CHAPITRE PREMIER

13. Phénomènes périodiques et mouvement harmonique. — Un phénomène est dit périodique lorsque, à des intervalles de temps déterminés, il se reproduit dans des conditions identiques. Si les intervalles de temps sont égaux^ chacun de ces intervalles porte le nom de période du phénomène.

Le mouvement d'un pendule est un phénomène périodique; celui d'un balancier également. Le mouvement uniforme d'une roue est aussi un phénomène périodique, parce qu'un point <Iuelconque de cette roue, mais toujours le même,, se trouve toujours dans une position identique à des intervalles de temps ^gaux correspondant à un tour complet. Si un pendule effectue une oscillation complète (c'est-à-dire deux oscillations simples) «n une seconde, on dit que la période du phénomène est de 1 seconde. Si la roue considérée a une vitesse angulaire de 10 tours par seconde, la période du phénomène est de 1/10* de seconde et le nombre 10 qui exprime combien de fois il se • produit de périodes dans l'unité de temps (la seconde) est ^^^e\é fréquence du phénomène périodique. Pour le pendule, la fréquence est 1 et pour la roue la fréquence est 10.

Soient deux phénomènes périodiques de môme période, mais se produisanirrun suivant une circonférence et l'autre suivant une ligne droite que l'on admet être un des diamètres de la

FiG. 7.

circonférence. Soient, par exemple, deux points Pet P^ [fig. 7)^ le premier animé d'un mouvement uniforme etFautre se déplaçant le long du diami!^tre, h la condition de se trouver constamment sur la perpendiculaire abaissée du point P sur le diamètre. Un simple examen montre que ce double phénomène-

se produit*à peu près exactement dans la plupart des moteurs à vapeur, en admettant que la course du piston s'effectue théoriquement suivant le diamètre de la circonférenced.^crite par le bouton de la manivelle ; du reste, le mouvement de P| est celui dont nous semblerait animé le point P si on le regardait en plaçant Tœil dans le plan du mouvement. La nature du mouvement de P^ (tête de la tige du piston) est facile à comprendre : ce point se déplace suivant le diamètre AB tantôt en avant, tantôt en arrière, mais avec une vitesse qui varie constamment. Celte vitesse est nulle lorsque le point P^ arrive en A ainsi que lorsqu'il arrive en B; elle est maximum au moment où ce point P^ arrive au centre de la circonférence. Ce mode de mouvement, particulièrement intéressant en ce qui concerne cette étude, est appelé motivement harmonique et une démonstration des plus simples (à laquelle du reste le simple bon sens peut suppléer) montre que la vitesse de Pj varie à chaque instant d'après la distance verticale qui sépare P de P, ; autrement dit la vitesse est proportionnelle au segment vertical PP|.

Un simple tra^îé graphique permet de représenter les varialions, à chaque instant, de la vitesse du point Pi-

On divise le premier quart de la circonférence {/ig, 8) en quatre parties égales : Art, «6, Ac, C(L Comme on le sait, ces qualre arcs sont parcourus par le point P en des temps égaux; quant au point P^, dans les mêmes temps, il se déplace de A en a', de a' en 6', ..., etc., avec une vitesse toujours croissante*

Sur une ligne droite, appelée axe des abscisses, on représente les intervalles de temps par des points équidistants, la distance comprise entre le premier et le deuxième correspondant au temps que met le point P^ pour parcourir l'espace ka'\ celui compris entre le deuxième et le troisième, le temps que met le point P| pour parcourir l'espace a'b' et ainsi de suite.

A l'origine, en A, la vitesse est nulle ; après un temps 1, la vitesse correspond à aa\ segment que l'on reporte sur la verticale élevée par 1 ; après un temps 2, la vitesse correspond à bb\ segment que Ton reporte sur la verticale élevée par 2,,et Ton

Fio. 8.

continue à opérer ainsi pour tous les autres points. La vitesse ne s'accroît pas brusquement, mais elle augmente graduellement : donc, en reliant les points 0, 1', 2', 3', 4' par une ligne continue, on obtieut une représentation très nette des variations de vitesse du point P^ dans son trajet de A vers le centre de la circonférence. A partir du centre et jusqu'en B, cette vitesse va en diminuant et, en opérant graphiquement de la même manière que précédemment, on obtient la courbe 4', 5',6',7',8', symétrique à la précédente et représentant les Variations de vitesse du point Pj dans son trajet depuis le centre jusqu'en B. Arrivé en B, le point P| prend une direction inverse avec des variations de vitesse allant graduellement en augmentant, variations qui sont représentées par une courbe identique ; c'est pourquoi, le sens du mouvement étant inversé, cette courbe est tracée, à partir du temps 8, en dessous de l'axe des temps, indiquant ainsi que les vitesses vont en augmentant et que la

24 LA TECHNIQUE DBS GOURANTS ALTSRNATIFS

direction du mouvement est de sens inverse. Le diagramme {fig. 8) montre également qu'après le temps 16 le point Pj se trouve dans des conditions identiques à celles dans lesquelles il se trouvait au départ, ce qui doit être, parce que le point P, au bout du temps 16, a effectué un tour complet et revient en A.

Au départ de A, le phénomène se reproduit ensuite toujours de la même manfère et la courbe indique la vitesse du point P| à chaque instant, si on la continue indéfiniment le long de Taxe des temps. Cette courbe porte le nom de sinusoïde et c'est cette courbe, construite comme il a été indiqué, qui représente un mouvement harmonique.

Le temps 16 est la période du phénomène et la fréquence dans ce cas est de 1/16%

Le mouvement d'un pendule, les vibrations d'un diapason, d'une corde tendue et de tout corps qui, par suite de son élasticité, entre en oscillation, sont autant d'exemples de mouvements harmoniques.

14, Variation instantanée de la vitesse d'un mobile animé d'un mouvement harmonique. — II est très utile de connaître les diverses valeurs que prend successivement la vitesse d'un mobile animé d'un mouvement harmonique, c'està-dire d'étudier comment cette vitesse varie à chaque instant; autrement dit, il est nécessaire de connaître les valeurs que prend l'accélération de ce mobile.

Si on considère la vitesse du point P^ au moment où il passe par le centre de la circonférence, on voit qu'à ce moment elle est maximum. Cette vitesse est positive ou négative suivant que le point P^ se déplace en avant dans la direction AB ou qu'il se déplace en sens inverse dans la direction BA.

Il y a lieu de remarquer qu'au moment où la vitesse est maximum, eette vitesse reste constante pendant un temps très court T, temps pendant lequel l'augmentation ou la diminution de vitesse, c'est-à-dire l'accélération, est nulle. Donc, comme le montre la figure 9, l'accélération est nulle aux temps 4 et 12.

Par contre, aux temps 8, 16, 24, etc., pendant un temps très court T, la vitesse subit la variation maximum et c'est pourquoi l'accélération atteint alors sa plus grande valeur. Pour les valeurs intermédiaires de la vitesse, Taccélération prend également des. valeurs intermédiaires et Ton démontre que la courbe représentative de l'accélération est une courbe ayant la même allure que celle qui représente les variations de vitesse, c'est-à-dire une sinusoïde. Cette courbe est tracée en pointillé sur la figure 9. Les parties positives de cette nouvelle courbe correspondent aux points de la courbe des variations de la vitesse qui indiquent que cette vitesse augmente et les parties

Fio. 9.

négatives, à ceux qui indiquent que la vitesse diminue. En réalité, à partir du temps 8, la vitesse va en augmentant, mais dans le sens négatif; par suite, l'accélération doit être négative. Enfin, après le temps 12, la vitesse diminue toujours dans le sens négatif, tandis que l'accélération est positive. On peut aussi démontrer que les ordonnées de la courbe de l'accélération sont proportionnelles aux infléchissements de la courbe des variations de vitesse aux points considérés, cet infléchissement étant déterminé par les tangentes trigonométriques des angles que les tangentes géométriques à la courbe forment avec l'axe des temps.

Ces considérations présentent une grande importance et s'appliquent d'une manière générale.

Par suite, l'on peut dire que, chaque fois qiiun phénomène se produit suivant la loi harmonique^ les variations instantanées

de ce phénomène suivent également une loi harmonique dont les points maxima correspondent aux points nuls du phénomène luimême.

Les deux phénomènes ont même période; mais le phénomène des variations instantanées précède ou suit Tautrc avec une différence de phase de 1/4 de période suivant les différents cas. S'il s'agit d'une vitesse obéissant à la loi harmonique, l'accélération précède le phe'nomène de 1/4 de période.

15. Phase d'un phénomène périodique. — Lorsqu'on se trouve en présence, de deux phénomènes périodiques de même nature et ayant même forme et môme période, on donne le nom de différence déphasé^ de l'un par rapportàraiitre,àrintervalle de temps qui sépare le moment oii le premier partant de la valeur nulle commence à prendre une valeur positive du

moment où le second, partant également d'une valeur nulle, commence aussi à prendre une valeur positive.

Soient deux points P et Q [fig. 10) mobiles sur une circonférence, animés tous deux d'un mouvement uniforme et mettant un temps T pour effectuer un tour; la diffé- „ ,. rence de phase d'un des mobiles

FiQ. 10. ^

par rapport à l'autre a pour valeur le temps nécessaire àFun des mobiles pour parcourirrarc correspondant à l'angle 9. Cet angle peutégalementêtrepris comme valeur de la différence de phase. Si le mouvement se produit de droite à gauche, le mobile Q est en retard déphasé sur le mobile P, tandis que ce dernier est en avance de phase sur le mobile Q. On donne plus simplement le nom de phase à l'arc décrit par le mobile en partant du point correspondant à l'origine des temps.

Dans le cas du mouvement harmonique et en ce qui concerne les valeurs de raccélération, il n'est pas difficile de

comprendre que ces valeurs sont celles de la vitesse d'un mobile Q' {fig. 11) animé d'un mouvement harmonique et dont le point correspondant Q (sur la circonférence de rayon OQ) se déplace d'un mouvement uniforme, mais précède toujours le point P de 90**. C'est pourquoi, lorsqu'on dit que deux phéno-" mènes périodiques sont décalés de 90" par rapport au temps, cela signifie que les deux phénomènes sont bien de même nature, mais qu'ils ne passent pas par une valeur nulle au même moment. Dans l'exemple qui vient d'être cité, le relard de P sur Q ou, ce qui revient au même, l'avance de Q sur P, est de 90"^, c'est-à-dire d'un quart de période.

Les diagrammes ci-dessous [fig, 12) sont des exemples de retard de phase.

FiG. 11.

FiG. 12.

i est en retard sur e

de 1/8 de période

phase = —r- =z 45°

i est en retard sur e de 1 /3 de période 360°

phase :

1 est en retard sur e de 1/2 de période

phase irz ^ := 180°

16. Autre manière de représenter un phénomène pério^ dique. — On voit qu'en correspondance avec le temps ou, pour employer une. expression plus correcte, en fonction du temps, les valeurs ou les grandeurs d'un phénomène périodique sont représentées graphiquement par des lignes verticales {ordonnées) comprises entre les points correspondants au

Fio. 13.

temps considéré et une courbe appelée sinusoïde [fig, 13). La plus longue de ces lignes, c'est-à-dire l'ordonnée maximum, est dénommée amplitude du mouvement harmonique et correspond au rayon* de la ^circonférence sur la- ' quelle se déplace le mobile P [fig. 7).

On trace deux circonférences (/î^. 14) ayant un d iamètre égal à l'amplitude <]u mouvement harmonique et dont les centres respectifs sont placés sur une ligne verticale venant rencontrer eno une ligne horizontale et, à l'aide d'une épingle, on fixe en o un fil tendu avec la main que l'on fait tourner lentement, d'un mouvement uniforme, de droite à gauche. On remarque alors qu'en partant de la ligne horizontale h. droite, les longueurs o a augmententgraduellement , de longueur jusqu'à un maximum, puis vont en diminuant jusqu'à zéro pendant le deuxième quart de tour; pendant le parcours des troi-

iîième et quatrième quarts de tour, les mêmes variations de longueur se reproduisent; mais on les considère comme négatives parce qu'elles se trouvent au-dessous de l'horiaiontale. Fixant ensuite sur ce fil tendu, à une distance de o égale à l'amplitude, une pointe P, si l'on compare le tracé obtenu en faisant tourner lentement et d'un mouvement uniforme le fil de droite à gauche autour du centre o avec le tracé donné par

Fio. 14.

la figure 8, on constate que les longueurs successives de la ligne oa représentent la vitesse du point P| correspondant à ces diverses positions.

Enfin, au centre o on fixe deux fils au lieu d'un (ce que Ton réalise en prenant un fil de longueur double dont les deux extrémités sont libres, le milieu étant à cheval sur l'épingle), et on les maintient écartés Tun de* l'autre de manière à ce qu'ils forment entre eux un angle constant dont la valeur est © [fig. 15) ; en faisant tourner ^^^ ^^

les deux fils lentement et d'un mouvemeiît uniforme de droite à gauche, ils indiquent les valeurs successives de la vitesse de deux points animés d'un mouvement harmonique identique, mais décalés Tûn par rapport à l'autre du temps correspondant à l'angle ç.