I. — Notice historique sur la Statique graphique

La Statique graphique a pour objet de remplacer, dans les applications, dans celles surtout qui sc rattachent à l’art de l’ingénieur, les calculs laborieux de la Statique ordinaire, par des constructions géométriques simples et n’exigeant, pour la plupart, d’autre connaissance mécanique que celle du parallélogramme des forces.

En Statique ordinaire une force est représentée par une longueur qui fait connaître tout à la fois la grandeur, la position et le sens de la force.

I.a Statique graphique tire son caractère le plus essentiel . de l’emploi, pour la représentation des forces, de deux lignes distinctes : l’une indéfinie, donnant la position ou ligne d'action de chaque force; l’autre limitée, en donnant la grandeur et le sens.

Dans les cas les plus simples, la figure formée par ces dernières lignes peut, à la rigueur, être réduite au polygone des

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forces tel qu’on l'emploie aussi en Statique; mais lorsqu’on étudie tout à la fois un système de forces et les tensions qu’elles développent dans un système de barres, alors les ligures formées, d’une part par les barres et les lignes d’action des forces qui les sollicitent, d’autre part par les grandeurs de ces forces et les grandeurs des tensions qu’elles développent dans les barres, sont deux diagrammes plus ou moins complexes. Ces diagrammes jouissent, l’un à l’égard de l'autre, de propriétés réciproques très-simples, mais utiles et intéressantes.

C’est dans l’étude et l'utilisation de ces propriétés qu'il convient de placer toute la science de la Statique graphique.

On l’a parfois regardée à l’étranger comme une science entièrement nouvelle, avant ses méthodes propres et se suffisant à elle-même, pouvant être utilement présentée, même en dehors de toute application. Nous croyons cette opinion exagérée et, dans une certaine mesure, dangereuse. La Statique graphique, malgré la parfaite rigueur de ses procédés, ne constitue, pour nous, qu une application très-heureuse et extrêmement utile des méthodes combinées de la Géométrie moderne et de la Statique, mais elle n’ajoute de principe véritablement nouveau ni à l’une ni à l’autre de ces sciences, et nous montrons, dans une Note placée à la fin de cet Ouvrage, qu’elle peut être regardée comme un corollaire en quelque sorte immédiat de la transformation parabolique de M. Chasles, qui est elle-même, comme on sait, un cas particulier de la transformation par polaires réciproques. Donc, si l’on se plaçait à un point de vue purement spéculatif, elle pourrait être réduite à une simple observation à ajouter à la théorie de la transformation par polaires réciproques.

Ce qui lui a valu, à juste titre, d’étre érigée en corps de doctrine, ce sont ses applications; aussi, tout en faisant res-

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sortir l’intérêt très-rcel qu’elle présente au point de vue géométrique, avons-nous clicrelié à lui laisser son caractère de science d’application, ne prétendant nullement à empiéter sur le domaine de la Statique, dont elle emprunte les principes .

C’est, au surplus, parait-il, un praticien qui en a eu la première pensée : M. Taylor, un simple mécanicien de la maison du constructeur anglais 3. -H. Cochrane; mais ce sont les travaux de Rankine i85^) (*) et surtout ceux de C'.lerk Maxwell (18G4), sur la théorie des figures réciproques, qui ont donné aux procédés de Taylor le caractère d’une méthode précise et sûre.

Celui qui, avec Rankine, Taylor et Maxwell, a le plus contribué au développement delà Statique graphique, c’est C.11Imann, par son enseignement de l’Ecole Polytechnique de Zurich et par un Ouvrage considérable, Die Graphische Stnlik, publié en 1 8GG.

Culmann ne se sert pas précisément de la théorie des ligures réciproques de Maxwell : ses figures ne sont même pas toutes réciproques, et, sous ce rapport, on peut craindre que ses procédés ne soient peut-être pas toujours appliqués d’une façon aussi heureuse par ses disciples qu’ils le sont par lui-même. Dès qu’on ne prend pas la théorie des figures réciproques pour guide, il reste, dans beaucoup de cas, des doutes sur la manière de disposer les lignes des figures, de

(*) Au moment même où nous écrivons ces lignes, nous recevons <le la famille de M. Macquorn Rankine une lettre de faire part de la mort de l'éminent professeur de l'Université de Glasgow. Qu’il nous soit permis de lui offrir ici notre tribut de regrets. Sa perte sera ressentie non-seulement par les hommes de science, mais aussi par les ingénieurs et les constructeurs; car ses recherches ont presque toutes un caractère utilitaire. Son Manuel of applied Mechanict notamment est le digne prolongement des Leçons sut la Mécanique industrielle de Poncelet. (Mai 1 S-3.)

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façon que chaque ligne, une fois tracée, serve clans les constructions subséquentes sans qu’il soit besoin de la déplacer parallèlement à elle-même. Cette perplexité, la considération des figures réciproques la fait entièrement disparaître.

En revanche, Culmann traite certaines questions auxquelles les figures réciproques ne s’appliqueraient pas; sa méthode est des plus ingénieuses : il fait un emploi systématique du polygone des forces et du polygone des pressions ou polygone funiculaire, relatif à un pôle donné ( K rafle Polygon und Seilpoligen oder Drucklinie) {*).

En 1869, le professeur Fecming Jenkins a adressé à la Société rovale d'Edimbourg un excellent Mémoire où il fait des applications nombreuses , bien choisies et extrêmement correctes de la théorie des figures réciproques (**). Après

(’) Voici en quels tonnes M. Cremona apprécie la méthode de Culmann : • Ma quaiulo si parla di risoluzioni geometriche do prnblcmi délia srienza délie costruzioni, non si puo eertamente tacere dcl prof. Culmann, l'ingcgnoso 0 bcncinerito oreatore dclla Statica graphies, al quale è dovuto se i inetodi spicci ed eleganti di questa srienza, usciti dalla scuola di Zurigo, vengino ora insegnati in parecchi Politecnici di Germania (0 da ben cinque anni anche nell’ Institulo tecnico superiore di Milano). Tutte le questioni di Statica teoriea, corne pur quelle che appartengono ai singoli rami delle pratiehc applirazioni, sono risolutc dal prof. Culmann con uniforme e simplirc procedimento, che in sostanza si reduce alla costruzinne delle due figure ch’ egli denomina Kriiftepoljrgon e Seilpolygon. E bcnchè egli non le consideri corne figure reciproche, ncl senso dclla tcoria di Maxwell, tuttavia esse sono tali sostanzialmente; ed in particolare, le costruzioni geoinctrirhe che il Culmann dà nel 5 " Abschnitt dclla sua Opéra, consacrato ai sistemi reticolari (dus Fachoerk ), coineidono quasi sempre con quelle che si dedurrebbero dai inetodi del Maxwell medesimo. Anzi, le costruzioni di Culmann comprcndonn anche quei casi (non isfuggiti al Geometra inglese), ne’ quali i dingrammi rceiproci non sono possibili.

(**) On the practieal applications of reeiprocal figures to the calculation of stains on Framework. ( Transactions of the R. Society of Edinburg/i, t. XXV.)

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avoir rappelé en quelques mots le principe de cette théorie, il ajoute : « Peu d’ingénieurs se douteront cependant que les deux paragraphes précités mettent à leur disposition une méthode remarquable de simplicité et de rapidité pour déterminer les forces intérieures d’un framework et l’attention de l’auteur a été attirée vers cette méthode, parce qu’elle est due à un simple mécanicien, Taylor (*) —

Plus loin, il ajoute encore que, comparée à la méthode algébrique, la méthode graphique est frappante de simplicité et ne donne pas lieu, comme la première, à des erreurs résultant du grand nombre de pièces similaires, les unes tendues, les autres pressées, dont les forces élastiques sont à calculer, et aux notations encombrantes et confuses que ces calculs nécessitent (**).

En 1 8-o, M. Crcmona a publié un opuscule : Le Figure réciprocité nella Statica graphica, où il présente la théorie des figures réciproques à un point de vue nouveau et extrêmement élégant , en regardant ces figures comme projections des polyèdres réciproques que l’on déduit de la théorie de Mobius, sur la composition des forces dans l’espace.

On arriverait au même résultat que M. Oemona, en consi-

(*) » Few engineers would, however, suspect th.it the two paragraphs quoted put at their disposai a remarkably simple and accurate method of calculating the stresses in framework; and the author’s attention was drawn to the method chu fly by the circumstanrc that it was indcpendently dis covered l>y a practical draughtsman, M. Taylor, working in the office of tbe well-known contracter, M. J.-B. Cochranc. »

(“J Whcn comparcd with algebraic methods, the simplicity and rapidity of execution of the graphie method is very striking; and algebraic methods a pplied to fi âmes surh as the Warren girders, in which there are numerons similar pièces, are found to resuit in frequent clérical errors, owing to the c umbrous notation which is nccessary, and espccially owing to the necessary distinction between odd and even diagonals. >

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dérant, au lieu des deux résultantes d’un système de forces, les deux droites conjuguées dont M. Chasles, et après lui M. Mannheim, ont fait un si fréquent usage dans l’étude du déplacement des systèmes invariables.

Le nom de M. Chasles est à plus d’uu titre lié à la Statique graphique. On peut, en effet ( voir la Note I placée à la fin de cet Ouvrage), considérer les figures réciproques de Clerk Maxwell comme une conséquence en quelque sorte immédiate d’un théorème établi par M. Chasles en 1829 ( Bulletin des Sciences mathématiques de M. le baron de Férussac).

Au surplus, et bien que la Statique graphique telle qu’elle se trouve constituée aujourd’hui ait pris naissance à l’étranger, il est difficile de parler d’application de la Géométrie à la Mécanique sans rappeler que les premiers travaux dans cette v oie, et de beaucoup les plus considérables, sont ceux des géomètres français; et pour ne citer que ceux qui ne sont plus, les noms de Poinsot, de Coriolis, de Pinet, de Dupin, de Navier, deProny, de Poncelet, de Cauchy, de Lamé... sont attachés à toute science tenant à la fois de la Géométrie et de la Mécanique.

La Statique graphique, que beaucoup croient d’origine allemande, 11’a au contraire pénétré en Allemagne que trèstardivement. M. le professeur Karl von Ott dit, à ce sujet, dans un Ouvrage publié à Prague le G juillet 1870 (*) : « Depuis l'apparition de la Statique graphique de Culmann, qui permet de trouver, par des procédés purement graphiques, les dimensions et les forces intérieures des diverses constructions, il s’est passé six ans, et pourtant cette branche de la

(* ; Die Grundiüge des graphischcn Rechitens und der graphischen Statit .

INTRODUCTION. si

science, si intéressante en elle-même et si importante pour l’ingénieur, n’a pas encore trouvé l’accueil auquel elle aurait «lroit, en raison de sa fécondité et de sa grande utilité pratique.

» Ce fait doit être attribué à ce que l’ignorance et la paresse déclarent généralement la guerre aux choses nouvelles, si avantageuses puissent-elles être, et à ce que les vieux praticiens notamment se résignent difficilement à abandonner, en faveur de procédés nouveaux, les méthodes auxquelles ils sont depuis longtemps habitués.

« Ce qui empêche encore la prompte vulgarisation de l’Ou- \ rage de Culmann, c’est qu’il suppose l’étude préalable de la nouvelle Géométrie de Staudt, laquelle, malgré ses avantages et la façon supérieure dont elle est exposée par l’auteur, présente encore, pour les débutants, de sérieuses difficultés {*). »

(’) « Seit dem erscheincn (1er graphiseher Statik von R. Culmann, wclche die ztiliissige belastung dcr verschiedenen banobjecte und deren dimensionen auf rein graphischen Woge zu finden lelirt, sind bereits sechsjahre verflosscn und trolzdom liât dieser intéressante und für den Ingénieur Hochst wichtige Wisscnszweig noch niclit jene verbreitung und Anerkennung gcfunden, dieerin folge seincr grossen Fruclitburkeit und praklischen brauclibarkeit bercsts batte erlangeu sollcn.

» Als Ursache biervmi mag zum Tlicil dcr Umstand scliuld sein, dass ailes neuc-wenn es aucli noch so vortrefflich ist-cntweder ans bequem Iiehkcitsrucksichtcn, oder ans Unkenntniss, angefcindet wird, indein sich viele iiamenllich die alteren Praktirker, srhwer entschliessen konnen, von al t lier— bekannten wohl eingcübten methoden zu gunsten der neuern Ricbtung abzulassen.

» Der rasclicn und allegemeincn Ausbreitung des oben gcnannlcn IVerkes mag ubrigen auch dcr Umstand hinderlich sein, dass Culmann gleieh von vornehercin die kcnntniss der Geomctrie der lage fordert und zum vnrstudium seines Werkes, die neue Géométrie von Staudt ancinpfidilt, die trotz ihrer vortrefnichkeit bei den genialen Schreibweisse Staudt’s, dem anfanger aufdicsem felde, grossc'Schwierigkeiten bictet. »

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U. — But que l’on s’est proposé dams le présent Ouvrage.

Le but que nous avons essayé de réaliser dans le présent Ouvrage est d’exposer les méthodes de la Statique graphique d'une façon à la fois complète et élémentaire, n’exigeant pas la connaissance de ce que M. Ott appelle la Géométrie de Staudt, de ce que nous appelons, en France, la Géométrie supérieure. Nous ne nous appuyons que sur les principes de la Géométrie la plus élémentaire et sur la règle du parallélogramme des forces.

Contrairement à ce que l’on fait d’habitude, nous avons cru utile de séparer nettement ce qui, dans la Stalique graphique, est d’ordre purement géométrique, de ce qui appartient à la Statique proprement dite. Nous avons donc fait une première Section intitulée : Principes préliminaires de Géométrie. Nous y établissons d’abord la théorie géométrique de et qu’on peut appeler le polygone des lignes. Gela nous amène à exposer les premières notions du calcul graphique.

Le calcul graphique n’a rien de bien nouveau ; mais il forme une utile introduction à la Statique graphique; il existe à peu près complet dans notre enseignement , mais il s’y trouve éparpillé ; il n’est pas sans utilité d’en réunir les éléments épars.

Le calcul graphique complet constituerait, d’ailleurs, une science étendue et élevée; ici nous nous bornons à la partie la plus élémentaire, la seule dont nous ayons besoin.

Nous donnons ensuite une définition purement géométrique de ce qu’on peut appeler les polygones funiculaires d'un système de lignes, et nous établissons, sans recours à aucune considération mécanique, toutes les propriétés de ces polygones. Ces propriétés sont en effet d’ordre géométrique, comme celles des figures réciproques, par la

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théorie desquelles se termine cette première partie de notre Ouvrage.

La deuxième Section, intitulée : Principes de Statique graphique, porte exactement les mêmes divisions que la première : ce qui était tout à l’heure le polygone des lignes devient le polygone des forces; les polygones funiculaires, relativement à différents pôles d’un système de lignes, deviennent ici les polygones funiculaires en nombre infini, qu’admet tout système de forces situées dans un plan. Enfin les figures réciproques, qui étaient de pures abstractions géométriques, deviennent maintenant, les unes les images de systèmes de barres, les autres les représentations des forces extérieures et intérieures qui les sollicitent.

Cette division nous amène à établir les propriétés fondamentales des polygones funiculaires et des figures réciproques deux fois : une fois par la Géométrie pure et une fois par la Statique.

Nous ne voyons à cette redite, d’ailleurs très-brève, aucun inconvénient ; car c’est seulement quand on a vu les choses à ce double point de vue qu’on est bien en possession des procédés de la Statique graphique, qu’on est en mesure de les appliquer sans hésitation toutes les fois qu'ils sont applicables, et de discerner avec certitude les cas où ils sont applicables d’avec ceux qui exigent le recours soit à la Statique analytique, soit à la théorie mathématique de l’élasticité. Et c’est, croyons-nous, un point capital, que de savoir faire cette distinction ; et c’est un point dont on ne s’occupe pas dans les Ouvrages de Statique graphique que nous avons eu occasion de consulter.

Nous y insistons beaucoup, en prenant pour point de départ les travaux, sur la théorie des figures réciproques, de Maxwell .

Les figures les plus complexes se tracent avec la dernière facilité une fois qu’on a bien compris les principes que nous donnons à ce sujet et qui sont, du reste, d’une extrême simplicité.

XIV INTRODUCTION

Ajoutons que, si l’on se place sur le terrain de la science pure, les démonstrations géométriques que nous donnons sont préférables aux démonstrations mécaniques, puisque les unes reposent seulement sur les axiomes de la Géométrie, tandis que les autres supposent en outre les principes et les axiomes de la Statique.

Nous ne faisons aucun usage de la théorie des moments, mais nous montrons avec quelle facilité la Statique graphique se prête à leur construction; et nous exposons brièvement la théorie des moments pour bien montrer qu’il y a équivalence entre l’office qu’ils remplissent en Statique analytique et celui que remplissent, en Statique graphique, les polygones funiculaires.

Mais le lecteur qui voudra arriver rapidement aux applications usuelles pourra passer tout ce qui est relatif à la théorie des moments.

La troisième Section est exclusivement consacrée aux applications : les nombreux exemples que nous donnons comprennent à peu près, du moins nous l’espérons, tous les cas que la pratique offre aux applications de la Statique graphique : ponts fixes, ponts tournants, cintres pour voûtes, charpentes, détermination graphique des efforts tranchants, des moments fléchissants et des moments d’inertie.

Nous avons emprunté quelques-unes de nos figures aux Ouvrages existants, notamment à ceux de M. Cremona, de M. Jenkins et de M. Ott. Nous avons adopté les notations si claires de M. Cremona, consistant, quand on a deux figures réciproques, à représenter les lignes de l’une par des chiffres gras et les lignes correspondantes de l’autre par les chiffres ordinaires similaires.

Nous passons ensuite à la composition des forces de l’espace. Nous proposons, à titre de premier essai, l’introduction,

INTRODUCTION

dans cette théorie, de ce que nous appelons la pyramide funiculaire, qui nous semble constituer la véritable extension à l’espace du polygone funiculaire, tel qu’on le considère habituellement en Statique graphique. Nous donnons la théorie des polyèdres réciproques, que l’on déduit du théorème relatif à la réduction d’un système de forces à deux, et nous montrons comment les figures réciproques de la Statique graphique s’en déduisent. C'est le point de vue nouveau où s’est placé M. Crcniona.

Dans la Note I, nous donnons un troisième moyen d’arriver à ces figures, en les regardant comme projections îles polyèdres réciproques résultant do la transformation parabolique île M. Chasles.

Dans la Note II, nous exposons une méthode générale très-simple pour déterminer, au moyen de la théorie mathématique de l’élasticité, les tensions d’un système de barres élastiques, dans les cas où la Statique laisse le problème indéterminé.

C’est le résumé d’un Mémoire que nous avons récemment présenté à l’Académie des Sciences (*). Il est rédigé de façon à pouvoir être lu indépendamment du reste de l’Ouvrage. Nous croyons qu’il contient quelques résultats nouveaux, intéressants en eux-mêmes et utiles dans la mécanique des constructions. L’un de ces résultats consiste en ce que les systèmes de barres auxquels s’appliquent les procédés delà Statique graphique sont, en général, les seuls qui puissent être constitués de façon que toutes les barres supportent mêmes pressions ou mêmes tensions par unité de surface; ce sont donc les plus économiques, ceux qu’il convient toujours d'employer, de telle sorte que nos recherches sur cette matière, entreprises dans le but de combler, par la théorie mathématique de l’élasticité, les lacunes de la Statique graphique, conduisent,

(i) Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences du 28 avril i8j3.

INTRODUCTION

d’une fa^on inattendue, à une propriété nouvelle et impor-, tante de cette dernière science.

La Statique graphique est aujourd’hui enseignée partout à l’étranger, dans les Écoles professionnelles comme dans les Instituts techniques supérieurs ; même en Allemagne, où elle n’a pénétré que vers 1870, elle est extrêmement répandue; c’est même là qu’il existe aujourd’hui le plus d’Ouvrages classiques sur cette matière. Ainsi, outre l'Ouvrage de M. Karl von Ott, dont nous avons parlé plus haut, on pourrait citer un Ouvrage considérable de M. Bauscliinger, professeur à l’École Polytechnique de Munich, plusieurs ouvrages remarquables de M. Winkler, professeur à l’École Polytechnique de Vienne, puis des Ouvrages de Ritter, de Harlacher, de Mohr, de Rculaux, etc.

Nous nous estimerions heureux si nous avions réussi à faire ressortir tout ce qu'elle offre d’utile et d'intéressant. Elle met à la disposition de tous, pour tenir lieu des savants et laborieux calculs auxquels sc livrent encore journellement nos ingénieurs, des procédés simples et expéditifs. Ces procédés ont de plus le précieux avantage de porter toujours en euxmêmes le principe de leur vérification, de telle sorte que s’ils peuvent, comme toutes les méthodes graphiques, laisser un doute sur une fraction décimale, chose très-indifférente en ce genre d’applications, ils sont en revanche exempts de ces chances d’erreurs grossières que comportent les longues opérations arithmétiques et les formules algébriques, où rien ne parle aux yeux.

TABLE DES MATIÈRES

INTRODUCTION

Notice historique sur la Statique graphique

/tut que l'on s'est proposé dans le présent Ouvrage. .