CONSTRUCTION DU MOMENT DE LA RÉSULTANTE D'UN SYSTÈME DE FORCES

— Soit donné un système de forces représentées par leurs lignes d’action et leur polygone des forces; soient, par exemple, les forces ayaut pour ligues d’action (Jîg- 17, PL If)

et pour polygone des forces {fig- 17 } le polygone dont les cotés sont

la résultante de ces forces a pour grandeur ah et pour ligne d’action 88 '. Si le pôle O du polygone funiculaire 812345678 est distant d’une unité de la ligne ni, pour avoir le moment de la résultante autour du point quelconque C, il suffit, par ce point, de mener une parallèle à cette résultante; le segment xy que cette parallèle détermine dans l’angle formé par les côtés extrêmes 8 I et 87 du polygone funiculaire prolongés au besoin représentera {§ 67) le moment cherché.

On voit par là avec quelle remarquable facilité le polygone des forces et le polygone funiculaire se prêtent à la construction des moments. Nous verrons plus loin, dans les applications aux constructions, combien ce procédé est précieux pour la recherche de ce qu’en résistance des matériaux on appelle les moments fléchissants .

Si O était distant d’un nombre entier n d’unités de longueur de la ligne ah, la ligne xy représenterait la n“ m ' partie du moment

cherché; si O était distant de ah d’une fraction - de l’unité de lon-

gueur, le moment cherché serait— •

Remarque I. — Le moment d’une force autour d’un point ne

PROJECTIONS ET MOMENTS DES FORCES

change pas lorsqu’on déplace son point d’application sur sa ligue d'action.

Remarque II. — Le moment d’une force est numériquement égal au double de l’aire d’un triangle ayant pour base la grandeur de la force et pour sommet le point autour duquel est pris le moment, point qu’on nomme parfois le centre des moments.

Ainsi ( fig . 43, PL JC), si AB est la grandeur de la force F, son moment autour du point C est numériquement égal au douille de l’aire du triangle CAB. En regardant ce triangle comme ayant pour base la ligue AC joignant le centre du moment au point d’application de la force, on voit que le double de son aire est égal au produit de AC par la projection B'C de la force F sur un axe XX' perpendiculaire à AC, en sorte que ce produit peut également représenter, en grandeur, le moment de la force F autour du point C. Il peut aussi le représenter en signe; car la projection CB' est dirigée sur l’axe indéfini XX', de X vers X' ou vice versd, suivant que la force F tendâ faire tourner son bras de levier CP de façon à le coucher sur la partie CX' ou sur sou prolongement, c’est-à-dire que la projection CB' change de sens en même temps que le moment de la force b’ change de signe; donc en comptant les projections positivement ou négativement, suivant qu’elles sont ou non dirigées dans le sens dans lequel la force amène son bras de levier lorsque le moment est pris positivement, le moment sera égal en grandeur et en signe au produit de CA par la projection de la force F sur la ligne XX'.

Habituellement on compte positivement les moments des forces qui tendent à faire tourner leurs bras do levier dans un sens tel qu’un observateur ayant les pieds en C les voit tourner de gauche à droite ou dans le sens des aiguilles d’une montre. D’après cette convention, le moment de la force F serait négatif, et la partie CX de l’axe XX' devrait être regardée cuinme positive pour que le moment de la force F fût représenté en grandeur et en signe par le produit de AC par la projection de cette force sur XX'.

Lemme. — Lorsque des forces situées dans un plan sont concourantes, le moment de leur résultante par rapport à un point quel-

SITUÉES DANS UN PLAN. 101

conque est égal à la somme de leurs moments par rapport à ce point.

Soit, en eflct, un système de forces concourant en A [fig . 43, PI. X). Le moment de l’une quelconque de ces forces F est égal à la projection de F sur l’axe XX' multipliée par AC; le moment de la résultante est de môme égal à sa projection sur XX' multipliée par AC; et comme la projection de la résultante est (§ G6) égale à la somme des projections des composantes, le produit de la projection de la résultante par la longueur AC sera égal à la somme des produits des projections des composantes par la même longueur AC, ce qui démontre le théorème énoncé.

Théorème. — Le moment par rapport à un point de la résultante ou du couple résultant t d’ un sy stème de forces distribuées d'une manière quelconque dans un plan est égal à la somme des moments de ces forces par rapport à ce point.

Car, pour obtenir cette résultante ou ce couple résultant, on ne fait (§45) que deux opérations: i ° composer entre elles ou décomposer des forces concourantes; 2 ° déplacer les points d’application de certaines forces sur leurs lignes d’action. Or aucune de ces opérations ne change la somme des moments des forces sur lesquelles on opère. Donc, si ces opérations conduisent finalement à une résultante unique, le moment de cette résultante sera égal à la somme des moments des forces primitivement données, et si Ton est amené à un couple, la somme des moments des deux forces composant le couple est de même égale à la somme des moments des forces qui y ont donné lieu.

Remarque. — La somme des moments de deux forces composant un couple demeure constante, quelle que soit la position du point autour duquel on prend les moments.

En eiret, soit (fig. 44, PI. X) un couple formé de deux forces F et — F; le moment de F par rapport au point C est F X CP; le moment de — F par rapport à ce point est Fx CP', et comme la force — F et la force F tendent à faire tourner leurs bras de levier

PROJECTIONS ET MOMENTS DES FORCES

CP et CF en sens contraires, la somme de leurs moments est F X CP — F X CP' F X PP'.

Cette distance PF entre les deux forces F cl — F est ce qu’on nomme le bras de levier du couple.

Si le point C était placé en C, entre les lignes d’action des forces du couple, les deux forces tendraient à faire tourner leurs bras de levier C, P et C, F dans le même sens, en sorte que leurs moments seraient de mêmes signes : la somme de ces moments serait donc

soit toujours F X PP / .

Donc : la somme des moments des deux forces d'un couple autour d'un point quelconque de son plan est constante et égale au produit de la force du couple par son bras de levier ; ce produit se nomme le moment du couple.

JNous avons vu (§ 49) que, quand un système de forces se réduit à un couple, on peut le ramener à une infinité d’autres couples dont les forces peuvent être arbitrairement données en grandeur et en position ; mais on voit que le moment de tous ces couples est le même, en sorte que la grandeur de leurs forces est en raison inverse de leur écartement ou du bras de levier du couple.

ÉQUIVALENCE ENTRE LE ROLE ANALYTIQUE DES MOMENTS DES FORCES ET LE ROLE GRAPHIQUE DES POLYGONES FUNICULAIRES. — De même que le théorème des projections joue en Statique ordinaire le même rôle que le polygone des forces en Statique graphique, de même le théorème des moments donne analytiquement le résultat que le polygone funiculaire fournit graphiquement, c’est-à-dire qu’il donne un point de la ligne d’action de la résultante dont la grandeur, la direction et le sens sont connus par le théorème des projections.

Si, en ellèt,

sont les grandeurs des forces données ;

P\> Pu Pi Pn

SITUÉES DANS UN PLAN, lus distances de leurs lignes d’action à un point donné O du plan; si R est la résultante et r sa distance au point O, le théorème des moments montre que

(b) Rr r= P ,p, -4- P,/>, -4- . . . -t- P ,p, — ïP ip„

en appelant £ la somme algébrique que représente le second membre. Cette somme est connue; la grandeur de la résultante R est également connue par les formules ( a ) du § 66; donc la relation ci-dessus fournit la distance r de la ligne d’action de la résultante au point O, et cela suflit'pour que cette ligne d’action, dont la direction est connue par le théorème des projections, soit définie. Elle l’est d’ailleurs sans ambiguïté : il existe, il est vrai, deux lignes parallèles à une direction donnée, distantes du point O d'une longueur mais il faudra prendre celle des deux qui permettra à la force R, dont le sens est connu, de faire tourner son bras de levier dans le sens déterminé par le signe du second membre de l’équation (b).

On comprend qu’au point de vue analytique l’application de l’équation {b) est très-commode pour trouver la ligne d’action de la résultante; mais, au point de vue graphique l’emploi du polygone funiculaire est incomparablement plus simple que ne le serait la construction directe de la valeur de r fournie par cette équation.

La solution analytique de la composition des forces que nous venons d’exposer sommairement donne lieu à la même discussion que la solution graphique exposée au Chapitre IV, § 48 et 46 :

i° Si les sommes des projections des forces données sur deux axes qui se coupent ne sont pas nulles i une et l'autre, alors les équations (a) du § 66 fournissent, pour la grandeur et la direction de la résultante R, des valeurs déterminées ; de plus R sera différent de zéro: il en résulte que l’équation ci-dessus (b) fournit pour r une valeur finie. Donc la ligne d’action de la résultante R sera déterminée. Ainsi, dans ce cas, les forces données admettent réellement une résultante.

a° Si les sommes des projections des forces données sont nulles

104 PROJECTIONS ET MOMENTS DES FORCES SITUÉES DANS UN PLAN, l’une et l’autre, alors les équations (a) indiquent que la résultante R est de grandeur nulle.

En ce cas, l’équation (b) fournit pour r une valeur infinie ou indéterminée, suivant que la somme des moments 'des forces données relativement au point O est ou non différente de zéro.

Dans le premier cas, les forces données admettent une résultante nulle dont le point d’application est à l’infini. C’est, comme nous l’avons vu (§ 49), l’équivalent d’un couple; et comme le moment d’un couple est indépendant de la position du centre des moments, il s’ensuit que si la somme des moments des forces données relativement à un point particulier O est diflérente de zéro, elle l’est pour tout autre point du plan; si, au contraire, cette somme est nulle pour un seul point O, elle l’est pour tout autre point, et alors le système se réduit à un couple dont le moment est nul, ou, si l’on veut, dont le bras de levier est nul, c’est-à-dire à un système de deux forces égales et opposées : il est donc en équilibre.

Ainsi :

i° Pour qu un système de forces situées dans un plan admette une résultante unique, il faut et il suffit que les sommes de leurs projections sur deux axes qui se coupent ne soient pas nulles l'une et l'autre.

2 ° Pour qu'un système de forces situées dans un plan se réduise à un couple, il fau t et il suffit que les sommes des projections de ces forces sur deux axes quelconques qui se coupent soient nulles l'une et l'autre, et que la somme de leurs moments, autour d’un point quelconque du plan, soit différente de zéro.

3° Pour qu'un système de forces situées dans un plan soit en équilibre, il faut et il suffit que les sommes des projections de ces forces sur deux axes qui se coupent soient nul/es l'une et l'autre, et. qu’il en soit de même de la somme de leurs moments autour d’un point quelconque du plan.

Si les deux premières conditions d’équilibre sont remplies pour deux axes particuliers, elles le sont pour tout autre, et alors si la troisième l’est pour un seul point du plan, elle l’est pour tout autre. C’est exactement ce qui a lieu pour la fermeture des polygones funiculaires (§ 49).

Remarque. — Si le point O autour duquel on prend les mo-