FONCTIONS SYMÉTRIQUES ET SUBSTITUTIONS

Sommaire. — Premières recherches de Cauchy, en 1 8 1 3. — Détermination du nombre des valeurs des fonctions de plusieurs lettres. — Théorème de M. Bertrand. — Théorie des substitutions. — Ses applications à la théorie générale des équations algébriques.

MÉMorRES. — Fonctions symétriques et nlternècs. — Leur usage dans la résolution des équations. — . Sur le nombre des valeurs des fonctions. — Fonctions intransitives, transitives et doublement transitives. — Théorie des substitutions. — Propriétés des substitutions. — Substitutions conjuguées. — Applications diverses. — Clefs algébriques. — Ouvrages à consulter.

SOMMAIRE

Les premières recherches de Cauchy sur la théorie des fonctions symétriques et des substitutions se trouvent exposées dans un Mémoire présenté à l’Institut en i8i3. L’auteur distingue d’abord parmi les fonctions symétriques celles qui ne changent ni de valeur, ni de signe, quand on permute les lettres, et celles qui changent de signe sans changer de valeur absolue. Les premières sont dites permanentes, les secondes alternées. L’objet principal du Mémoire est de donner des moyens pour exprimer ces deux genres de fonctions et pour les transformer les unes dans les autres. On en déduit en particulier des formules pour calculer les fonctions symétriques des racines des équations, ainsi que les valeurs générales des inconnues dans les équations du premier degré à plusieurs variables. La même méthode conduit de plus à une nouvelle théorie des fonctions désignées par Laplaee sous le

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nom de résultantes ; M. Binet a fait de ces dernières l’objet d’une étude approfondie.

Dans le même travail, Cauchy est amené à traiter en outre une question de la plus haute importance en Analyse : il s’agit de la détermination du nombre des valeurs dont une fonction est susceptible quand on y permute, de toutes les manières possibles, les lettres qu’elle renferme. Ce problème se présente naturellement dans la théorie générale des équations algébriques, où il importe de connaître la limite la plus restreinte du nombre des valeurs que peut acquérir une fonction de*i lettres. Le premier théorème sur celte matière est dû à Lagrange; il démontra que le nombre des valeurs d’une fonction de n lettres est nécessairement un diviseur du produit f.a.3...n, qui représente le nombre total des permutations. Dans un traité sur la résolution des équations numériques, publié en 1799, le géomètre italien Ruffini fit voir que, si une fonction de cinq lettres admet plus de deux valeurs, elle en admet au moins cinq; et, après lui, Pietro Abatti démontra que, si une fonction de n lettres, n étant plus grand que 4. admet plus de deux valeurs, elle en admet au moins cinq. Cauchy réalisa un progrès considérable dans la question en démontrant d’une manière générale qu’il n’existe aucune fonction de n lettres dont le nombre des valeurs distinctes soit compris entre 2 et le nombre premier immédiatement inférieur ou égal au nombre des lettres. Il donna en même temps des règles pour déterminer les fonctions qui admettent un nombre de valeurs non compris entre les limites précédentes.

Le théorème de Cauchy a été complété plus tard par M. J. Bertrand, dans un Mémoire présenté à l’Académie en i845 et inséré dans le trentième cahier du Journal de

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l'École Polytechnique. M. Bertrand fit voir que, si une fonction den lettres admet plus de deux valeurs, elle en admet au moins n, quel que soit le nombre n, premier ou non premier, pourvu qu’il soit supérieur à 4* Sa démonstration présentait toutefois une lacune, en ce sens qu'elle s’appuyait sur le postulatum Suivant: Si n désigne un nombre entier supérieur à 7, il y a au moins un nombre

premier compris entre n — a et ~ Les tables des nombres

premiers, poussées jusqu’à plusieurs millions, avaient permis de vérifier la proposition dans toute l’étendue de ces limites, ce qui équivalait en quelque sorte à une preuve; toutefois le postulatum lui-même a été démontré par M. Tebebichef dans un Mémoire présenté à l’Académie de Saint-Pétersbourg en 1800. Ajoutons enfin que, dans un Mémoire publié en 1849, M. Serret a donné une nouvelle démonstration du théorème de M. Bertrand, sans recourir à cette propriété des nombre premiers.

La recherche du nombre des valeurs dont une fonction est susceptible n’est qu’un cas particulier d’une théorie très-délicate et très-importante par ses applications, dans laquelle on se propose d’étudier d’une manière générale les propriétés des fonctions quand on y permute d’une manière quelconque les lettres qu’elles renferment. Les principes de cette théorie difficile, dite des substitutions, ont été établis par Cauchy ; nous allons essayer d’en donner une idée sommaire.

Si, après avoir écrit une série de lettres dans un ordre déterminé, on les échange entre elles de toutes les manières possibles, on obtient ce qu’on appelle des permutations, et l’on donne le nom de substitution à l’opération par laquelle on passe d’une permutation à une autre. Si la substitution consiste à remplacer chaque lettre par la

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suivante, on a une substitution circulaire. Le produit de deux ou de plusieurs substitutions distinctes est le résultat de la substitution unique qui produirait le même résultat que les substitutions partielles appliquées successivement. Si les substitutions dont on fait le produit sont égales entre elles, les produits se transforment dans les diverses puissances de la substitution proposée. Les substitutions distinctes étant nécessairement en nombre fini, leurs puissances sont donc périodiques et se reproduisent alternativement après des intervalles égaux. On appelle ordre d’une substitution le plus petit exposant de la puissance qui reproduit la permutation d’où l’on est parti; et l’on nomme substitution primitive, celle dont l’ordre est représenté par un nombre premier ou par une puissance d’un nombre premier. Cette considération des produits et des puissances des substitutions permet d’en établir la classification et ramène immédiatement leur étude aux principes de la théorie des nombres.

La méthode des substitutions constitue une branche importante de l’Analyse et a déjà reçu de nombreuses applications. Elle a servi à établir le calcul des détermiuantsqui a reçu, dans ces derniers temps, une si grande extension. Abel en a déduit l’impossibilité de résoudre l’équation du cinquième degré au moyen des radicaux, et Galois en a fait le plus heureux usage pour analyser les conditions relatives à la résolution algébrique des équations. Nous ajouterons seulement quelques mots sur l’application que Cauchy en a faite pour déterminer le nombre des valeurs distinctes que peut prendre une fonction de n lettres, quand le nombre de ces valeurs surpasse n. Son analyse repose sur la distinction des fonctions en deux classes: i° les fonctions transitives, qui conservent la même valeur quand on place une lettre à un rang quel-

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conque, Tes autres occupant d’ailleurs un rang convenablement choisi ; 2° les fonctions inlransitives , qui ne jouissent pas de cette propriété. La recherche du nombre des valeurs des fonctions intransitives se ramène d’ailleurs à celle des fonctions transitives. Cauchy a étudié particulièrement les fonctions qui ne renferment pas plus de six lettres et il est parvenu à déterminer les nombres des valeurs dont elles sont susceptibles.

MÉMOIRES

fonctions Symétriques et alternées.

Mém. Dét. : 1813. — Sur la théorie (1rs -fonctions symétriques.

An. Alg. : ch. III. — Sur lus fonctions symétriques et alternées.

Usage de cos fonctions pour la résolution des équations du premier degré, à un nombre quelconque d’inconnues.

Nouv. Ex. : t. II, p. 1 5 1 . — Sur les f ourlions alternées et les sommes alternées.

Nouv. Ex. : t. II, p. i6o. — Sur les sommes alternées désignées sous te nom de « résultantes ».

Propriétés diverses de ces résultantes. — Leur emploi dans la résolu- 4ion des équations linéaires.

Nouv. Ex. : t. II, p. 177. — Sur les fonctions différentielles alternées,

C. R. : 1810, 1" se/n. , p. 178. — Sur les fonctions alternées et sur diverses formules d’analyse . '

Théorèmes divers concernant la sommation des suites et la théorie des équations binômes. . ■ > • .

C. R. : 1841, -2 e sent., p. g3q. — Note sur les fonctions alternées et sur tes sommes alternées.