DAME ONE. S PAPE

Remarquons tout d'abord que la solution: du problème général peut toujours être: considérée, comme résultat de la superposition: des solutions d'un: problème W (CNE we (EX) purement portant (w prenant la même valeur —1 2 ___ sur chaque bord de

la coupure) et d'un’ problème purement symétrique (w prenant des valeurs opposées

DRE) 218, (X) : a “ sur chaque bord de 13 coupure). Nous pourrons donc nous restrein=

dre à ces deux types de problèmes. Nous noterons, en outre, que dans le problème purement symétrique, w prend les mêmes valeurs sur les deux bordstdemismcoupures

il prend, par contre, des valeurs opposées dans le cas d'un: problème purement por-: tant.

Une première idée, pour traiter ce problème, consiste à utiliser les solutions

élémentaires trouvées et à les superposer de façon convénable. Par exemple, pour un problème symétrique, considérons une aîle élémentaire, d'envergure infiniment petite, dont l'image dans 1e plan Z est un segment de l'axe réel de longueur À X; situé au voisinage du point X, et soit # = w (X} la valeur correspondante de w les vitesses complexes de cet écoulement sont données par les formules (IIT.21); (III.22), (III.23); étant données les hypothèses faites, on peut écrire, en: dé-: sifnant par AU.(2Z), À V (Z%), AW (3) les vitesses complexes

DL IEC) À HN URŸe LOS OP PE EDR T EX "TA 0p 0) NE NBC ES 2 NV eee lo A X , FE d'El ER Re se ae [ X X-Z AU (Z) = —— — lof AAA r Ê dx | (= PU

On'est amené à écrire la: solution du problème symétrique sous la forme

Fe x d S à k WEsun ne w (E) log: (6-5); (1-8 6) PER, T dE b

({III.30): VOTE wW (E) — ——' lof —| dE - T d'ENTFES STE b IC d à 2 : E Z ë U (Z) = — Dit) Re 2— |d ; r 8 SOCRIPRE LE

les ihtégrales figurant dans ces formules n'ont de sens que si Z% n'est pas sur le segment bc. Si Z est réel et compris entre b et c, il faut les prendre en “partie principale". Pour justifierces formiles y Piment en'oivtre démontrer que la partie réelle de la: fonction W (2), définie par la première formule (III.50): prend bien:la valeur w (X) quand Z est réel (Z=X).

Pouracela Montcalleulenn (Z)'en‘un point dé Z.= X + 1 nn, NN étant positif et petit, en: décomposant l'ihtégrale figurant dans la première formulé (III.30)'en

trois parties ; KE. c X+E W TN EE re an 0) As b X+€ X2E

Ceci! fait, on'choiSit € et n de manière à ce que la dernière-intégrale soit ar. bitrairement voisine de la valeur

On'peut ensuite, en dimihuant, au besoih la borne supéribure, fikéepour m,. choisir ce dernièr nombre pour que

We? an + Hi

ob Jx-E

soit arbitrairement petit. Il n'y a aucune difficulté, puisque la quantité sous Le stiney est contihue en: 7%. Enfih'I peut être rendu arbitrairement voiéth:de

CN Det En

ce qui montre bièn que, si: n est suffisamment petit:

TL Lu «2 |- w (X) est arbitrairement petit, ce qu'il fallait démontrer.

Ce procédé, théoriquement simple, est assez délicat en pratique, car les calculs à faire portent sur des intégrales, à prendre en valeur prihcibale . D'autre part, dans le cas portant, l'applitatidn de cette méthode demanderait la résolution préalable d'une équatibn ihtégrale d'un: type assez compliqué, C'est pourquoi nous préférons donner les méthodes de calcul suivantes; la première utilise les "analogies électriques"; la seconde, purement numérique, ra-' mènera: le calcul numérique à celui: d'une ihtégrale de: PoiSson; or, nous avons donné, au naméro 2.2.7, un: procédé simple et précis pour résoudre un:'tel:pro-' blème.