La statistique géométrique méthode pour la solution des problèmes commerciaux et industriels

Iiigi'nieur en chef des Ponts et Chaussées Pinlcsseur à l'École des Mines et à l'École des Sciences poliliques Ancien directeur des usines du Creuset

PAKIS

l^LHLJCATJOAS DU JOURNAL LE GÉNIE CIVIL

6, RUE DE LA CHAUSSÉE-d'aNTIN, C)

cUocre aiiv i)roducteiirs qui se préoccupoal avant tout du produit net. Que leur importe en etïet le maximum de la recette brute, s'il ne donne pas le maximum du bénéfice, but et raison d'être de l'industrie»? Suivant un mot connu, un imprésario jette volontiers par les fenêtres l'argent qui doit lui revenir par la porte.

C'est dire que, pour déterminer le prix de vente correspondant au produit net, il faut faire intervenir la seconde courbe dont il est question plus haut, celle des frais de production, et la retrancher de la courbe du produit brut.

J'aurais eu plaisir à étudier ici la loi qui relie ces deux éléments, et qui varie dans des pr(>i)ortions caractéristiques selon qu'il s'agit de la grande industrie, de la petite industrie ou de Tagriculture. Sans aborder ces détails qui m'entraîneraient trop loin, il me suHît d'affirmer que chaque industiiel peut, s'il le veut bien, être édifié à ce sujet et connaître les frais de production correspondant aux diverses allures de son usine, comme aux quantités produites ou aux débouchés.

Voici, par exemple (lig. i), cette donnée pour les chemins de fei'de

la Nordbahn aulrichieniH' m 1883 (0- P'*'"^ revient de la tonne kilométrique tombe de ;j ' 28 à l' GO, pendant que le tonnage liasse de 230 000 à 1 730 000 tonnes.

On parviendrait de même pour loule entre[)rise quelconfiueà tracer, avec plus ou moins de i)eine, une courbe analogue, en consultant la statisti(iue et la comptabilité de ses opérations.

Lorsqu'on possède cette courbe qui exprime le rapport entre les frais de pr(3duction et les débouchés, il est très facile, à l'aide de la courbe des débouchés, de la transformer géométriquement en une autre ('ourbe, celle, des frais de production par rapport aux prix de

[\) Elle est empruntée à lui iuléressaiit ailirli» pnhii»' par M. Nordling dans les Annn'cs f/es PonU et Chaussées (n» de février 1880).

vente. C'est la courbe ainsi transformée que j appcile la courbe des

frais de moductim (*). . ,,

11 sulUt, connue on va le voir, de combiner celte courbe avec celle du produit brut, précédemment obtenue, pour en déduire la courbe du produit net et par conséquent le tarif le plus avantageux, .[ui correspond au maximum de ce i)roduit net.

.rai dit que ce problème intéressait le linancier et l'homme d htat, aussi bien que l'industriel et le commercjanl.

Voici, par exemple, Innpôt sur l'alcool. .|uc les financiers, d accord avec les moralistes et les hygiénistes, songent à relever (2).

En négligeant le côté moral de (^ette réforme pour n'en retenu- que le côté fiscal, ce relèvement peut avantageusement être pousse jusqu a la limite où le resserrement de la consommation, les progrès de la iraude et l'accroissement des irais de perc-plion et de surveillance, absorberaient les plus-\alues de la recette brute.

Si l'on connaissait la courbe des consommations eu egaid

(l ;iii\ di-

FlG. o.

verses taxes et celle des frais de ])erceptio.u c'est-à-dire l'équivalent des deux courbes que nous avoiis définies tout à l'heure sous le nom de courbe des débouchés et de courbe des frais de production, on déterminerait, à coup sûr, la taxe la plus avantageuse au point de vue

linancier, comme on le voit sur la figui

i\) soient: F, les frais «le production; 1>, les débouchés ; P, les prix (b

vente, ^^^i

Ton connaît les deux courbes ^ et ^. on en déduil par une construction très

simpb' la courbe — .

La courbe d.'S frais de „r«,lncli,m ot celle de. débouchés ^ se trouvent ainsi ramenées au même dém.minaleur. c'est-à-dire aux mêmes abscisses.

(2) consulter pour l'iiistoire .1,'s variations de cet impôt dans les ^livors paj^s, et la comparaison entre sa produelivilé et son taux, l'intéressant ouvrage de M. Slourm , L'impôt sur l'ah (Mf duif les priiiripnnx pans.

ruuniira l'école, le commerçant sera bien mieux armé que celui qui devra tout tirer de lui-même, s'instruire à ses dépens et demander à l'expérience des leçons qu'elle; met toujours à très haut prix.

C'est en me plaçant sous le patronage de cette alliance si iiéuessaire et si féconde entre la science el le commerce, que je viens présenter aujourd'hui une méthode destinée à faciliter la solution des problèmes commerciaux, et dès lors appelée, dans ma pensée, à rendi e de n'M'ls soi*\i('cs à ceux qui voudront cl saunml la iiM'Ilrc on (I'Umc.

I. — Cette mélliode est ce que j appcllc la SlallaUque (jcut/irlriqiœ. Mais, malgré son nom un peu rébarbatif, que j'expliqucrni dans un instant, elle n'est pas une abstraction mathématique, une pure curiosité de l'esprit, accessible à un petit nouibn^ d initii'S, Elle csl destinée, sinon à la totalih' des commcj-ranis et des industriels, du moins à cette élite, qui remorque la masse après elle, l.n pratique est à la fois son point de dc'part et son point d'arrivée. Elle m'a été inspirée, il y a plus de quinze ans, par les exigences du métiei% et si je me décide à la produire aujourd'hui, c'est après en avoir depuis lors vérifîi' les avantages par des applications variées, aussi bien dans l'industrie privée que dans les fonctions publiques.

Pour HMidre d'ailleurs à chacun ce qui lui reNi(Mil, j'ai le devoir d'ajouter que, en étudiant plus tard l'œuvre des économistes, j'ai constaté que, dans plusieurs de ses parties, cette méthode avait des points de contact avec des théories émises: en France, par MM. Cournot, du Mesnil-Marigny , Dui)uit, WolkolT, Fauveau, de La (xournei'ie ; en Angleterre^ par MM. Stanley-Ji.'vojis, Whewell, Tozer et Macb^od ; en Suisse, par M. Léon Walras; en Allemagne, par MM. Gossen, de Thûnen, Rau, Brentano, Launhardt ; (^n Italie, par MM. Boccardo, Errera, Zambelli; aux États-Unis, par M. Iladley; etc..

En général, ces auteurs, dont quelques-uns ('^minents, se sont placés au point de vue de l'analyse spéculative pour l'exposition e la dissection des catc'gories économiques, telles f[ue l'écliange, la valeur, la monnaie..., plutôt qu'ils n'ont visé des applications pratiques et la solution des problèmes industriels. Mais ils n'ont pas moins droit à nos hommages convaincus et il est juste de sahKH- en eux les précurseurs qui ont IVay(' la voi(^ à la transformation commerciale de la méthode (^).

(1) On ne cite ici que quelques-uns des économistes qui ont appliqué la langue des mathématiques à l'étude des problèmes économiques. Stanley- Jevons a essayé d'en dresser la liste, qui commence en 1720 à Hutcheson, et bien qu'elle occupe une dizaine de pages, il déclare qu'il n*a pas la prétention de la présenter comme étant complète, même pour ce qui concerne les écrivains anglais.

Dans un mémoire plus étendu qui est en préparation, l'auteur du présent travail s'efforcera de faire l'histoire de la méthode, et d'assigner la part que les principaux économistes, dont les noms viennent d'être cités, ont prise à son développement.

II. Qu'est-ce donc que cette statistique géométrique ? Quel objet se propose-t-elle ? Je réserve pour un moment la première question, et je réponds de suite à la seconde.

A rhnr|ue pas, la pratique pose à l'industriel, au comnicrraut, à l'agriculteur, au financier, de graves problèmes qu'ils ne peuvent pas écarter et dont la solution, selon qu'elle sera bonne ou mauvaise, fera le succès ou la ruine de leur entreprise.

Ces problèmes sont multiples et délicats ; ils conc(M'nent, par exemple, l'achat des matières premières et les sources d'approvisionnements, le choix des produits à fabrir(uor, la détermination rationnelle de Tontillage, la proportion à observer entre le capital fixe et le capital circulant, entre le travail mécanique et la main-d'œuvre, les arbitrages de place à place, les placements immobiliers, les tarifs de vente, les taxes de transport et d'impôt, etr.

De tels problèmes, et hWn d'autres vnœw que Toii pourrait } joindre, réclament impérativement une réponse. Les ajourner, c'est les résoudre contre soi. Us vous somment, bon gré malgré, de vous prononcer, de prendre parti, et semblent vous dire, le couteau sur la gorge :

Devins si l\i peux el choisis si tu l oses. ^

Placés devant cette sommation brutale, les intérêts s'en tirent comme ils peuvent, par le tact et par l'instinct, c'est-à-dire tant bien que mal, en général plutôt mal que bien, et ceux qui se trompent paient chèrement leur erreur.

]\'y a-t-il pas mieux à faire, que cVallrv ainsi à tâtons? Est-on désarmé devant des nécessités aussi pressantes ? Je ne le pense pas, La statistique géométrique a précisément pour objet d'indiquer avec sûreté, dans bien des cas, la solution la meilleure et de mettre aux mains du commerçant une sorte de fil conducteur qui l'empêche de s'égarer dans l'obscur dédale des faits.

IIL — Avant d'expliquer ce quest la méthode, je suis encore tenu, pour prévenir toute confusion dans les esprits, de dire ce qu'elle n'est pas.

Tout le monde connaît les res>()ur('<'s (|ue pn^senlc l'application (hvs (l('ssins à la statistique, ce qu'on appelle la Statistique graphique. Elle ( st aujourd'hui d'un emploi usuel, c'est une langue universelle, un (( volapûk, avec lequel chacun de nous est familiarisé.

ùn traduit ainsi les tluctuations des valeurs de Bourse, celles du baromètre et du thermomètre, les mouvements de la population, ceux des récoltes et du eounnerce de la France...

Ce procédé n'ajoute rien au fait, si ce n'est la ciarlc réii'gaiice elh^ rrlief. Il s(» borne n le Iraduin^ aux youx. et l'on conçoit que des

esprits très sagaces puissent à la rigueur se passer de son concours, comme un habile danseur de corde peut se passer d'un balancier.

On le fait parfois sortir de cette attitude passive, où il est impeccable, pour lui demander davantage et le lancer dans les aventures. Il se transforme aloj s en un procé(l(' d'injerpohaioîi ou ûl^ trapolation graphique, qui consiste dans le prolongement hypothétique d'une courbe dan's Tintervalle ou au delà de ses éléments connus, en supposant la contiimité de son allure. De cette manière, on parvient à combler les lacunes des observations dans le passé et même à sonder les profondeurs de l'avenir.

Ainsi, MM. Juglar et Siegfried, après avoir HnbVi sur les courbes des encaisses et du portefeuille de la Banj/ue de France les inflexions et les particularités qui ont jusqu'ici caractérisé les crises économiques, se croient autorisés à en déduire des prévisions optimistes sur la cessation prochaine de la crise actuelle.

Ainsi, le météorologiste, accoutumé à suivre les ondulations des courbes barométriques, leur demande l'annonce du temps à courte échéance.

Ainsi encore, l'économiste, l'homme d'Etat, qui veulent préjuger la situation respective des diverses puissances, dans un demi-siècle

Mouvement de la population de divers pa\?

fie 1800 à mo

Lrt yopulalion de chaque pay^ a été rappariée à sou faux en 1H00 pris pour (inilé.

«80 t.GO

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\bo Irl^ndA '^^

FiG. \.

par exemple, prolongent hypothétiqfiement jusqu'à cette date •les courbes qui expriment les mouvements des populations dans les divers pays, et, par ce moyen, ils établissent une épure (fig. j) qui donne à notre patriotisme de sévères avertissements (i).

(1) Voir une élude de M. E. Gheygson, sur le mouvement de la Popuhtlion en France et à l'ElrrDiqer (Uéformo snriale, juiM(»t 18S3).

Cette métiiode d'interpolation a des applications très précieuses, entre des mains prudentes et pour les phénomènes dont le mouvement, empreint depuis longtemps d'une grande régularité, semble échapper à l'action de causes perturbatrices, capables d'en altérer Féquilibre. Mais elle a un côté conjectural, qui est inquiétant et peut égarer. Quand on prophétise, on court risque de se tromper. Or, la statistique, en sa qualité de grave et discrète personne, doit se montrer sobre de ces témérités.

La méthode dont je vais parler se tient à mi-chemin entre la statistique graphique et l'interpolation ; elle participe de leurs avantages, en échappant à leurs inconvénients. Elle est sûre Comme la première, et active counne la seconde. Elle va au delà du fait, au lieu de se borner à le traduire et à le photographier ; elle se propose de découvrir des éléments inconnus ; mais dans cette recherche elle ne livre rien au hasard, ni à l'hypothèse. C'est le lait brut lui-même, convenablement mis en œuvre, qui fournit les solutions qu'il contenait implicitement en lui-même, et qu'il s'agit d'en extraire, comme on extrait le métal de son minerai.

L'observation est à la base de la méthode pour lui livrer la matière de ses premiers tracés, et jusque-là, nous sommes en pleine statistique graphique. Mais sur ces courbes primordiales, comme sur un échafiiudage solide, on vient ensuite en établir d'autres, qui s'en déduisent d'une faron mathtMuatique, c'est-à-dire avec une rigueur absolue.

Le système est donc en partie expérimental, en partie géométrique, 11 emprunte ses données à l'observation, les traduit par la statistique graphique, et les met en (puvre par la géométrie. Il n'est donc pas autre chose qu'un moyen, mais un moyen puissant, d'élaborer ces données empiriques et réalise par rapport aux ressources du raisonnement les mêmes avantages que l'algèbre, dont les opérations conduisent droit au but. Seulement il ne s'agit pas ici d'équations à résoudre par les finesses du calcul, mais de courbes dont les points d'inflexion, les rebroussements ou les intersections, répondent aux questions posées par la prati(|iie industrielle et conunerciale (^).

(i) Tous les problèmes, qui voni (Hiv, plus loin passés en revue, pourraient cMre traités par Tanalysc mathématique aussi bien que par la géométrie, et Tautçur n'y a pas manqué. Dans ce cas. les courbes expérimentales des épures sont remplacées par les fonctions analytiques qui les expriment et c'est le calcul qui détermine les solutions cherchées. Mais la géoméiric présente sur l'analyse l'avantage d'être plus aisément accessible aux personnes qui n'ont pas une préparation spéciale et surtout de lra(hiir<' immédiatement les données expérimentales, sans exiger la notion de leur loi analytique, de leur fonction, dont l'établissement réclame des calculs parfois très laborieux, et peut aboutir à des expressions d'une intégration ditiicile, sinon même insoluble.

Enfin le procédé graphique permet de saivn» pas à pas les opérations qui conduisent

C'est ce concours de l'observation à la base et de la géom(Hrie au sommet que j'ai tenu à exprimer en désignant cette méthode sous le nom de Statistique géonvHrique,

Elle ne saurait encourir les reproches qu'on fait d'ordinaire à l'emploi des mathématiques pures dans les questions économiques, trop complexes, dit-on, pour souffrir qu'on les enferme dans une formule.

Ce serait, h coup sûr, une pivtention vaine que de vouloir mettre en équation tous les problèmes où l'homme est directement en jeu avec sa nature « ondoyante et diverse ». Pour ce problème, m effet, la plupart des éléments qui interviennent dans le résultat définitif, ne se laissent ni peser, ni mesurer; ils n'ont pas de « mèti'e », et dès lors, ils échappent à la prise des mathématiques. Mais au contraire, ces dernières ont barre sur toute une classe d'objets concrets et t)ien définis, tels que les prix, les quantités, les monnaies. Ceux-là, le calcul graphique peut les atteindre utilement, à la condition de n'agir que sur des données d'expérience, et de se borner à une sorte de manipulation sûre et rapide, qui abrège et simplifie les opérations, écarte l(^s chances d'erreur, et fasse apparaître les solutions, non seulement \\ l'esprit, mais aux yeux.

Ces explications étaient néc('ssair(^s |)()ur établir, dès le seuil chi sujet, le caractère expérimental delà mtHhode. U convient maintenajit de la définir nettement, et, dans ce but, de la mettre en action par quelques applications déterminées. Ce sera sans doute le meilleur moyen de démontrer son mc^canisme et de faire pressentir les services qu'on en peut nttendre.

IV. — Le premier proljléiiK^, {[w je \('u\ aJ)()r(k'r ici, est capital, aussi bien pour l'agriculture ([ue pour le commerce, pour le lise que pour l'industrie ; il domine de haut toute l'activité économique du pays, toute Tœuvre de la production et la répartition de Tinipot : c'est la recherche du tarif avantarjmx.

A-t-on intérêt à fixer ce taux très bas pour augmcnttn* nombre d'unités qui le paient? Ou vaut-il mieux adopter un niveau élevé en résignant à rétrécir la base d'ai)[)li(mtion ? Est-il fu'éférable pour un marchand de viser les hauts prix ou l'extension de sa clientèle ? S'il abaisse ses tarifs, retrouvera-t-il en supplément d'unités ce (|u*il aura perdu sur la recette ('élémentaire de cha(jue uiiité ?

La réponse à ces graves qncslioiis se l'ait en g(Mi(']'a[ au hasard ou

au but ; il les sij^naie <,mi mùm(3 temps aux regards qu'à l'esprit, tandis que le pro(H'd('^ analytique mène le calculateur à la solution les yeux bandés et la lui livre brus|ueraent. presque brutalement, sans qu'il ait pu en pénétrer la formation graduelle sjus le voile des formules et de leurs manipulations, qui masquent les diverses étapes de la route.

d'après certains partis pris plus ou moins inconscients. Par exemple, en matière d'impôt, il semble qu'il suffise de hausser la taxe pour en augmentei* proportionnellement le produit. Au contraire, en matière de transports, il ne manque pas de gens qui affirment imperturbablement que c'est tout profit que d'abaisser les taiifs, à cause de l'essor imprimé ainsi au trafic.

Ces théories absolues sont souvent en défaut; comme le prouve rexpérience des pays tels que la Belgique et la Hongrie, qui, pour avoir marché ti^op vite dans la voie des abaissements de taxes sui* eur réseau d'Etat, ont éprouvé de notables déficits dans leurs recettes et sont obligés d'envisager ou de subir la nécessité de sérieux relèvements. On peut également citer en sens inverse des tnrifs et des impôts dont l'exagération a réduit la productivité (i).

Si Ton possède deux courbes, celle des débouchés et celle des frais de production^ on est à l'abri de ces mécomptes et l'on sait, dans chaque cas pai'ticulier, la conduite la plus avantageuse à tenir.

Il importe de d(>finir ces deux courbes, en commençant par celle des débouchés.

La consonunation ifun objet dépcjul d(* son prix de revient. Si cet objet était gratuit, elle serait, sinon inimitée,du moins très étendue; elle se rétrécit, à mesure que ce prix s'élève, et elle cesse complètement à un certain degré de chertt'.

On voit donc que, eji portant horizontalement, les piix de venh:. et verticalement, les consonnnali(Mis (|ui eorrospondent à chaque pr [/^

FiG. 2.

(fig. 2), la courbe qui joindra le sommet de toutes ces ordonnées

(1) Sur 1«'S chemins de f(T brésiliens de la Serra à ForlaJezza et de Réeife à San -Francisco, les tarifs des transports élaient en 1882 presque prohibitifs par leur t^évalion et avaient laissé subsister la concurrence des mulets. (Bulletin du Minislère des Travaux publics, jaiivlL^r 1S83.

affectera une forme telle que AH. Le prix OR ost celui qui larit tout débouché ; c'est le prix prohibitif.

Cette courbe AB de la consommation en fonction des prix de vente est ce que j'appellerai désormais la Courbe des débouchés. Elle joue en indusli'i(' un rôle capital et se prête, quand on la possède, à la solution des problèmes les plus vitaux. Elle diffère d'ailleurs pour chaque produit et affecte les formes les plus variées.

Si le débouché est en raison inverse des priv, elle (\sL liguri e [W une Cl hyperbole équilatère»; elle devient une ligne droite, si lan^dUction des débouchés est proportionnelle à colle des prix. Mais ce sont là des cas théoriques, dont la pratique peut s'éloif»ner notablement, de sorte qu'il Innl é'hidic'r 1;i coiirbc nîirliniliéiv» n chniine produit individuel.

Celle du blé a été (établie dans une petite zone par différents auteurs, tels que Davenant, Porter, Took, etc., et montre la rapide croissance des prix avec la rarelé de la rc'colte (^).

S'il s'agit d'un produit dont la consommation soit limitée, la baisse des prix est sans influence sensible sur lo débouché. L'exemple des cercueils est classique pour illustrer cette catégorie. Au contraire, il est tel autre service, comme celui des ti'ansporls, qui ])eut recevoir une très vive impulsion par suite de l'abaissement des tarifs. Ln courbe se relève alors avec une très grande rapidité pour les prix modérés et plonge, quand le prix augmente, jusqu'à couper la ligne de terre, dès que le prix dépasse mie certaine liniile et devient ainsi prohibitif.

En un mot, cette courbe des débouchés existe pour chaque cas particulier Elle sera plus ou moins difficile à déterminer ; mais cette difficuUé ne saurait prévaloir ni contre sa réalité, ni contre son caractii e expérimental. Elle n'est pas théorique, ne procède pas de la géon^.étrie abstraite ; elle est pratique, fournie par l'observation et soi ! diiTctement du fait qirc^lie traduit.

Une fois en possession de cette courbe, l'économiste et l'industriel peuvent en tirer parti pour étudier et résoudre, comme il a déjà été dit, de nombreuses questions du plus haut intérêt.

Elle permet d'abord de déterminer immédiatement par une construction graphique assez simple (2), la courbe OAP du produit brut.

(1) Cette loi est aujourd'hui mise en défaut par les progrès dos transports qui onl solidarisé tous les nnarchés du monde.

(2) Pour déterminer, par exemple, le point D de hi courbe du produit bru(, il suffit dv mener par le point E de la courbe des débouchés l'horizontale E F jusqu'à la verticale du point 1, puis de prolonger la ligne OF jusqu'à son intersection avec la verticale du point E. On a en etTet HD = 0 H X H E, c'est-à-dire que chaque ordonnée, telle que H I). représ<Milr :iii'si le produit du prix de venlc O H p:ir le (l»'bouclip HE.

égal, comme on le sait, à la somme obtenue en multipliant Ja consommation par le prix de vente (fîg. 3).

Ce produit brutOA P part de zéro, ([uand le prix est nul, et aboutit à zéro pour le prix prohibitir. 11 passe par des valeurs égales deux à deux en montant et en descendant, et par un maximum au sommet A (^).

Le tarif qui correspond à ce sommet i^sl précisément celui que doit appli(iuer la cou\pagnie exploitante pour réaliser le maximum de recette.

Cette détermination, on le voit clairement, procède à la fois, et de la statistique par la courbe des débouchés qui traduit le fait, et de la géométrie par la construction simple, mais rigoureuse, ([ui en a

FiG. 3.

déduit la courbe du produit brut. C'est de la statistique appelant à son aide la géométrie : c'est de la '« statistique géométrique. »

Mais cette recherche du produit brut ne présente qu'un intérêt mé-

(1) Cette courbe du produit brut a été tracée et commentée avec autant de sagacité que de précision par M. de la Gournerie, dans ses remarquables Études économiques SU1' V exploitation des chemins de fer (1880, Gauthier-Villars, p. 127). On y trouve également la montion d<'. la c()\Mbe des débouchés (p. 129), mais sans sa réalisation graphique et sans l'indication de la consiruclion iréoinéii iqnc. fjui perniel d'en déduire la courbe du produit brut.

Comme presque tous les auteurs cités plus haut (p. 3), M. de la Gournerie voit dans ces figures, — non une méthode de calcul (« il n'entreprend pas, dit- il, de résoudre par la géométrie la question des tarifs », p. 129), — mais de simples représentations graphiques, qui n'ont « d'autre avantage que de fixer les idées sur les variations que les recettes et les dépenses éprouvent lorsqu'on modifie les prix ». (p. 130).