QAR

Sr 1-6 AL t D CEV.167) de + Ho AToNcos 1e TN EUR RE D ArPCSTNn © (4 À TR (OR ER PONT t+t,

Ces mouvements vont nous permettre de faire disparaftre les discontinuités de Pression qui apparaissent en dehors de l'aile, sans modifier Les conditions aux limites sur l'aile elle-même.

Prenons, par exemple, le cas d'une plaque ayant la forme en plan, indiquée par la figure 88. Y étant l'angle de flèche, on posera, comme > Atordinaire

B coté Y SN :

cos 8

On suppose que le cône de Mach A ne coupe pas le segment O0', mais que le cône de Mach de O coupe le segment AA', au point M. On obtiendra, d'après ce qui a été dit plus haut, un écoulement satisfaisant aux conditions aux limites sur la portion de l'aile y “0, en superposant un écoulement conique de sommet O, de génératrices limites OA, OB, un écoulement de sommet A, de génératrices limites AA', AO, et en retranchant l'écoulement autour d'une plaque d'envergure infinie ayant AO comme bord d'attaque. Mais alors la région M PS AS est une zone de discontinuité pour la pression. Si Li représente l'autre fénératricerdu cône de Mach de pa dans x, CE, les pressions qui sont obtenues dans la région MAP,

seront ainsi erronées.

On obtiendra le résultat cherché en superposant, à l'écoulement précédent un écoulement Schématisé par

S (M, É ru) :

Ua’ formuie dans laquelle DA Q) sin 0 (EM. cos 8 U = ARC Sin —— FEU Bnsin 0 DE ÉTÉ +217. ces 6) NES ne le ; 4 E + n, cos e)

sANM'estien) M, te a tn A n, (1- cos chere

Le coefficient de pression‘ l'dans la région M A' P, est donné par la formule suivante (y* est négatif)

RE RE Re CR ——— (1) On trouvera Annexe n°6, le calcul explicite de ce coefficient de pression et quelques brèves remrques importantes sur certaines particularités qui se présenterit dans des problèmes analogues.

out 2 sin 8 (x-y* cos 0) É CHERE (1+c0S CHR DURE Lo pe ie sin +-ArCc'stn | p 6 sin 8 | T Vx (x-2 y“cos 0) 2 4 se à 9)

(1V.68) ar NE ME RE AR Re me x E- + os 8 sin 6 + cos 8) »

DA delai Date le Et re Li ER ER ReSEE

n°, DS PUS 7 E(E+2 n, cos 0

nt 1-cos 8) On vérifie bien,.-en particulier,wquerde ce s'annule, pour y* = UPE c'est-

dire sur lesbord AA!

Cette formule, on le voit, est assez compliquée. Nous nous contenterons d'exa-— miner le cas où Ê = ©. La formule présente alors une forme indéterminée qu'il est d'ailleurs facile de lever, en développant, jusqu'au premier ordre inclus (en 0}, les termes du crochet. Il convient, dans l'intégrale, d'effectuer une intégration par parties, avant de faire ce développement.

Le résultat est alors notablement plus simple; on trouve

%-2{No +ÿ ) 2 + (IV.69) ce = = — ————————— + — É 7h US 2 | sin nr À Arte Ar ñ L'ÉUESS ne ) JE

L'intégrale du second membre RE “l'effet de bout!-den tale) AAMAITE premier terme représentant tout simplement le coefficient de pression, dans l'écoulement conique de sommet O l!i,

Commelapplication, nous” allonsrealculer le Le SJObDA INA eMCERtEeMaliRe

ue “HN ee c2 PR te (x+2 577

HAT EN Teat 2 PE ,

quand on pose

M\(2,x,ÉË) désignant la qualité sous le signe , dans la formule (IV.69). L'inté-

grale double se calcule immédiatement (voir la fin du N° PET RU LS CES UE

Pol ea to) 1 DIRE pa (X+2 y

SET -ureni. il *

(1) Si On avait voulu étudier directement le cas où Ô = 0, en appliquant la méthoce précédente, on auraft été conduit à écrire : j

: URTE GE = - : s Rae - Arc sin || ns FE su (MS we os nl Es CS SE AA Be ë ÊT \ x (x=-2y ") ne XV VE Œ+en)

Mais l'intégrale du second meñbre n'a pas de sens, car l'élément différentiel est en Emi /2

Pour lever cette difficulté, i1 faut utiliser la notion:1partie finie" d'un é duite en analyse par M. Hadamard (NOT RErC PA) MO Na Men: effet : Mt en

a | te

CRC]

Quant à l'intégrale triple, on peut l'écrire en changeant l'ordre des inté-

égrations

De, ten ildes no SUCRE CAPES 2 RTE mMe J| Ë (É+2n ) Pen tb l NX RE - 2 Pour calculer la dernière intégrale, on pose Z

RS Re Xe Évre elle s'écrit alors a 1 à US MSA PET SR SELS 2e (MP) TRE (1+t2)2 Rid'envatute:

et se calcule rapidement par résidus.

ET VE De re PARLE er T nr 2 n ÉD es NP ANNR) ee, 2 9 ÿ 2 E2 Ê 2

il suffit donc d'utiliser les résultats

Pour calculer l'intégrale triple,

suivants re FRbL-E) 2 are) il dE = 2 (—+ nn) = —————- Are té :

VE (E+2 n,) nee [2 PR n, ee N 2 2 LT 1- 4 3 2 de

MA NErAn (rs) dE eee ï + : + 6 n, VE += BARS te Are té des .

RE ES Per PRET RE + 2 2 E + D ar 1e. IEEE n) + He este) | EME in2).E7 A 3 n, Ë

L'intégrale triple a donc pour valeur :

RTE Tidpain)t 1 (1420 7 AE ie UPPER EL HW ArTC té —— T ET EN 8 ù 3 8 | n 3 [e) ce qui conduit à la valeur suivante pour le C, cherché 3+10 1 8 (IV.70) œ Lee À EE duc Vas n, + (1+2 n,)? Arc té -—|., p RENS 3 È rt, 3

GD)ESUPLenTe

ie E- 9 E, + : Are sin E 5 2 22 = = re . =

D de Ne ten.

: rt )

PARTS E+n Arc sin LE ——— —— e Ten) 0e ne o :

eu . CE, Q LA

On trouvera, figure 69, la variation du C, en fonction de n +

Comme application, nous avons tracé figure 90 page 166) la variation de

1 de, en fonction du nombre de Mach, pour des plaques ayant la forme en plan