SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER

Quai des Augustins, 5j.

( L’A u leur ei l’Editeur de cet Ouvrage se réservent le droit de traduction.)

INTRODUCTION

Dans la première Partie de cet Ouvrage, j’ai raconte la vie d’Augustin Caucliy, et j’ai présenté en même temps un exposé sommaire de ses principales découvertes considérées au point de vue historique. C’est là qu’on trouvera tous les détails qui peuvent intéresser les savants sur les circonstances au milieu desquelles ces découvertes ont pris naissance; je n’aurai donc pas à y revenir. Ce second volume s’adresse particulièrement aux hommes spéciaux qui voudront connaître plus à fond les doctrines de l’illustre géomètre et s’orienter parmi ses innombrables productions.

Les travaux scientifiques de Cauchy comprennent une longue période de quarante-sept années, de 1810 à 1 85 y ; ils embrassent à peu près toutes les branches des sciences mathématiques, depuis la théorie des nombres et la géométrie pure jusqu’à l’astronomie et l’optique. On comprend dès lors la nature des difficultés que rencontrent les.hommes d’étude quand ils entreprennent de résumer, sur un point déterminé, les idées et les recherches du savant. Pour analyser une théorie, pour retrouver un énoncé, une simple formule, autrefois entrevue, aujourd’hui oubliée, il faudra feuilleter des volumes entiers, et souvent, à défaut d’un guide, on sera exposé à perdre

TRAVAUX d’aUGUSTIN CAUCHY.

un temps précieux dans une perquisition fatigante. Mais il y a plus : les écrits de Cauchy se trouvant disséminés dans une foule de recueils qu’il n’est pas également facile de se procurer, on pourra toujours craindre d’avoir fait des recherches incomplètes. C’est assez montre; l’utilité d’un ouvrage dans lequel on trouvera un répertoire complet et méthodique des travaux de divers ordres dus à un génie d’une fécondité si extraordinaire.

Toutefois, une simple nomenclature bibliographique eût été insuffisante; il convenait d’v joindre certains commentaires afin de faire connaître la nature des Mémoires cités, de donner une idée exacte des matières qui y sont traitées et de montrer comment ils se rattachent les uns aux autres pour former un corps de doctrine. Je m’étais d’abord proposé de présenter, sur chaque Mémoire, une courte analyse du sujet, avec le résumé des méthodes employées, l’énoncé des principaux théorèmes et l’indication des formules les plus remarquables. Mais j’ai bientôt reconnu qu’un travail de ce genre m’entraînerait beaucoup au delà des limites dans lesquelles je devais me renfermer. La liste pure et simple des Mémoires de Cauchy formerait à elle seule presque un volume, et, quel que soit d’ailleurs le mérite d’une analyse, rien ne pourrait dispenser, dans des matières d’un ordre si élevé, de recourir aux écrits originaux. Un des disciples les plus distingués de Cauchy, M. l’Abbé Moigno, a entrepris cette tâche en ce qui concerne le Calcul différentiel et intégral; trois forts volumes ont déjà été publiés, et l’ouvrage n’est pas encore terminé. J’ai donc été obligé

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de me placer à un point de vue plus modeste, et je vais expliquer en quelques mots le plan que j’ai suivi.

Il était d’abord nécessaire de faire une revue générale des écrits publiés par Cauchy pendant sa longue carrière, et d’en dresser un catalogue exact et complet. Cette partie de ma tâche n’a pas été sans difficulté h cause de la rareté de plusieurs des recueils où ils ont paru. Les Comptes rendus des séances de l' Académie des Sciences, le Journal de M. Liouvillc, le Journal de l'École Polytechnique, etc., se trouvent, il est vrai, à peu près dans toutes les mains, mais d’autres collections sont beaucoup plus rares; tels sont les Annales de Gergonne, le Bulletin de Férussac, le Bulletin de la Société Philomathique, etc. Les anciens Exercices de Mathématiques sont eux-mêmes depuis longtemps épuisés, et je dois aux bons offices de M. Gauthier-Villars d’avoir pu me procurer le dernier exemplaire disponible dans le commerce. La difculté était encore plus grande pour les Mémoires détachés qui ont été publiés en assez grand-nombre par Cauchy pendant les huit années de son séjour hors de France. La plupart de ces Mémoires ont été simplement lithographiés à un petit nombre d’exemplaires et n’ont pas reçu d’autre publicité; aussi quelques-uns d’entre eux ont disparu presque complètement : pour en avoir connaissance, j’ai du m’adresser à la Bibliothèque de l’Institut. Je citerai , comme exemple, les Mémoires si importants publiés à Turin, en 1 83 1 et i 832, sur le Calcul des résidus et la Mécanique céleste : on en trouve sans doute une reproduction partielle dans le recueil des nou-

veaux Exercices cl' Analyse et de Physique mathématique ; mais plusieurs sections manquent, en particulier celle qui concerne l’application du calcul des résidus à la théorie des équations algébriques, dans laquelle est exposée, pour la première fois, la démonstration du célèbre théorème sur le nombre des racines comprises à l’intérieur d’un contour déterminé. En présence de ces difficultés, je pouvais donc craindre que mon travail n’offrît quelques lacunes regrettables dans l’énumération des Mémoires de Cauchy. Une circonstance heureuse est venue dissiper mes incertitudes à cet égard.

Dans les dernières années de sa vie, Cauchy, cédant aux instances souvent réitérées de ses amis, s’était enfin décidé à entreprendre ce travail de révision qui lui avait été tant de fois demandé, et il avait commencé par préparer un catalogue complet de tous ses écrits. Il chargea de ce soin l’un de ses disciples, le P. lullien, de la compagnie de Jésus, dont le mérite scientifique est d’ailleurs trop bien connu pour qu’il soit nécessaire d’en faire l’éloge. Le P. Jullien se mit donc à l’œuvre, sous les yeux et dans le cabinet même de l’illustre savant, qui l’aidait de ses conseils et mettait à sa disposition les ressources de sa riche bibliothèque. Son répertoire manuscrit, qui remplit trois gros cahiers, n’a jariiais été publié; mais l’auteur a bien voulu me le confier avec une généreuse libéralité, et c’est à cette bienveillante communication que je dois de pouvoir présenter mon propre travail comme étant aussi complet que possible. Est-ce à dire qu’il n’v ait absolument aucune omission ? Je n’ose-

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rais l’affirmer. Pendant les recherches dont je viens de parler, Cauchy hésitait quelquefois dans ses indications et ne conservait qu’un souvenir un peu confus de certains Mémoires anciens; mais si, dans ces conditions, l’auteur lui-même a pu commettre quelques oublis, ils me seront, je l’espère, facilement pardonnés à moi-même. Enfin, je ne crois point trop m’avancer en disant que si, malgré tous mes soins, un très-petit nombre d’écrits ont échappé à mon énumération, ils n’ont qu'une importance secondaire.

La distribution des matières par Chapitres offrait une autre sorte de difficulté. J’aurais voulu pouvoir réunir sous un même litre tous les Mémoires relatifs à une même théorie; mais cela n’était pas possible, soit parce que la plupart de ces Mémoires se rapportent à la fois à plusieurs théories distinctes, soit parce que, pour traiter complètement un sujet déterminé, il faut recourir à des Mémoires de nature très-différente. Par suite, il était également impossible de répartir les matières de telle sorte que chaque Chapitre fût indépendant des autres et ne supposât rien de ceux qui suivent. Les recherches si variées de Cauchy sont, en général, toutes solidaires les unes des autres, ce qui établit entre elles un lien intime. Dans la théorie des équations algébriques, par exemple, on trouve des applications des théories les plus diverses : la discussion des propriétés des racines exige l’analyse des symboles imaginaires; la nature même de ces racines et leur composition en fonction des coefficients reposent sur l’étude approfondie des fonctions symétriques

X TRAVAUX d’aUGUSTIN CAUCHV.

et des substitutions; le théorème sur les racines comprises entre des limites données dépend des considérations les plus délicates empruntées au calcul des résidus et à la théorie des intégrales définies. D’un autre côté, plusieurs théories, telles que le calcul des résidus, s’appliquent à un grand nombre de questions essentiellement distinctes, en analyse, en mécanique et en physique; il n’était donc pas possible de réunir sous un même titre tout ce qui concerne cette méthode fondamentale. L’ordre chronologique ne pouvait pas non plus être adopté, par la raison que Cauchy s’est occupé des mêmes questions à des époques fort éloignées les unes des autres, reprenant sous une forme différente des questions déjà résolues, perfectionnant ses procédés et déduisant de ses recherches antérieures des conséquences nouvelles. Une exposition faite en voulant suivre pas à pas ces diverses transformations n’aurait pu éviter d’être embarrassée ou confuse.

Mais, dans chacun des Mémoires de Cauchy, lors même qu’ils n’ont pas un objet unique, on trouve généralement un certain nombre de questions principales qui se rapportent plus particulièrement à une branche déterminée des mathématiques, et la nature de ces questions permettait d’assigner leur place dans l’ensemble, sauf à rappeler plusieurs fois les Mémoires dont l’objet est multiple. Tel est en effet l’ordre que nous avons suivi. Quant à la succession des Chapitres, ils seront placés suivant le rang qu’on a coutume d’assigner aux diverses théories dont se composent les sciences mathématiques.

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L’arithmétique, la théorie des nombres, la géométrie pure ou appliquée, se présentent les premières. Viennent ensuite : l’analyse proprement dite avec ses méthodes variées, les intégrales définies, le calcul des résidus et des limites, les fonctions symétriques et les substitutions, les fonctions périodiques inverses, ainsi que leurs applications aux équations algébriques, aux séries, aux équations différentielles, etc. Enfin, les trois derniers Chapitres comprendront les recherches relatives à la mécanique, à l’optique et à l’astronomie.

Dans chaque section on trouvera une indication complète de tous les Mémoires qui s’y rapportent, de manière que, d’un seul coup d’oeil, on puisse immédiatement se former une idée exacte des travaux de Cauchy sur chaque spécialité de matières, et qu’on soit en mesure de retrouver, sans perte de temps, les Mémoires qu’on aura besoin de consulter. De plus, afin qu’il soit facile d’apercevoir tout d’abord quelle est l’étendue, et. par suite, l’importance d’un document cité, J’ai eu soin d’indiquer le nombre des pages qu’il contient, toutes les fois que ce nombre dépasse vingt pages. Lorsque plusieurs Mémoires relatifs à un même sujet portent des titres semblables et sont insérés dans le même volume, je les réunis sous un titre commun, avec des renvois distincts aux pages de ce volume. Dans le même dessein d’abréger et de simplifier la forme des renvois, j’emploie, pour désigner chaque volume des œuvres d’Augustin Cauchy ou des collections dans lesquelles sont contenus ses Mémoires, une série de notations particu-

xm travaux d’augustin cauchy.

lières dont on trouvera le tableau dans une feuille séparée. Je dois ajouter que, dans chaque Chapitre, j’ai suivi pour les citations l’ordre d’anciennelé des recueils, ce qui tend à replacer les travaux de Cauchy dans leur ordre chronologique pour les matières contenues dans chaque section déterminée. Enfin, lorsque l’ensemble des malières d’un Chapitre se prête facilement à des subdivisions, celles-ci sont caractérisées par des titres séparés.

Les premiers travaux de Cauchy ont été publiés dans ]es Mémoires des Savants étrangers (Académie des Sciences) et dans le Journal de l'École Polytechnique . On en trouvera aussi un certain nombre dans le Bulletin de Férussac, dans le Bulletin de la Société Philomathique et dans les Annales de Gergonne. A cette première période se rattachent encore plusieurs ouvrages classiques composés à l’occasion des leçons données à l’École Polytechnique; ce sont principalement : le Cours d' Analyse, le Résumé des Leçons sur le Calcul infinitésimal, les Leçons sur le Calcul différentiel et les Leçons sur les applications du Calcul infinitésimal à la géométrie. A partir de 1825, on trouve un certain nombre de Mémoires détachés : le Mémoire « sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires », le Mémoire « sur les applications du calcul des résidus à diverses questions de Physique mathématique » , et un autre concernant la « théorie des équations algébriques ». En même temps Cauchy publiait, sous le titre iV Exercices de Mathématiques, un recueil périodique qui fulbrusquemcnt interrompu en i 83 o sous l'influence des événements politiques. Pendant son séjour à Turin, Cauchy composa les

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Résumés Analytiques et plusieurs Mémoires lithographiés de la plus haute importance sur le calcul des résidus et les applications à la mécanique céleste. Son séjour en Allemagne, près du roi Charles X, est signalé par les Mémoires * sur la dispersion de la lumière » et par divers 'autres Mémoires sur l’analyse, notamment « sur la théorie des équations différentielles * . En i83G, l’inauguration des Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences vint lui offrir une nouvelle voie de publication plus particulièrement en rapport avec la tournure de son esprit. Habitué à scruter sans relâche les idées nouvelles qui sollicitaient son génie, et plus porté à faire progresser la science qu’à conduire à la perfection des travaux isolés, il trouvait dans ce recueil hebdomadaire le moyen de transmettre sans retard au monde savant le résultat de ses investigations incessantes. Dès l’année 1 83G, on rencontre dans les Comptes rendus, sous la forme de Lettres adressées à divers membres de l’Académie, une série de communications du plus haut intérêt; à partir <le i838, Cauchy, étant revenu en France et ayant repris sa place à l’Académie, commence une longue série de Mémoires qui se poursuit jusqu’en 1857 , et qui embrasse dans son ensemble les sujets les plus variés et les plus élevés. C’est là qu’on peut suivre de près, et pour ainsi dire jour par jour, non-seulement les travaux de l’illustre savant, mais encore les phases diverses par les^ quelles passait son génie et les transformations successives de ses premières pensées. Terminons cette énumération en citant encore le recueil des Exercices d' Analyse

et de Physique mathématique (1840-1847), destiné à faire suite aux anciens Exercices de Mathématiques (182Gi 83 o), et le Journal de M. Liouville, dans lequel Cauchy a inséré plusieurs articles.

Dans la nomenclature des divers Mémoires, j’ai dû me borner, par les raisons exprimées précédemment, à donner simplement les titres avec l’indication des volumes et des pages où ils se trouvent; pour lés Mémoires plus volumineux, j’ai ajouté en quelques mots l’énoncé des principales matières qui y sont traitées. Quant aux commentaires, ils sont réunis, sous le nom de sommaire, en tête de chaque section, dans une courte analyse qui peut être considérée comme un tableau concis, bien insuffisant sans doute, mais au moyen duquel on sera du ifioins en mesure de se former une première idée de la route parcourue par le savant. J’ai profilé, à cet effet, des introductions et des réflexions générales qui accompagnent plusieurs des Mémoires de Cauchy; il m’a suffi le plus souvent d’analyser ces Notices et quelquefois de reproduire les propres paroles de l’auteur, afin de rendre plus fidèlement et plus complètement sa pensée.

A l’occasion des principales découvertes de Cauchy, j’ai indiqué quelques-unes des applications qui en ont été faites par ses disciples ou par des savants étrangers; j’ai indiqué également les Ouvrages, Mémoires ou Thèses qui pourraient être consultés utilement; toutefois, je l’ai fait avec une certaine réserve, afin de ne pas trop étendre les dimensions de ce volume, et aussi afin de ne pas m’écarter du but essentiel que je m’étais proposé. C’est

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pour la même raison que, dans les sommaires, je me suis astreint à présenter exclusivement les idées mêmes de Cauchy sans les discuter; quelques-unes ont pu être contestées, ou bien ont dû subir plus tard des* transformations; mais ce qui importait avant tout était de reproduire fidèlement le point de vue auquel il s’était placé.

Je me suis abstenu, autant que possible, d’appréciations personnelles; c’est en effet une tâche très-délicate que de porter un jugement absolu sur des travaux d’un ordre si élevé et sur un homme aussi éminent. 11 ne faut pas oublier que, de son vivant, Cauchy n’a été compris que d’un petit nombre de savants; les autres, tout en admirant la profondeur de son génie, ne se sont pas toujours rendu suffisamment compte de la portée de ses découvertes et n’en ont pas toujours prévu les innombrables conséquences. Lorsque les circonstances exigeaient qu’un jugement fût porté, j’ai eu soin de ne le faire qu’après m’être entouré de tous les documents propres à m’éclairer, et après avoir pris, autant que possible, l’avis des hommes dont le nom fait autorité en ces matières.

Je prie, en particulier, MM. Hermite et Puiseux de vouloir bien accepter ici l’expression de ma profonde reconnaissance pour les conseils et les soins bienveillants qui m’ont permis d’amener mon travail à une forme moins imparfaite, et de le présenter ainsi avec plus de confiance aux savants qui pourront le consulter.