sera telle qu'aucun es* sieu précédemment hors du pont n^y sera rentré, de sorte qu'il ne peut se présenter que deux cas : ou tous les essieux engagés dans la première position obtenue se trouvent aussi engagés dans la seconde^ ou partie seulement de ces essieux.

Dans le premier cas, la nouvelle position obtenue est celle qui donne le moment maximum dans la section X.

Dans le second cas, on appliquera le théorème lia la portion du convoi engagée dans la seconde position obtenue, ce qui donnera une troisième position comprenant tout ou partie des essieux engagés dans la deuxième {sans aucun essieu nouveau). Si elle les comprend tous, ce sera la position cherchée; si elle n^en comprend qu\ine partie, on appliquera le théorème à cette partie.

En continuant ainsi, et excluant à chaque fois des essieux, on finira par arrivera deux positions consécutives comprenant les mêmes essieux. La dernière de ces deux positions sera celle qui donne le moment maximum.

Pour démontrer ce théorème, reprenons l'expression générale du moment de flexion

où P est le poids d'un essieu, a son abscisse à un instant quelconque et n le nombre total et supposé invariable, dans le théorème ir, des essieux.

Si l'on pose a/= a/ -i- z^ le second membre est une fonction de z et le théorème II donne toujours le maximum de cette fonction. Si la valeur de z est telle que ce maximum se produit quand tout le convoi est engagé, c'est le maximum cherché. S'il en est autrement; le théorème II n'en donne pas moins le maximum de la fonction [JL représentée par le second membre de l'équation. Seulement, cette fonction n'est plus celle dont on cherche le maximum. Sa signification est d'ailleurs facile à trouver.

Si la poutre était prolongée indéfiniment de part et d'autre de ses deux appuis, le second membre de l'équation ci-dessus donnerait le moment de flexion produit dans la section d'abscisse x pour toutes les positions possibles du convoi (§ 193, remarque). Les abscisses a des essieux placés à gauche de l'appui A devraient être comptées négativement; pour ceux arrivés à la droite de l'appui A', les abscisses a seraient supérieures à /.

Considérons pour un instant la poutre ainsi prolongée et supposons d'abord qu'un certain nombre d'essieux de tête, par exem-

MOMENTS PLéCHISSANTS. 333

P'e, ceux n^'y, y -f- I , / H- 2, . . . , /i — i , n aient quitté la partie ^^ia poutre comprise entre ses appuis. Ils sont donc à la droite de '* section X, c'est-à-dire que

^i nous séparons dans le second membre ce qui est relatif à ces ^''^îers essieux, nous aurons

^] ^^ deux premiers termes représentent le moment de flexion dû 0JJ l^^rtie engagée, c'est-à-dire le moment de flexion vrai [ji„ dont

>^^^rche le maximum.

i^X^ observant que, dans le dernier terme, tous les a sont supé-

^\evirs à / et qu'ainsi ces termes sont négatifs, on aura

ou

Cela étant, supposons que le théorème II appliqué au convoi entier ait fourni la position considérée dans laquelle les essieux n***y, y -h i, . . . ont quitté le convoi. Cela veut dire que la fonction [JL atteint son maximum pour cette position ; par suite, cette fonction [jl a été constamment en croissant, depuis l'instant où le premier essieu est arrivé sur le pont jusqu'à l'instant actuel; car cette fonction est essentiellement positive et part de zéro. Elle commence donc à croître quand le convoi commence à s'engager et, si elle n'avait pas continué à croître jusqu'à l'instant actuel, elle aurait passé par un maximum avant cet instant, ce qui n'est pas, puisque la règle suivie eût donné ce maximum. D'autre part,

tous les termes de la somme T] P(a — /) croissent avec a, c'est-

à-dire à mesure que le train avance. Donc la fonction jx^ elle-

même a été constamment en croissant. Donc, son maximum ne s'est pas produit avant que le train soit arrivé à la position que nous considérons ; il ne se produira que plus lard, par conséquent, soit pendant que la partie du train actuellement engagée se trouvera encore engagée, soit quand de nouveaux essieux auront quitté le pont. Dans le premier cas, on trouvera la position cherchée en appliquant le théorème II à la partie actuellement engagée du convoi ; dans le second cas, cette application exclura de nouveaux essieux auxquels on pourra appliquer le même raisonnement, et ainsi de suite.

Supposons, au contraire, que la première application du théorème fournisse une position du convoi pour laquelle lesy essieux de queue ne soient pas encore engagés. Alors, en appelant toujours [JL„ le moment de flexion produit par les essieux engagés, on aura

ou, comme les abscisses a qui entrent dans le dernier terme sont négatives, en appelant a' leurs valeurs absolues.

Comme la fonction [jl a actuellement sa valeur maxima, en faisant avancer le train (de gauche à droite), elle diminue; mais toutes les abscisses a' diminuent en même temps; par suite, il en est de même de [jl^.

Donc, le maximum de cette fonction s'est produit avant que le convoi ait atteint sa position actuelle, c'est-à-dire, comme tout à l'heure, pendant que les essieux actuellement engagés ou une portion seulement de ces essieux sont engagés. Dans le premier cas, l'application du théorème II à la partie actuellement engagée fournira encore la position cherchée ; dans le second, elle exclura de nouveaux essieux de queue et ainsi de suite.

Mais les applications successives du théorème II ne peuvent pas conduire indéfiniment à exclure des essieux; autrement on finirait

par les exclure tous et l'on arriverait à ce résultat absurde que le moment maximum est zéro. Donc on Gnira nécessairement par arriver à deux positions consécutives renfermant le même nombre d'essieux. Et alors le théorème II appliqué à un convoi formé uniquement par ces essieux montre que la dernière de ces positions fournit le moment maximum.

Remarque. — Ce qui précède suppose toutefois que le convoi ne déborde la poutre que par la tête ou par la queue. S'il débordait à la fois par les deux bouts, les mêmes règles ne s'appliqueraient plus. Comme, en tous cas, le maximum dans la section considérée se produit lors du passage d'un essieu dans cette section, on aurait, au plus, autant de positions à essayer qu'il y a d'essieux.

Il est rare qu'on ait des tâtonnements de ce genre à faire. Si le cas se présentait, la construction de Weyrauch (Th. II) s'y prêterait facilement.

Mais ce ne sera déjà que très exceptionnellement qu'on aura à recourir au théorème III et il sera plus rare encore qu'on ait des convois débordant à la fois par les deux extrémités pour lesquels on ait à faire des essais non systématiques.

FBEHIÈBE SOLimOH FBATIflLUE DU PROBLÈME I. — Si Ton veut utiliser les théorèmes qui précèdent dans la pratique, on aura à faire successivement les opérations suivantes :

a. Choix du type de convoi que l'on vent adopter dans les calculs. — Il y a à distinguer deux cas, suivant qu'il s'agit d'un pont-route ou d'un pont de chemin de fer.

i"* Ponts-route. — La circulaire ministérielle du 9 juillet 1877 prescrit que les ponts métalliques dépendant des voies de terre devront être en état de livrer passage à toute voiture dont la circulation est autorisée par le règlement du 10 août i8j2 sur la police du roulage, c'est-à-dire aux voitures attelées au maximum de cinq chevaux si elles sont à deux roues et de huit chevaux si elles sont à quatre roues.

Le poids des plus lourdes voitures, véhicule et, chargement, doit

336 3' SBCTION. — CHAP. XVIII.

être supposé de 1 1 tonnes pour les charrettes à deux roues et de i6 tonnes pour les voitures à quatre roues.

Il est admis toutefois que dans les localités où ces poids seraient exagérés, ils pourraient être réduits, eu égard aux circonstances locales, sans que, dans aucun cas, le poids du véhicule et de son chargement puisse être inférieur à 6 tonnes pour les voitures à deux roues et à 8 tonnes pour les voitures à quatre roues sur les routes soumises à la police du roulage.

En ce qui concerne le calcul des fermes longitudinales, on doit admettre la plus défavorable des deux combinaisons suivantes, à savoir : une surchage uniforme de Soo'^^ au mètre superficiel sur chaussée et trottoirs ou une pareille surchage sur trottoirs seulement, la chaussée recevant une surcharge d'autant de voitures ayant les poids ci-dessus déterminés, que le tablier du pont en pourra contenir avec leurs attelages, sur le nombre de files que comporte la largeur de la voie. On doit d'ailleurs faire le choix entre les voitures à deux roues ou à quatre roues, de manière à obtenir le plus grand travail du métal.

Chaque file de voitures est censée occuper une zone de 2",5o.

Il est évident que la combinaison de voitures à deux ou quatre roues qui donne la plus grande fatigue du métal sera à adopter sur toutes les files. Il suffit donc de considérer une seule file ou une seule zone de 2",5o de largeur.

M. l'Inspecteur général Kleitz, dans son beau Mémoire inséré dMiL Annales des Ponts et Chaussées, 2* semestre 1877, donne les deux types suivants de convois :

Dans les attelages à quatre roues, les chevaux sont censés attelés deux à deux, en sorte que, sur \^fig, 46 ter^ chacun des poids ai, a2, • . .} &o ^2) • • • représente celui de deux chevaux tandis que dans \difig* 46 bis ces lettres désignent le poids d'un cheval seulement.

M. Kleitz fait observer que le poids d'un cheval est très variable. Il est compris entre un minimum de 260^^ et un maximum de 5oo^s. En adoptant ce dernier chiffre, on est notablement au-dessus de la moyenne.

Quant à la répartition du poids entre les deux essieux des voitures à quatre roues, M. Kleitz admet que celui de devant A| ou

B, supporte les 0,376 et celui de derrière, Aa ou 83, supporte les 0,625 de la charge.

Fig. 46 bis.

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