CHAPITRE PREMIER L'Intuition et la Logique en IVIattiématiques

Il est impossible d'étudier les OEuvres des grands mathématiciens, et même celles des petits,, sans remarquer et sans distinguer deux tendances opposées, ou plutôt deux sortes d'esprits entièrement différents. Les uns sont avant tout préoccupés de la logique; à lire leurs ouvrages, on est tenté de croire qu'ils n'ont avancé que pas à pas, avec la méthode d'un Vauban qui pousse ses travaux d'approche contre une place forte, sans rien abandonner au hasard. Les autres se laissent guider

par l'intuition et font du premier coup des conquêtes rapides, mais quelquefois précaires, ainsi que de hardis cavaliers d'avant-garde.

Ce n'est pas la matière qu'ils traitent qui leur impose l'une ou l'autre méthode. Si l'on dit souvent des premiers qu'ils sont des analystes et si l'on appelle les autres géomètres, cela n'empêche pas que les uns restent analystes, même quand ils font de la Géométrie, tandis que les autres sont encore des géomètres, même s'ils s'occupent d'Analyse pure. C'est la nature même de leur esprit qui les fait logiciens ou intuitifs, et ils ne peuvent la dépouiller quand ils abordent un sujet nouveau.

Ce n'est pas non plus l'éducation qui a développé en eux l'une des deux tendances et qui a étouffé l'autre. On naît mathématicien, on ne le devient pas, et il semble aussi qu^on naît géomètre, ou qu'on naît analyste.

Je voudrais citer des exemples et certes ils ne manquent pas ; mais pour accentuer le contraste, je voudrais commencer par un exemple extrême ; pardon, si je suis obligé de le chercher auprès de deux mathématiciens vivants.

M.Méray veut démontrer qu'une équation binôme a toujours une racine, ou, en termes vulgaires, (ju'on peut toujours subdiviser un angle. S'il est une vérité que nous croyons connaître par intuition directe c'est bien celle-là. Qui doutera qu'un

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angle peut toujours être partagé en un nombre quelconque de parties égales? M. Méray n'en juge pas ainsi ; à ses yeux, cette proposition n'est nullement évidente et pour la démontrer, il lui faut plusieurs pages.

Voyez au contraire M. Klein : il étudie une des questions les plus abstraites de la théorie des fonctions; il s'agit de savoir si sur une surface de Riemann donnée, il existe toujours une fonction admettant des singularités données. Que fait le célèbre géomètre allemand ? Il remplace sa surface de Riemann par une surface métallique dont la conductibilité électrique varie suivant certaines lois. Il met deux de ses points en communication avec les deux pôles d'une pile. Il faudra bien, dit-il, que le courant passe, et la façon dont ce courant sera distribué sur la surface définira une fonction dont les singularités seront précisément celles qui sont prévues par l'énoncé.

Sans doute, M. Klein sait bien qu'il n'a donné là qu'un aperçu : toujours est-il qu'il n'a pas hésité à le publier; et il croyait probablement y trouver sinon une démonstration rigoureuse, du moins je ne sais quelle certitude morale. Un logicien aurait rejeté avec horreur une semblable conception, ou plutôt il n'aurait pas eu à la rejeter, car dans son esprit elle n'aurait jamais pu naître.

Permettez-moi encore de comparer deux hora^

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mes, qui sont l'honneur de la Science française, qui nous ont été récemment enlevés, mais qui tous deux étaient depuis longtemps entrés dans l'immortalité. Je veux parler de M. Bertrand et de M. Hermite. Ils ont été élèves de la même école et en même temps; ils ont subi la même éducation, les mêmes influences; et pourtant quelle divergence ; ce' n'est pas seulement dans leurs . écrits qu'on la voit éclater ; c'est dans leur enseignement, dans leur façon de parler, dans leur aspect même. Dans la mémoire de tous leurs élèves, ces deux physionomies se sont gravées en traits ineffaçables ; pour tous ceux qui ont eu le bonheur de suivre leurs leçons, ce souvenir est encore tout récent; il nous est aisé de l'évoquer.

Tout en parlant, M. Bertrand est toujours en action; tantôt il semble aux prises avec quelque ennemi extérieur, tantôt il dessine d'un geste de la main les figures qu'il étudie. Évidemment, il voit et il cherche à peindre, c'est pour cela qu'il appelle le geste à son secours. Pour M. Hermite, c'est tout le contraire; ses yeux semblent fuir le contact du monde; ce n'c-t pas au dehors, c'est au dedans qu'il cherche la vision de la vérité.

Parmi les géomètres allemands de ce siècle, deux noms surtout sont illustres; ce sont ceux des deux savants qui ont fondé la théorie générale des fonc-

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lions, Weierstrass et Riemann. Weierstrass ramène tout à la considération des séries et à leurs transformations analytiques; pour mieux dire, il réduit l'Analyse à une sorte de prolongement de l'Arithmétique; on peut parcourir tous ses Livres sans y trouver une figure. Riemann, au contraire, appelle de suite la Géométrie à son secours, chacune de ses conceptions est une image que nul ne peut oublier dès qu'il en a compris le sens.

Plus récemment, Lie était un intuitif; on aurait pu hésiter en Usant ses ouvrages, on n'hésitait plus après avoir causé avec lui; on voyait tout de suite qu'il pensait en images. M°^* Kowalevski était une logicienne.

Chez nos étudiants, nous remarquons les mêmes différences; les uns aiment mieux traiter leurs problèmes. « par l'Analyse », les autres « par la Géométrie ». Les premiers sont incapables de « voir dans l'espace », les autres se lasseraient promptement des longs calculs et s'y embrouilleraient.

Les deux sortes d'esprits sont également nécessaires aux progrès de la Science ; les logiciens, comme les intuitifs, ont fait de grandes choses que les autres n'auraient pas pu faire. Qui oserait dire s'il aimerait mieux que Weierstrass n'eût jamais écrit, ou s'il préférerait qu'il n'y eût pas eu de Riemann? L'Analyse et la Synthèse ont donc

toutes deux leur rôle légitime. Mais il est intéressant d'étudier de plus près quelle est dans l'histoire de la Science la part qui revient à l'une et à l'autre.

Chose curieuse I Si nous relisons les Œuvres des anciens, nous serons tentés de les classer tous parmi les intuitifs. Et pourtant la nature est toujours la même, il est peu probable qu'elle ail commencé dans ce siècle à créer des esprits amie de la logique.

Si nous pouvions nous replacer dans le courant des idées qui régnaient de leur temps, nous reconnaîtrions que beaucoup de ces vieux géomètres étaient analystes parleurs tendances. Euclide, par exemple, a élevé un échafaudage savant où ses contemporains ne pouvaient trouver de défaut. Dans cette vaste construction, dont chaque pièce, pourtant, est due à rintuition, nous pouvons encore aujourd'hui sans trop d'efforts reconnaître l'œuvre d'un logicien.

Ce ne sont pas les esprits qui ont changé, ce sont les idées ; les esprits intuitifs sont restés les mêmes ; mais leurs lecteurs ont exigé d'eux plus de concessions.

Quelle est la raison de cette évolution?

l'intuition et la logique en mathématiques 17

ïl n'est pas difficile de la découvrir. L'intuition ne peut nous donner la rigueur, ni même la certitude, on s'en est aperçu de plus en plus.

Citons quelques exemples. Nous savons qu'il existe des fonctions continues dépourvues de dérivées. Rien de plus choquant pour l'intuition que cette proposition qui nous est imposée par la logique. Nos pères n'auraient pas manqué de dire : « 11 est évident que toute fonction continue a une dérivée, puisque toute courbe a une tangente. »

Comment l'intuition peut-elle nous tromper à ce point? C'est que quand nous cherchons à im-oginer une courbe, nous ne pouvons pas nous la représenter sans épaisseur; de même, quand nous nous représentons une droite, nous la voyons sous la forme d'une bande rectiligne d'une certaine largeur. Nous savons bien que ces lignes n'ont pas d'épaisseur; nous nous efforçons de les imaginer de plus en plus minces et de nous rapprocher ainsi de la limite ; nous y parvenons dans une certaine mesure, mais nous n'atteindrons jamais cette limite.

Et alors il est clair que nous pourrons toujours nous représenter ces deux rubans étroits, Tun rectiligne, l'autre curviligne, dans une position telle qu'ils empiètent légèrement l'un sur l'autre sans se traverser.

Nous serons ainsi amenés, à moins d'être aver-

Us par une analyse rigoureuse, à conclure qu'une courbe a toujours une tangente.

Je prendrai comme second exemple le principe de Dirichlet sur lequel reposent tant de théorèmes de physique mathématique ; aujourd'hui on l'établit par des raisonnements très rigoureux mais très longs; autrefois, au contraire, on se contentait d'une démonstration sommaire. Une certaine intégrale dépendant d'une fonction arbitraire ne peut jamais s'annuler. On en concluait qu'elle doit avoir un minimum. Le défaut de ce raisonnement nous apparaît immédiatement, parce que nous employons le terme abstrait de fonction et que nous sommes familiarisés avec toutes les singularités que peuvent présenter les fonctions quand on entend ce mot dans le sens le plus général. - Mais il n'en serait pas de même si l'on s'était servi d'images concrètes, si l'on avait, par exemple, considéré cette fonction comme un potentiel électrique ; on aurait pu croire légitime d'affirmer que l'équilibre électrostatique peut être atteint. Peut-être cependant une comparaison physique aurait éveillé quelques vagues défiances. Mais si l'on avait pris soin de traduire le raisonnement dans le langage de la Géométrie, intermédiaire entre celui de l'Analyse et celui de la Physique, ces défiances ne se seraient sans doute pas produites, et peut-être pourrait-on ainsi, même

l'intuition et la logique en mathématiques 19

aujourd'hui, tromper encore bien des lecteurs non prévenus.

L'intuition ne nous donne donc pas la certitude. Voilà pourquoi l'évolution devait se faire ; voyons maintenant comment elle s'est faite.

On n'a pas tardé à s'apercevoir que la rigueur ne pourrait pas s'introduire dans les raisonnements, si on ne la faisait entrer d'abord dans les définitions.

Longtemps les objets dont s'occupent les mathématiciens étaient pour la plupart mal définis ; on croyait les connaître, parce qu'on se les représentait avec les sens ou l'imagination ; mais on n'en avait qu'une image grossière et non une idée précise sur laquelle le raisonnement pût avoir prise

C'est là d'abord que les logiciens ont dû porter leurs efforts.

Ainsi pour le nombre incommensurable.

L'idée vague de continuité, que nous devions à l'intuition, s'est résolue en un système compliqué d'inégalités portant sur des nombres entiers.

Par là, les difficultés provenant des passages à la limite, ou de la considération des infiniment petits, se sont trouvées définitivement éclaircies.

II ne reste plus aujourd'hui en Analyse que des -nombres entiers ou des systèmes finis ou infinis ae nombres entiers, reliés entre eux par un réseau de relations d'égalité ou d'inégalité.

Les Mathématiques^ comme on l'a dit, se sont

arithmétisées.

Une première question se pose. Cette évolution est-elle terminée?

Avons-nous atteint enfin la rigueur absolue ? A chaque stade de l'évolution nos pères croyaient aussi ravoir atteinte. S'ils se trompaient, ne nous trompons-nous pas comme eux?

Nous croyons dans nos raisonnements ne plus faire appel à l'intuition ; les pMosophes nous diront que c'est là une illusion. La logique toute pure ne nous mènerait jamais qu'à des tautologies ; elle ne pourrait créer du nouveau ; ce n'est pas d'elle toute seule qu'aucune science peut sortir.

Ces philosophes ont raison dans un sens ; pour faire l'Arithmétique, comme pour faire la Géométrie, ou pour faire une science quelconque, il faut autre chose que la logique pure. Cette autre chose, nous n'avons pour la désigner d'autre mot que celui d'intuition. Mais combien d'idées différentes se cachent sous ces mêmes mots?

Comparons ces quatre axiomes :

i" Deux quantités égales à uae troiaième sgnt égales entre elles ;

l'intuition eî la logique en mathématiques 21

2° Si un théorème est vrai du nombre 1 et si l'on démontre qu'il est vrai de r -f 1, pourvu qu'il le soit de n, il sera vrai de tous les nombres entiers ;

3" Si sur une droite le point G est entre A et B et le point D entre A et C, le point D sera entre A et B;

4° Par un point on ne peut mener qu'une parallèle à une droite.

Tous quatre doivent être attribués à l'intuition, et cependant le premier est l'énoncé d'une des règles de la logique formelle ; le second est un véritable jugement synthétique à priori, c'est le fondement de l'induction mathématique rigoureuse , le Iroisième est un appel à l'imagination ; le quatrième est une définition déguisée.

L'intuition n'est pas forcément fondée sur le témoignage des sens ; les sens deviendraient bientôt impuissants; nous ne pouvons, par exemple, nous représenter le chilogone, et cependant nous raisonnons par intuition sur les polygones en général, qui comprennent le chilogone comme cas parj ticulier.

Vous savez ce que Poncelet entendait par le principe de continuité. Ce qui est vrai d'une quantité réelle, disait Poncelet, doit l'être d'une quantité imaginaire; ce qui est vrai de l'hyperbole dont

les asymptotes sont réelles, doit donc être vrai de l'ellipse dont les asymptotes sont imaginaires. Poncelet était Tuu des esprits les plus intuitifs de ce siècle ; il l'était avec passion, presque avec ostentation; il regardait le principe de continuité comme une de ses conceptions les plus hardies, et cependant ce principe ne reposait pas sur le témoignage des sens; c'était plutôt contredire ce témoignage que d'assimiler Thyperbole à l'ellipse. Il n'y avait là qu'une sorte de généralisation hâtive et instinctive que je ne veux d'ailleurs pas défendre.

Nous avons donc plusieurs sortes d'intuitions ; d'abord, l'appol aux sens et à l'imagination; ensuite, la généralisation par induction, calquée, pour ainsi dire, sur les procédés des sciences expérimentales; nous avons enfin l'intuition du nombre pur, celle d'où est sorti le second des axiomes nue j'énonçais tout à l'heure et qui peut engendrer le véritable raisonnement mathématique.

Les deux premières ne peuvent nous donner la certitude, je l'ai montré plus haut par des exemples ; mais qui doutera sérieusement de la troisième , qui doutera de l'Arithmétique?

Or, dans l'Analyse d'aujourd'hui, quand on veut se donner la peine d'être rigoureux, il n'y a plus que des syllogismes ou des appels à cette intuition du nombre pur, la seule qui ne puisse nous

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tromper. On peut dire qu'aujourd'hui la rigueur absolue est atteinte.

Les philosophes font encore une autre objec» tion : « Ce que vous gagnez en rigueur, disent-ils, vous le perdez en objectivité. Vous ne pouvez vous élever vers votre idéal logique qu'en coupant les liens qui vous rattachent à la réalité. Votre Science est impeccable, mais elle ne peut le rester qu'en s'enfermant dans une tour d'ivoire et en s'interdisant tout rapport avec le monde extérieur. Il faudra bien qu'elle en sorte dès qu'elle voudra tenter la moindre application. »

Je veux démontrer, par exemple, que telle propriété appartient à tel objet dont la notion me semble d'abord indéfinissable, parce qu'elle est intuitive. J'échoue d'abord ou je dois me contenter de démonstrations par à peu près ; je me décide enfin à donner à mon objet une définition précise, ce qui me permet d'établir cette propriété d'une manière irréprochable.

« Et après? disent les philosophes, il reste encore à montrer que l'objet qui répond à cette définition est bien le môme que l'intuition vous a fait connaître ; ou bien encore que tel objet réel et concret dont vous croyiez reconnaître immédiatement

24 LA VALILlK iJ-^ LA SCIE.^ÎGE

la confurmiléavec votre idée intuitive, répond bien à votre définition nouvelle. C'est alors seulement que vous pourrez affirmer qu'il jouit de la propriété en question. Vous n'avez fait que déplacer la difficulté. »

Cela n'est pas exact ; on n'a pas déplacé la difficulté, on Ta divisée. La proposition qu'il s'agissait d'établir se composait en réalité de deux vérités différentes, mais que l'on n'avait pas distinguées tout d'abord. La première était une vérité mathématique et elle est maintenant rigoureusement établie. La seconde était une vérité expérimentale. L'expérience seule peut nous apprendre que tel objet réel et concret répond ou ne répond pas à telle définition abstraite. Cette seconde vérité n'est pas démontrée mathématiquement, mais elle ne peut pas l'être, pas plus que ne peuvent l'être les lois empiriques des Sciences physiques et naturelles. Il serait déraisonnable de demander davantage.

ïSh bien ! n'est-ce pas un grand progrès d'avoir distingué ce qu'on a'vait longtemps confondu à tort?

Est-ce à dire qu'il n'y a rien à retenir de cette objection des philosophes? Ce n'est pas cela que je veux dire ; en devenant rigoureuse, la Science mathématique prend un caractère artificiel qui frappera tout le monde ; elle oublie ses origines

l'intuitiO'N et la logique en mathématiques 25

historiques; on Toit comment les questions peuvent se résoudre, on ne voit plus comment et pourquoi elles se posent.

Cela nous montre que la logique ne suffit pas ; que la Science de la démonstration n'est pas la Science tout entière et que iïntuition doit conserver son rôle comme complément, j'allais dire comme contrepoids ou comme contrepoison de la logique.

J'ai déjà eu l'occasion d'insister sur la place que doit garder l'intuition dans l'enseignement des Sciences mathématiques. Sans elle, les jeunes esprits ne sauraient s'initier à l'intelligence des Mathématiques; ils n'apprendraient pas à les aimer et n'y verraient qu'une vaine logomachie; sans elle surtout, ils ne deviendraient jamais capables de les appliquer.

Mais aujourd'hui, c'est avant tout du rôle de l'intuition dans la Science elle-même que je voudrais parler. Si elle est utile à l'étudiant, elle l'est plus encore au savant créaL';i-r.

Nous cherchons la réalité, mais qu est-ce que la réalité ?

Les physiologistes nous apprennent que les orga-

26 LA VALEUR DE LA SCIENGl

nismes sont formés de cellules; les chimistes ajoutent que les cellules elles-mêmes sont formées d'atomes. Cela veut-il dire que ces atomes ou que ces cellules constituent la réalité, ou du moins la seule réalité? La façon dont ces cellules sont agencées et d'où résulte l'unité de l'individu, n'est-ellc pas aussi une réalité, beaucoup plus intéressante que celle des éléments isolés, et un naturaliste, qui n'aurait jamais étudié l'éléphant qu'au microscope, croirait-il connaître suffisamment cet animal?

Eh bien! en Mathématiques, il y a quelque chose d'analogue. Le logicien décompose pour ainsi dire chaque démonstration en un très grand nombre d'opérations élémentaires; qpand on aura examiné ces opérations les unes après les autres et qu'on aura constaté que chacune d'elles est correcte, croira-t-on avoir compris le véritable sens de la démonstration ? L'aura-t-on compris même quand, [)ar un effort de mémoire, on sera devenu capable de répéter cette démonstration en reproduisant toutes ces opérations élémentaires dans Tordre même où les avait rangées l'inventeur?

Évidemment non, nous ne posséderons pas encore la réalité tout enlière, ce je ne sais quoi qui lait l'unité de la démonstration nous i'ohappera complètement.

L'Analyse pure met à notre disposition une

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foule de procédés dont elle nous garantit l'infaillibilité ; elle nous ouvre mille chemins différents où nous pouvons nous engager en toute confiance ; nous sommes assurés de n'y pas rencontrer d'obstacles ; mais, de tous ces chemins, quel est celui qui nous mènera le plus promptement au but? Qui nous dira lequel il faut choisir? Il nous faut une faculté qui nous fasse voir le but de loin, et, cette faculté, c'est l'intuition. Elle est nécessaire à l'explorateur pour choisir sa route, elle ne l'est pas moins à celui qui marche sur ses traces et qui veut savoir pourquoi il l'a choisie.

Si vous assistez à une partie d'échecs, il ne vous suffira. pas, pour comprendre la partie, de savoir les règles do la marche des pièces. Cela vous permettrait seulement de reconnaître que chaque coup a été joué conformément à ces règles et cet avantage aurait vraiment bien peu de prix. C'est pourtant ce que ferait le lecteur d'un livre de Mathématiques, s'il n'était que logicien. Comprendre la partie, c'est tout autre chose; c'est savoir pourquoi le joueur avance telle pièce plutôt que telle autre qu'il aurait pu faire mouvoir sans violer les règles du jeu. C'est apercevoir la raison intime qui fait de cette série de coups successifs une sorte de tout organisé, A plus forte raison, cette faculté est-elle nécessaire au joueur lui-même, c'est-àdire à rinventeur.

Laissons là cette comparaison et revenons aux Mathématiques.

Voyons ce qui est arrivé, par exemple pour l'idée de fonction continue. Au début, ce n'était qu'une image sensible, par exemple, celle d'un trait continu tracé à la craie sur un tableau noir. Puis elle s'est épurée peu à peu, bientôt on s'en est servi pour construire un système compliqué 4'inégalités, qui reproduisait pour ainsi dire toutes les lignes de l'image primitive ; quand cette construction a été terminée, on a décintré, pour ainsi dire, on a rejeté cette représentation grossière qui lui avait momentanément servi d'appui et qui était désormais inutile ; il n'est plus resté que la construction elle-même, irréprochable aux yeux du logicien. Et cependant si l'image primitive avait totalement disparu de notre souvenir, comment devinerions-nous par quel caprice toutes ces inégalités se sont échafaudées de cette façon les unes sur les autres ?

Vous trouverez peut-être que j'abuse des comparaisons ; passez-m'en cependant encore une. Vous avez vu sans doute ces assemblages délicats d'aiguilles siliceuses qui forment le squelette de certoiaes éponges. Quand la matière organique a dispara, il ne reste qu'une frêle et élégante dentelle. Il n'y a là, il est vrai, que de la silice, mais, ce qui est intéressant, c'est la forme qu'a prise cette

l'intuition et r.A logique en mathématiques 29

silice, et nous ne pouvons la comprendre si nous ne connaissons pas l'éponge vivante qui lui a précisément imprimé cette forme. C'est ainsi que les anciennes notions intuitives de nos pères, même lorsque nous les avons abondonnées, impriment encore leur forme aux échafaudages logiques que nous avons mis à leur place.

Celte vue d'ensemble est nécessaire à l'inventeur; elle est nécessaire également à celui qui veut réellement comprendre l'inventeur; la logique peut-elle nous la donner ?

Non ; le nom que lui donnent les mathématiciens suffirait pour le prouver. En Mathématiques, la logique s'appelle Analyse et analyse veut dire division, dissection. Elle ne peut donc avoir d'autre outil que le scalpel et le microscope.

Ainsi, la logique et l'intuition ont chacune leur rôle nécessaire. Toutes deux sont indispensables. La logique qui peut seule donner la certitude est l'instrument de la démonstration : l'intuition est l'instrument de l'invention.

Mais, au moment de formuler cette conclusion, je suis pris d'un scrupule.

Au début, j'ai distingué deux sortes d'esprits

mathématiques, les uns logiciens et analystes, les autres intuitifs et géomètres. Eh bien, les analystes aussi ont été des inventeurs. Les noms que j'ai cités tout à l'heure me dispensent d'insister.

Il y a là une contradiction au moins apparente qu'il est nécessaire d'expliquer.

Croit-on d'abord que ces logiciens ont toujours procédé du général au particulier, comme les règles de la logique formelle semblaient les y obliger? Ce n'est pas ainsi qu'ils auraient pu étendre les frontières de la Science ; on ne peut faire de conquête scientifique que par la généralisation.

Dans un des chapitres de Science et Hypothèse^ j'ai eu l'occasion d'étudier la nature du raisonnement mathématique et j'ai montré comment ce raisonnement, sans cesser d'être absolument rigoureux, pouvait nous élever du particulier au général par un procédé que j'ai appelé Vinduction mathématique.

C'est par ce procédé que les analystes ont fait progresser la Science et si Ton examine le détail même de leurs démonstrations, on l'y retrouvera à chaque instant à côté du syllogisme classique d'Aristote.

Nous voyons donc déjà que les analystes ne sont pas simplement des faiseurs de syllogismes à la façon des scolastiques.

l'intuition ht la logique en mathématiques 31

Croira-t-on, d'autre part, qu'ils ont toujours marché pas à pas sans avoir la vision du but qu'ils voulaient atteindre ? Il a bien fallu qu'ils devinassent le chemin qui y conduisait, et pour cela ils ont eu besoin d'un guide.

Ce guide, c'est d'abord l'analogie.

Par exemple, un des raisonnements chers aux analystes est celui qui est fondé sur l'emploi des fonctions majorantes. On sait qu'il a déjà servi à résoudre une foule de problèmes ; en quoi consiste alors le rôle de l'inventeur qui veut l'appliquer à un problème nouveau? Il faut d'abord qu'il reconnaisse l'analogie de cette question avec celles qui ont déjà été résolues par cette méthode; il faut ensuite qu'il aperçoive en quoi cette nouvelle question diffère des autres, et qu'il en déduise les modifications qu'il est nécessaire d'apporter à la méthode.

Mais comment aperçoit-on ces analogies et ces différences?

Dans l'exemple que je viens de citer, elles sont presque toujours évidentes, mais j'aurais pu en trouver d'autres où elles auraient été beaucoup plus cachées ; souvent il faut pour les découvrir une perspicacité peu commune.

Les analystes, pour ne pas laisser échapper ces analogies cachées, c'est-à-dire pour pouvoir être inventeurs, doivent, sans le secours des sens et de

l'imagination, avoir le sentiment direct de ce qui fait Tunité d'un raisonnement, de ce qui en fait pour ainsi dire l'àme et la vie intime.

Quand on causait avec M. Hermite; jamais il n'évoquait une image sensible, et pourtant vous vous aperceviez bientôt que les entités les plus abstraites étaient pour lui comme des êtres vivants. Il ne les voyait pas, mais il sentait qu'elles ne sont pas un assemblage artificiel, et qu'elles ont je ne sais quel principe d'unité interne.

Mais, dira-t-on, c'est là encore de l'intuition. Conclurons-nous que la distinction faite au début n'était qu'une apparence, qu'il n'y a qu'une sorte d'esprits et que tous les mathématiciens sont des intuitifs, du moins ceux qui sont capables d'inventer?

Non, notre distinction correspond à quelque chose de réel. J'ai dit plus haut qu'il y a plusieurs espèces d'intuition. J'ai dit combien l'intuitiop du nombre pur, celle d'où peut sortir l'induction mathématique rigoureuse, diffère de l'intuition sensible dont l'imagination proprement dite fait tous les frais.

L'abîme qui les sépare est-il moins profond qu'il ne paraît d'abord? Reconnaîtrait-on avec un peu d'attention que cette intuition pure elle-même ne saurait se passer du secours des sens ? C'est là l'affaire du psychologue et du métaphysicien et je ne discuterai pas cette question.

l'intuition et la logique en mathématiques 33

Mais il suffit que la chose soit douteuse pour que je sois en droit de reconnaître et d'affirmer une divergence essentielle entre les deux sortes d'intuition ; elles n'ont pas le même objet et semblent mettre en jeu deux facultés différentes de notre âme ; on dirait de deux projecteurs braqués sur deux mondes étrangers l'un à l'autre.

C'est l'intuition du nombre pur, celle des formes logiques pures qui éclaire et dirige ceux que nous avons appelés analystes.

C'est elle qui leur permet non seulement de démontrer, mais encore d'inventer. C'est par elle qu'ils aperçoivent d'un coup d'œil le plan général d'un édifice logique, et cela sans que les sens paraissent intervenir.

En rejetant le secours de l'imagination, qui, nous l'avons vu, n'est pas toujours infaillible, ils peuvent avancer sans crainte de se tromper. Heureux donc ceux qui peuvent se passer de cet appui ! Nous devons les admirer, mais combien ils sont rares !

Pour les analystes, il y aura donc des inventeurs. mais il y en aura peu.

La plupart d'entre nous, s'ils voulaient voir de loin par la seule inluition pure, se sentiraient bientôt pris de vertige. Leur faiblesse a besoin d'un bâton plus solide et, malgré les exceptions

dont noire venons de parler, il n'en est pas moins vrai que l'intuition sensible est en Mathématiques l'instrument le plus ordinaire de l'invention. A propos des dernières réflexions que je viens de faire, une question se pose que je n'ai le temps, ni de résoudre, ni même d'énoncer avec les développements qu'elle comporterait.

Y a-t-il lieu de faire une nouvelle coupure et do distinguer parmi les analystes ceux qui se servent surtout de cette intuition pure ou ceux qui se préoccupent d'abord de la logique formelle?

M. lltrmite, par exemple, que je citais tout à l'heure, ne peut être classé parmi les géomètres qui font usage de l'intuition sensible; mais il n'est pas non plus un logicien proprement dit. Il ne cache pas sa répulsion pour les procédés purement déductifs qui parlent du général pour aller au particulier.

lant que l'on ne sort pas du domaine de ia conscience, ta notion du temps est relativement claire. Non seulement nous distinguons sans peine la sensation présente du souvenir des sensations passées ou de la prévision des sensations futures; mais nous savons parfaitement ce que nous voulons dire quand nous affirmons que, de deux phénomènes conscients dont nous avons conservé le souvenir, l'un a été antérieur à l'autre; ou bien que, de deux phénomènes conscients prévus, l'un sera antérieur à l'autre.

Quand nous disons que deux faits conscients sont simultanés, nous voulons dire qu'ils se pénètrent profondément l'un l'autre, de telle sorte que l'analyse ne peut les séparer sans les mutiler.

L'ordre dans lequei nous rangeons les phénomènes conscients ne comporte aucun arbitraire. Il nous est imposé et nous n'y pouvons rien changer.

Je n'ai qu'une observation à ajouter. Pour qu'un ensemble de sensations soit devenu un souvenir susceptible d'être classé dans le temps, il faut qu'il ait cessé d'être actuel, que nous ayons perdu le sens de son infinie complexité, sans quoi il serait resté actuel. Il faut qu'il ait pour ainsi dire cristallisé autour d'un centre d'associations d'idées qui sera comme une sorte d'étiquette. Ce n'est que quand ils auront ainsi perdu toute vie que nous pourrons classer nos souvenirs dans le temps, comme un botaniste range dans son herbier les fleurs desséchées.

Hais ces étiquettes ne peuvent être qu'en nombre fini. A ce compte, le temps psychologique serait discontinu. D'où vient ce sentiment qu'entre deux instants quelconques il y a d'autres instants? Nous classons nos souvenirs dans le temps, mais nous savons qu'il reste des cases vides. Comment cela se pourrait-il si le temps n'était une forme préexistant dans notre esprit? Gomment saurionsnous qu'il y a des cases vides, si ces cases ne nous étaient révélées que par leur contenu?

Mais ce n'est pas tout ; dans cette forme nous voulons faire rentrer non seulement les phénomènes (le notre conscience, mais ceux dont les autres consciences sont le théâtre. Bien plus, nous voulons y faire rentrer les faits physiques, ces je ne sais quoi dont nous peuplons l'espace et que nulle conscience ne voit directement. Il le faut bien car sans cela la science ne pourrait exister. En un mot, le temps psychologique nous est donné et nous voulons créer le temps scientifique et physique. C'est là que la difficulté commence, ou plutôt les difficultés, car il y en a deux.

Voilà deux consciences qui sont comme deux mondes impénétrables l'un à l'autre. De quel droit voulons-nous les faire entrer dans un même moule, les mesurer avec la même toise ? N'est-ce pas comme si l'on voulait mesurer avec un gramme ou peser avec un mètre?

Et d'ailleurs, pourquoi parlons-nous de mesure? Nous savons peut-être que tel fait est antérieur à tel autre, mais non de combien il est antérieur.

Donc deux difficultés :

1° Pouvons -nous transformer le temps psychologique, qui est qualitatif, en un temps quantitatif?

2" Pouvons-nous réduire à une même mesui-e des faits qui se passent dans des mondes différents?

La première difficulté a été remarquée depuis "longtemps; elle a fait l'objet de longues discussions et on peut dire que la question est tranchée.

Nous n'avons pas Vintuition directe de Végalité de deux intervalles de temps. Les personnes qui croient posséder cette intuition sont dupes d'une illusion.

Quand je dis, de raidi à une heure, il s'est écoulé le même temps que de deux heures à trois heures, quel sens a cette affirmation ?

La moindre réflexion montre qu'elle n'en a aucun par elle-même. Elle n'aura que celui que je voudrai bien lui donner, par une définition qui comportera certainement un certain degré d'arbitraire.

Les psychologues auraient pu se passer de cette définition; les physiciens, les astronomes ne le pouvaient pas ; voyons comment ils s'en sont tirés.

Pour mesurer le temps, ils se servent du pendule et ils admettent par définition que tous les

battements de ce pendule sont d'égale durée. Mais ce n'est là qu'une première approximation; la température, la résistance de l'air, la pression barométrique font varier la marche du pendule. Si on échappait à ces causes d'erreur, on obtiendrait une approximation beaucoup plus grande, mais ce ne serait encore qu'une approximation. Des causes nouvelles, négligées jusqu'ici, électriques, magnétiques ou autres, viendraient apporter de petites perturbations.

En fait, les meilleures horloges doivent être corrigées de temps en temps, et les corrections se font à l'aide des obser\'ations astronomiques ; on s'arrange pour que l'horloge sidérale marque la même heure qnand la même étoile passe au méridien. En d'aulres termes, c'est le jour sidéral, c'est-à-dire la durée de rotation de la terre, qui est l'unité constante du temps. On admet, par une définition nouvelle substituée à celle qui est tirée des battements du pendule, que deux rotations complètes de la terre autour de son axe ont même durée.

Cependant les astronomes ne se sont pas contentés encore de cette définition. Beaucoup d'entre eux pensent que les marées agissent comme un frein sur notre globe, et que la rotation de la terre devient de plus en plus lente. Ainsi s'expliquerait l'accélération apparente du mouvement de la lune.

qui paraîtrait aller plus vite que la théorie ne le lui permet parce que notre horloge, qui est la terre, retarderait.

Tout cela importe peu, dira-t-on, sans doute nos instruments de mesure sont imparfaits, mais il suffît que nous puissions concevoir un instrument parfait. Cet idéal ne pourra être atteint, mais ce sera assez de l'avoir conçu et d'avoir ainsi mis la rigueur dans la définition de l'unité de temps.

Le malheur est que cette rigueur ne s'y ren contre pas. Quand nous nous servons du pendule pour mesurer le temps, quel est le postulat que nous admettons implicitement?

Cest que la durée de deux phénomènes identiques est la même; ou, si l'on aime mieux, que les mêmes causes mettent le même temps à produire les mêmes effets.

Et c'est là au premier abord une bonne définition de l'égalité de deux durées.

Prenons-y garde cependant. Est-il impossible que l'expérience démente un jour notre postulat?

Je m'explique ; je suppose qu'en un certain point du monde se passe le phénomène a, amenant pour conséquence au bout d'un certain temps l'effet a'. En un autre point du monde très éloigné du pre-

mier, se passe le phénomène % qui amène comme conséquence l'effet p'. Les phénomènes a et p sont simultanés, de même que les effeis a! et g'.

A une époque ultérieure, le phénomène a se reproduit dans des circonstancss à peu près identiques et simultanément le phénomène ^ se reproduit aussi en un point très éloigné du monde et à peu près dans les mêmes circonstances.

Les effets a' et p' vont aussi se reproduire. Je suppose que l'effet «' ait lieu sensiblement avant l'effet fl'.

Si Texpérience nous rendait témoins d'un tel spectacle, notre postulat se trouverait démenti.

Car l'expérience nous apprendrait que la première durée osa' est égale à la première durée fp' et que la seconde durée aa' est plus petite que la seconde durée ^f/. Au contraire notre postulat exigerait que les deux durées aa' fussent égales entre elles, de même que les deux durées p^'. L'égalité et l'inégalité déduites de l'expérience seraient incompatibles avec les deux égalités tirées du postulat.

Or, pouvons-nous affirmer que les hypothèses que je viens de faire soient absurdes ? Elles n'ont rien de contraire au principe de contradiction. Sans doute elles ne sauraient se réaliser sans que le principe de raison suffisante semble violé. Mais pour justifier une définition aussi fondamentale, j'aimerais mieux un autre garant.

42 LA VALEUR DE LA SClENCr

Mais ce n'est pas tont.

Dans la réalité physique, une cause ne produit pas un effet, mais une multitude de causes distinctes contribuent à le produire, sans qu'on ait aucun moyen de discerner la part de chacune d'elles.

Les physiciens cherchent à faire cette distinction ; mais ils ne la font qu'à peu près, et quelques progrès qu'ils fassent, ils ne la feront jamais qu'à peu près. Il est à peu près vrai que le mouvement du pendule est dû uniquement à l'attraction de la Terre ; mais en toute rigueur, il n'est j^as jusqu'à l'attraction de Sirius qui n'agisse sur le pendule.

Dans ces conditions, il est clair que les causes qui ont produit un certain effet ne se reproduiront iamais qu'à peu près.

Et alors nous devons modifier notre postulat et notre définition, Au lieu de dire :

« Les mêmes causes mettent le même temps à produire les mêmes effets. »

Nous devons dire :

« Des causes à peu près identiques mettent à peu près le même temps pour produire à peu près les mêmes effets. »

Notre définition n'est donc plus qu'approchée.

EJfe MESURE DU TEMPS 43

D'ailleurs, comme le fait très justement remarquer M. Calinon dans un mémoire récent {Etude sur les diverses grandeurs, Paris, Gauthier-Villars, 1S97) : « Une des circonstances d'un phénomène quelconque est la vitesse de la rotation de la terre ; si celte vitesse de rotation varie, eJie conslitue, dans la reproduction de ce phénomène une circonstance qui ne reste plus identique à elle-même. Mais supposer cette vitesse de rotation constante, c'est supposer qu'on sait mesurer le temps. »

Notre définition n'est donc pas encore satisfaisante ; ce n'est certainement pas celle qu'adoptent implicitement les astronomes dont je parlais plus haut, quand ils affirment que la rotation terrestre va en se ralentissant.

Quel sens a dans leur bouche cette affirmation ? Nous ne pouvons le comprendre qu'en analysant les preuves qu'ils donnent de leur proposition.

Ils disent d'abord que le frottement des marées produisant de la chaleur doit détruire de la force vive. Ils invoquent donc le principe des forces vives ou de la conservation de l'énergie.

Ils disent ensuite que l'accélération séculaire de la lune, calculée d'après la loi de Newton, serait plus petite que celle qui est déduite des observalions, si on ne faisait la correction relative au ralentissement de la rotation terrestre.

Ils invoquent donc la loi de Newton.

En d'autres termes, ils dénnissent la durée de la façon suivante : le temps doit être défini de telle façon que la loi de Newton et celle des forces vives soient vérifiées.

La loi de Newton est une vérité d'expérience ; comme telle elle n'est qu'approximative, ce qui montre que nous n'avons encore qu'une définition par à peu près.

Si nous supposons maintenant que l'on adopte une autre manière de mesurer le temps, les expériences sur lesquelles est fondée la loi de Newton n'en conserveraient pas moins le même sens. Seulement, l'énoncé de la loi serait différent, parce qu'il serait traduit dans un autre langage ; il ferait évidemment beaucoup moins simple.

De sorte que la définition implicitement adoptée par les astronomes peut se résumer ainsi :

Le temps doit être défini de telle façon que les équations de la mécanique soient aussi simples que possible.

En d'autres termes, il n'y a pas une manière de mesurer le temps qui soit plus vraie qu'une autre; celle qui est généralement adoptée est seulement plus commode.

De deux horloges, nous n'avons pas le droit de dire que l'une marche bien et que l'autre marche mal; nous pouvons dire seulement qu'on a avan-

tage à s'en rapporter aux indications de la première.

La difficulté dont nous venons de nous occuper a été, je l'ai dit, souvent signalée ; parmi les ouvrages les plus récents où il en est question, je citerai, outre l'opuscule de M. Galinon, le traité de mécanique de M. Andrade.

La seconde difficulté a jusqu'ici beaucoup moins attiré l'attention; elle est cependant tout à fait analogue à la précédente; et même, logiquement, j'aurais dû en parler d'abord.

Deux phénomènes psychologiques se passent dans deux consciences différentes; quand je dis qu'ils sont simultanés, qu'est-ce que je veux dire?

Quand je dis qu'un phénomène physique, qui se passe en dehors de toute conscience est antérieur ou postérieur à un phénomène psychologique, qu'est-ce que je veiix dire?

En 1572, Tycho-Brahé remarqua dans le ciel une étoile nouvelle. Une immense conflagration s'était produite dans quelque astre très lointain ; mais elle s'était produite longtemps auparavant ; il avait fallu pour le moins deux cents ans, avant que la lumière partie de cette étoile eût atteint

notre terre. Cette conflagration était donc antérieure à la découverte de l'Amérique.

Eh bien, quand je dis cela, quand je considère ce phénomène gigantesque qui n"a peut-être eu aucun témoin, puisque les satellites de cette étoile n'ont peut-être pas d'habitants, quand je dis que ce phénomène est antérieur à la formation do l'image visuelle de l'île d'Espaùola dans la conscience de Christophe Colomb, qu'est-ce que je veux dire ?

11 suffit d'un peu de réflexion pour comprendre que toutes ces affirmations n'ont par elles-mêmes aucun sens.

Elles ne peuvent en avoir un que par suite d'une convention.

Nous devons d'abord nous demander comment on a pu avoir l'idée de faire rentrer dans un même cadre tant de mondes impénétrables les uns aux autres.

Nous voudrions nous représenter l'univers extérieur, et ce n'est qu'à ce prix que nous croirions le connaître.

Cette représentation, nous ne l'aurons jamais nous le savons : notre infirmité est trop grande.

Nous voulons au moins que l'on paisse conce-

lA MESURE DU TEMPS 47

voir une intelligence infinie pour laquelle cette représentation serait possible, une sorte de grande conscience qui verrait tout, et qui classerait tout dans son temps, comme nous classons, dans notre teîups, le peu que nous voyons.

Cette hypothèse est bien grossière et incomplète ; car cette intelligence suprême ne serait qu'un demi-dieu; infinie en un sens, elle seraii limitée en un autre, puisqu'elle n'aurait du passé qu'un souvenir imparfait ; et elle n'en pourrait avoir d'autre, puisque sans cela tous les souvenirs lui seraient également présents et qu'il n'y aurait pas de temps pour elle.

Et cependant quand nous parlons du temps, pour tout ce qui se passe en dehors de nous, n'adoptons-nous pas inconsciemment celte hypothèse ; ne nous mettons-nous pas à la place de ce dieu imparfait; et les athées eux-mêmes ne se mettent-ils pas à la place où serait Dieu, s'il existait ?

Ce que je viens de dire nous montre peut-être pourquoi nous avons cherché à faire rentrer tous les phénomènes physiques dans un même cadre. Mais cela ne peut passer pour une définition de la simultanéité, puisque cette intelligence hypothétique, si même elle existait, serait impénétrable pour nous.

Il faut donc chercher autre chose.

48 îJi VALEUR DE LA SCIENCE

VTIÎ

Les définitions ordinaires qui conviennent pour le temps psychologique, ne pourraient plus nous suffire. Deux faits psychologiques simultanés sont liés si étroitement que l'analyse ne peut les séparer sans les mutiler. En est-il de même pour deux faits physiques ? Mon présent n'est-il pas plus près de mon passé d'hier que du présent de Sirius?

On a dit aussi que deux faits doivent être regardés comme simultanés quand l'ordre de leur succession peut être interverti à volonté. Il est évident que cette définition ne saurait convenir pour deux faits physiques qui se produisent à de grandes distances l'un de l'autre, et que, en ce qui les concerne, on ne comprend même plus ce que peut être cette réversibilité; d'ailleurs, c'est d'abord la successicto même qu'il faudrait définir.

Cherchons donc à nous rendre compte de ce qu'on entend par simultanéité ou antériorité, et pour cela analysons quelques exemples.

J'écris une lettre ; elle est lue ensuite par l'ami à qui je l'ai adressée. Voilà deux faits qui ont eu pour théâtre deux consciences difi'érentes. En

écrivant cette lettre, j'en ai possédé l'image visuelle, et mon ami a possédé à son tour cette même image en lisant la lettre.

Bien que ces deux faits se passent dans des mondes impénétrables, je n'hésite pas à regarder le premier comme antérieur au second, parce que je crois qu'il en est la cause.

J'entends le tonnerre, et je conclus qu'il y a eu une décharge électrique ; je n'hésite pas à considérer le phénomène physique comme antérieur à l'image sonore subie par ma conscience, parce que je crois qu'il en est la cause.

Voilà donc la règle que nous suivons, et la seule que nous puissions suivre; quand un phénomène nous apparaît comme la cause d'un autre, nous le regardons comme antérieur.

C'est donc par la cause que nous définissons le temps ; mais le plus souvent, quand deux faits nous apparaissent liés par une relation constante, comment reconnaissons-nous lequel est la cause et lequel est l'effet? Nous admettons que le fait antérieur, l'antécédent, est la cause de l'autre, du conséquent. C'est alors par le temps que nous définissons la cause. Comment se tirer de cette pétition de principe ?

Nous disons tantôt post hoc, ergo j^ropter hoc ; tantôt propter hoc, ergo post hoc] sortira-t-on de ce cercle vicieux?

Voyons donc, non pas comment on parvient à s'en tirer, car on n'y parvient pas complètement, mais comment on cherche à s'en tirer.

J'exécute un acte volontaire A et je subis ensuite une sensation D, que je regarde comme une conséquence de l'acte A ; d'autre part, pour une raison quelconque, j'infère que cette conséquence n'est pas immédiate ; mais qu'il s'est accompli en dehors de ma conscience deux faits B et C dont je n'ai pas été témoin et de telle façon que B soit l'effet de A, que G soit celui de B, et D celui de G.

Mais pourquoi cela? Si je crois avoir des raisons pour regarder les quatre faits A. B, G, D, comme liés l'un à l'autre par un lien de causalité, pourquoi lès ranger dans l'ordre causal A B G D et en même temps dans l'ordre chronologique A B G D plutôt que dans tout autre ordre?

Je vois bien que dans l'acte A j'ai le sentiment d'avoir été actif, tandis qu'en subissant la sensation D, j'ai celui d'avoir été passif. G'est pourquoi je regarde A comme la cause initiale et D comme l'effet ultime ; c'est pourquoi je range A au commencement de la chaîne et D à la fin; mais pourquoi mettre B avant G plutôt que G avant B ? Si l'on se pose cette question, on répondra ordi-

LA MâSURE DU TEMPS

nairement : on sait bien que c'est B qui est la cause de C, puisqu'on voit toujours B se produire avant G. Ces deux phénomènes, quand on est témoin, se passent dans un certain ordre ; quand des phénomènes analogues se produisent sans témoin, il n'y a pas de raison pour que cet ordre soit interverti.

Sans doute, mais qu'on y prenne garde ; nous ne connaissons jamais directement les phénomènes physiques B et C; ce que nous connaissons, ce sont des sensations B' et G* produites respectivement par B et par G. Notre conscience nous apprend immédiatement que B' précède G' et nous admettons que B et G se succèdent dans le même ordre.

Cette règle paraît en effet bien naturelle, et cependant, on est souvent conduit à y déroger. Nous n'entendons le bruit du tonnerre que quelques secondes après la décharge électrique du nuage. De deux coups de foudre, l'un lointain, l'autre rapproché, le premier ne peut-il pas être antérieur au second, bien que le bruit du second nous parvienne avant celui du premier ?

Autre difficulté; avons-nous bien le droit de parler de la cause d'un phénomène? si toutes les

parties de l'univers sont solidaires dans une certaine mesure, un phénomène quelconque ne sera pas reflet d'une cause unique, mais la résultante de causes infiniment nombreuses ; il est, dit-on souvent, la conséquence de l'état de l'univers un instant auparavant.

Gomment énoncer des règles applicables à des circongtances aussi complexes? et pourtant ce n'est qu'à ce prix que ces règles pourront être générales et rigoureuses.

Pour ne pas nous perdre dans cette infinie complexité, faisons une hypothèse plus simple ; considérons trois astres, par exemple, le Soleil, Jupiter et Saturne ; mais, pour plus de simplicité, regardons-les comme réduits à des points matériels et isolés du reste du monde,

-Les positions et les vitesses des trois corps à un instant donné suffisent pour déterminer leurs positions et leurs vitesses à Tinstant suivant, et par conséquent à un instant quelconque. Leur position à l'instant t déterminent leurs positions à Tinstant t -}- A, aussi bien que leurs positions à l'instant t — h.

11 y a même plus ; la position de Jupiter à l'instant <, jointe à celle de Saturne à l'instant t -\- a, détermine la, position de Jupiter à un instant quelconque et celle de Saturne à un instant quelconque.

1/ensemble des positions qu'occupent Jupiter à l'instant ( + e et Saturne à l'instant i -f a + e est lié à l'ensemble des positions qu'occupent Jupiter à l'instant t et Saturne à l'instant t ~\- a, par des lois aussi précises que celle de Newton, quoique plus compliquées.

Dès lors pourquoi ne pas regarder l'un de ces ensembles comme la cause de l'autre, ce qui conduirait à considérer comme simultanés l'instant t de Jupiter et l'instant ^ + a de Saturne?

Il ne peut y avoir à cela que des raisons de commodités et de simplicité, fort puissantes, il est vrai.

Mais passons à des exemples moins artificiels ; pour nous rendre compte de la définition implicitement admise par les savants, voyons-les à l'œuvre et cherchons suivant quelles règles ils recherchent la simultanéité.

Je prendrai deux exemples simples ; la mesure de la vitesse de la lumière et la détermination des longitudes.

Quand un astronome me dit que tel phénomène stellaire, que son télescope lui révèle en ce moment, s'est cependant passé il y a cinquante ans, je cherche ce qu'il veut dire et pour cela, je lui deman-

derai d'abord comment il le sait, c'est-à-dire comment il a mesuré la vitesse de la lumière.

Il a commencé par admettre que la lumière a une vitesse constante, et en particulier que sa vitesse est la même dans toutes les directions. C'est là un postulat sans lequel aucune mesure de cette vitesse ne pourrait être tentée. Ce postulat ne pourra jamais être vérifié directement par l'expérience ; il pourrait être contredit par elle, si les résultats des diverses mesures n'étaient pas concordants. Nous devons nous estimer heureux que cette contradiction n'ait pas lieu et que les petites discordances qui peuvent se produire puissent s'expliquer facilement.

Le postulat, en tout cas, conforme au principe de la raison suffisante, a été accepté par tout le monde ; ce que je veux retenir, c'est qu'il nous fournit une règle nouvelle pour la recherche de la simultanéité, entièrement différente de celle que nous avions énoncée plus haut.

Ce postulat admis, voyons comment on a mesuré la vitesse de la lumière. On sait que Rœmer s'est servi des éclipses, des satellites de Jupiter, et a cherché de combien Tévénement retardait sur là* prédiction.

Mais cette prédiction comment la fait-on? C'est à l'aide des lois astronomiques, par exemple de la loi de Newton.

Les faits observés ne pourraient-ils pas tout aussi bien s'expliquer si on attribuait à la Titesse de la lumière une valeur un peu différente de la valeur adoptée, et si on admettait que la loi de Newton n'est qu'approchée? Seulement on serait conduit à remplacer la loi de Newton par une autre plus compliquée.

Ainsi on adopte pour la vitesse de la lumière une valeur telle ;que les lois astronomiques compatibles avec cette valeur soient aussi simples que possible.

Quand les marins ou les géographes déterminent une longitude, ils ont précisément à résoudre le problème qui nous occupe ; ils doivent, sans être à Paris, calculer Theure de Paris.

Comment s'y prennent-ils?

Ou bien ils emportent un chronomètre réglé a Paris. Le problème qualitatif de la simultanéité est ramené au problème quantitatif de la mesure du temps. Je n'ai pas à revenir sur les difficultés relatives à ce dernier problème, puisque j'y ai longuement insisté plus haut.

Ou bien ils observent un phénomène astronomique tel qu'une éclipse de lune et ils admettent que ce phénomène est aperçu simultanément de tous les points du globe.

Cela n'est pas tout à fait vrai, puisque la propagation de la lumière n'est pas instantanée ; si on

voulait une exactitude absolue, il y aurait une correction à faire d'après une règle compliquée.

Ou bien enfin, ils se servent du télégraphe. Il est clair d'abord que la réception du signal à Berlin, par exemple, est postérieure à l'expédition de ce même signal de Paris. C'est la règle de la cause et de l'effet analysée plus haut.

Mais postérieure, de combien ? En général, on néglige la durée de la transmission et on regarde les deux événements comme simultanés. Mais, pour être rigoureux, il faudrait faire encore une petite correction par un calcul compliqué; on ne la fait pas dans la pratique, parce qu'elle serait beaucoup plus faible que les erreurs d'observation ; sa nécessité théorique n'en subsiste pas moins à notre point de vue, qui est celui d'une définition rigoureuse.

De cette discussion, je veux retenir deux choses :

1" Les règles appliquées sont très variées.

2* Il est difficile de séparer le problème qualitatif de la simultanéité du problème quantitatif de la mesure du temps ; soit qu'on se serve d'un chronomètre, soit qu'on ait à tenir compte d'une vitesse de transmission, comme celle de la lumière, car on ne saurait mesurer une pareille vitesse sans mesurer un temps.

Ln MESURE DU TEMPS 57

Il convient de conclure.

Nous n'avons pas l'inUiilion directe de la simultanéité, pas plus que celle de régalité de deux durées.

Si nous croyons avoir cette intuition, c'est une illusion.

Nous y suppléons à l'aide de certaines règles que nous appliquons presque toujours sans nous en rendre compte.

Mais quelle est la nature de ces règles?

Pas de règle générale, pas de règle rigoureuse ; une multitude de petites règles applicables à chaque cas particulier.

Ces règles ne s'imposent pas à nous et on pourrait s'amuser à en inventer d'autres ; cependant on ne saurait s'en écarter sans compliquer heaucoup renoncé des lois de la physique, de la mécanique, de l'astronomie.

Nous choisissons donc ces règles, non parce qu'elles sont vraies, mais parce qu'elles sont les plus commodes, et nous pourrions les résumer en disant:

« La simultanéité de deux événements, ou l'ordre de leur iuccession, l'égalité de deux durées, doi-

vent êîre définies de telle sorte que l'énoncé des lois naturelles soit aussi simple que possible. En d'autres termes, toutes ces règles, toutes ces définitions ne sont que le fruit d'un opportunisme inconscienU k^

^APÎTRE îfl La Notion d'Espac@>

Dans les articles que j'ai précédemment consacrés à l'espace, j'ai surtout insisté sur les problèmes soulevés par la géométrie non-euclidienne, en laissant presque complètement de côté d'autres questions plus difficiles à aborder, telles que celles qui se rapportent au nombre des dimensions. Toutes les géométries que j'envisageais avaient ainsi un fond commun, ce continuum à trois dimensions qui était le même pour toutes et qui ne se différenciait que par les figures qu'on y traçait ou quand on prétendait le mesurer.

Dans ce continuum, primiliverneutaniorphe; on peut imaginer un réseau de lignes et de surfaces. on peut convenir ensuite de regarder les mailles de ce réseau comme égales entre elles, et c'esL seulement après cette convention que ce continuum ,

60 LA VALEUR DE LA SCIENCg

deveuu mesurable, devient l'espace euclidien ou l'espace non-euclidien. De ce continuum amorphe peut donc sortir indifféremment l'un ou l'autre ijcs deux espaces, de même que sur une feuille de papier blanc on oeut tracer indifféremment une droite ou un cercle.

Dans l'espace nous connaissons des triangles rectilignes dont la somme des angles est égale à deux droites ; mais nous connaissons également des triangles curviligr.es dont la tomme des angles est plus petite que deux droites. L'existence des uns n'est pas plus douteuse que celle des autres. Donner aux côtés des premiers le nom de droites, c'est adopter la géométrie euclidienne ; donner aux côtés des derniers le nom de droites, c'est adopter la géométrie non-euclidienne. De sorte que, demander quelle géométrie convient-il d'adopter, c'est demander ; à quelle ligne convientil de donner le nom de droite?

Il est évident que l'expérience ne peut résoudre une pareille question ; on ne demanderait pas, par exemple, à l'expérience de décider si je dois appeler une droite AB ou bien CD. D'un autre côté, je ne puis dire non plus que je n'ai pas le droit de donner le nom de droites aux côtés des triangles non-euclidiens, parce qu'ils ne sont pas conformes à l'idée éternelle de droite que je possède par intuition. Je veux bien que j'aie l'idée

LA NOTION d'eSPACS 61

intuitive du côté du triangle euclidien, mais j'ai également l'idée intuitive du côté du triangle non euclidien. Pourquoi aurai-je le droit d'appliquer le nom de droite à la première de ces idées et pas à la seconde ? En quoi ces deux syllabes feraientelles partie intégrante de cette idée intuitive? Évidemment quand nous disons que la droite euclidienne est une vraie droite et que la droite noneuclidienne n'est pas une vraie droite, nous voulons dire tout simplement que la première idée intuitive correspond à un objet plus remarquable que la seconde. Mais comment jugeons-nous que cet objet est plus remarquable ? C'est ce que j'ai recherché dans Science et Hypothèse,

C'est là que nous avons vu intervenirl'expérience ; si la droite euclidienne est plus remarquable que la droite non-euclidienne, c'est avant tout qu'elle diffère peu de certains objets naturels remarquables dont la droite non-euclidienne diffère beaur coup. Mais, dira-t-on, la définition de la droite non-euclidienne est artificielle ; essayons un instant de l'adopter, nous verrons que deux cercles de rayon différent recevront tous deux le nom de droites non-euclidiennes, tandis que de deux cercles de même rayon, l'un pourra satisfaire à la définition sans que l'autre y satisfasse, et alors si nous transportons une de ces soi-disant droites t^ans la déformer, elle cessera d'être une droite.

Mais de quel droit considérons-nous comme égales ces deux figures que les géomètres euclidiens appellent deux cercles de même rayon ? C'est parce qu'en transportant Tune d'elles sans la déformer on peut la faire coïncider avec l'autre. Et pourquoi disons-nous que ce transport s'est effectué sans déformation ? Il est impossible d'en donner une bonne raison. Parmi tous les mouvements concevables, il y en a dont les géomètres euclidiens disent qu'ils ne sont pas accompagnés de déformation ; mais il y en a d'autres dont les géomètres non-euclidiens diraient qu'ils ne sont pas accompagnés de déformation. Dans les premiers, dits mouvements euclidiens, les droites euclidiennes restent des droites euclidiennes, et les droites non-euclidiennes ne restent pas des droites noneuclidiennes ; dans les mouvements de la seconde sorte, ou mouvements non-euclidiens, les droites non-euclidiennes restent des droites non-euclidiennes et les droites euclidiennes ne restent pas des droites euclidiennes. On n'a donc pas démontré qu'il était déraisonnable d'appeler droites les côtés des triangles non-euclidiens ; on a démontré seulement que cela serait déraisonnable si on continuait d'appeler mouvements sans déformation les mouvements euclidiens; mais on aurait montré tout aussi bien qu'il serait déraisonnable d'appelar droites les côtés des triangles euclidiens si Ton