BB
Il faut observer que Ton a considéré jusqu'ici les segments, ayant le môme seus sur une même droite, comme ayant tous le même signe, sans aucune notion du contour fermé des quatre points, tandis que la notion de continuité vectorielle est indépendante de Torigine commune des sejg:ments, ce qui produit certaines différences dans le signe des rapports anharmoniques, tandis que ce signe est toujours défini sans ambiguïté par celui du verseur, les modules étant des quantités numériques qui ont Tunité positive pour mesure.
(4 bi.j
N = nv =
aa'
an'
"cd
ce'
.n^ljtàÊÊÊ^
CAI.CDL VBCTOniCL 233
134. Génèraiisatton. — Le rapport anbarmoniqae de quatre points, pris sur une même droite, est évidemment un cas particulier du rapport anharmonique de quatre points pris comme on voudra dans l'espace. Il en est de même pour le rapport anharmonique de quatre droites concourantes en un point, quand on considère le cas particulier où ces quatre droites sont dans un même plan .
Les théorèmes du rapport anbarmonique de 6 segments pris quatre à quatre, énoncés par Chasles pour des points situés en ligne droite, ont absolument la même forme algébrique implicite, que nous avons appelé la forme cartésienne, quand on considère les quatre poinU a, b, c,d', situés comme on voudra, pour former un tétraèdre inseripttbie à la sphère, et il est évident que lescas où ces quatre points sont dans un même plan, et inscriptible au cercle, et oi!l ces quatre points se projettent sur une même droite, sur un môme diamètre flxe, sont des cas particuliers du cas général .
Le rapport anbarmonique, au lieu d'être une quantité numérique, est un vecteur défini, et il n'y aura qu'à appliquer les règles du calcul vectoriel, pour déterminer le verseur du rapport anbarmonique des 6 segments, pris quatre à quatre.
Réciproquement, si nous avons 4 points en ligne droît«, nous pouvons toujours les considérer comme la projection orthogonale d'un quadrilatère sur une droite quelconque passant par son plan. Alors chaque segment est accompagné du cosinus de son angle de projection et exprime un vecteur scalar, et chaque projection sur un plan, perpendicuUire à la droite, sera accompagnée du sinus de l'angle de projection et exprimera le module teruion du vecteur du quadrilatère, dont l'unité verseur est la même pour tous les vecteurs ternions et disparait en facteur commun.
Enfin dans le cas d'un quadrilatère gauche de quatre points, situés comme on voudra, nous savons que cette som-
CAU:iTL VECTORIEL
ion se ramène à un quadrilatère plan scaiar dont le plan enr est arbitraire, cequi ramène à la question précédente, isuite à un polygone ternion issu d'une origine arbi- •e sur le plan scaiar et formant sur la sphère unité un irilatère sphérique fermé, dont le rapport anharmonique arcs pris 4 à 4, donne le verseur du rapport anhariquedes6 segments du quadrilatère gauche pris 4 à 4. ue l'on peut voir directement, en observant que tout lèdre de quatre points est inscriptible à la sphère, dont lyon est arbitraire et constitue une échelle de construc- , et chacun des segments peut être considéré comme la le des arcs de grands cercles de la sphère, et nous retrouins les 3 quadrilatères sphériques, correspondant aux trois Inlatères gauches rectilignes, relatifs à chaque couple de s opposés du tétraèdre .
15. Théorème III. — « Qiielgue soit l'ordre et la pomde 4 poinls, n, b, c, d, dans l'espace, si nous fais la somme des produits des trots couples d'arêtes 7sées de leur tétraèdre, cette somme esl nulle . » Et a généralement ) AA.'+ BB' + CC' = o.
î cliangement dans l'ordre cyclique ne changera rien au Itat. Mais l'interversion des termes; revient à changer Ire ou la dénomination des mêmes points. Par exemple DUS écrivons A'A au lieu de AA', dans l'équation cela ent à changer A en A' et réciproquement, et par suite à iger 6 en a et c en J, et l'on a l'ordre 6, a, d, c, et l'on i la iiouvelle forme A'A + B'B + CC := o, et ainsi de
1 nous désignons respectivement par (a, ^, y) Im arguits des vcrseursdesproduitsAA'BB', CC'.etparl, J, K, ternions- unité de leurs plans verseurs, et par de petites
CAXCUL TECTORIEL
"S modulaires des 6 segmer
t-\- I 3in«)+ ô6'[cosp ^ 4- ce' (cosy + K sin y) - - bb' Ut + cc'tJ»*= 0.
lécompose en deux autr ui doivent avoir lieu
a + Ô6' cos p + ce' c a + J 66' sin p + K ce' S nt que les directions I, J . perpendiculaires commt
icolier ou ces trois direci les 4 points sont dans direction du plan du qui 3nt en facteur commun dt as contraire ces direction!
s la première équation {■ ne contraire aux deux a us les signes de t'équati( lier comme négatif. D'à i les B et B' sont les diagoi n quadrilatère plan , c'est 1 ngies a et Y seront de J
aura lieu pour les sign )nde équation (8). On en is l'équation (7) est de s ■es, et par suite que dans I
M, N, l'un d'eux est de :t que l'on aura toujour —i, quand on donne au
*i • ^ -Vf.
236 CALO0L VECTORIEL
La théorie des trièdres, exposée avec beaucoup de clarté par Dostor (Eléments de la théorie des déte^^minants), nous fournira la démonstration directe de ce théorème.
On y trouve la démonstration de la première équation(8), car en en désignant par x, ji y, les angles des faces du trièdre au sommet e^, on a
/ a COS a = &' COS» — C' COSfi,
(9) I ô cos p = c' cosx — a' cos»,
( c cos y = a' cosfi — V cosx.
Les trois équations scalars, respectivement multipliées par a\ b\ d et ajoutées, donnent la premièi'e (8). Nous retrouverons réquation connue relative à quatre points sur la même droite aa* + ^^' + ce' = o, quand tous les vecteurs sont parallèles de sorte que tous les cosinus égaux entre eux ou à Tunité, au signe près, disparaissent en facteur commun. Il reste à démontrer la seconde équation (8).
Dans le cas où les quatre points sont dans un même plan on a de même
acL sina = dV sin v — a!c' sin;», W sinp = Vc' sin \ — Va! sin v, ce' sin Y = dd sinjùi — dV m\\.
Ces trois équations scalars ajoutées ensemble donnent la seconde équation (8). En effet on a trois triangles qui ont même base et qui sont entre eux comme leur hauteur, et la simple théorie des parallélogrammes démontre Téquation.
Mais dans le cas général, il faut recourir à la trigonométrie sphérique.
Désignons par a ', 6", c\ les longueurs modulaires des plus courtes distances des arêtes opposées respectivement, qui ont I, J, K pour direction veclorielle. Si nous élevons au carré chacune des équations (8), nous aurons leur module qui deVra être nul . Le carré de la seconde donne
CALCUL VEOTORŒL
— fa*a''sin'+î''fc'*8iii'p+c*c''sin'ï+2aa'fi6'siiiii3inpcos(a" j +2aa'ce'sinasin-rcos(a'
' +'ibb'cc' sinp ain-r cos(ô'
Si nous ajoutons le carré de la première, qui est égi
nul et que nous posions pour abréger, d'après h
métrie,
!cos a cos p + sin « sin ^ ces [a"6") = cosv', cosy cosa + siny sina cos (c"«") = cos/, COSP COS-f + Sillf COSy C08 (fi"c") = cosi', nous pouvons écrire le résultat sous la forme suir désignant par y, /, ■', les angles du triangle abc de I aa' [aa' -j- 66' cos v + ce' cos;»') + 66' [aa' cos»' + 66' + ce' cosV), + ce' [aa' co8;i' + 66' cos i' + ce'] = o.
Or il suffira d'observer que les angles i', n', »' soi le même plan scalar de mesure des verseurs Ui, Ui l'on a par suite
i) cos*' cosjj' I cosv' 1 cosV I cos/ cosi' \ 1=0, et par suite les trois équations scalars simultanées ( aa' -f- 66' cosu' + <^c' cos/ = o ] aa' cos»' -H 66' + ce' cosx' = o
l 00' c68/+ Ô6'C08l'4-CC' = 0,
ce qui démontre le théorème.
Ainsi l'équatiou (6) est toujours nulle, quelleque valeur des verseurs, et quelque soit l'ordre des terme à-dii)e, quelleque soit la position des 4 points dans l'i
136. Belatlonsjentre tes]rapports anharmonigh Si nous divisons l'équation (ti) par l'un quelconq termes par ce' par exemple, noua aurons
238 CALCUL VECTORIEL
/ce /ce
et d'après les notations (4) du n*^ 3, nous aurons
Nous trouverons de même
et si nous y joignons la relation LMN =1, nous voyons que la connaissance d*un rapport anharmonique suffit pour connaître les deux autres. L'on peut donc dire qu*un système de 4 points n'a qu'un rapport harmonique.
Il faut observer que nous laissons le signe des verseurs implicite, c'est-à-dire algébriquement positif. La notion de contour fermé suffira à déterminer explicitement le signe de chaque verseur.
137. Valeurs particulières du ravport anharmonique. — 1** L =0, alors on a BB' = o ; l'un des facteurs B ou R' est nul. Alors en se reportant aux notations (1), dans le premier cas, B étant nul, le point c coïncide avec le point a, les deux vecteurs A et C coïncident et sont égaux et de signes contraires, et A' et C coïncident et sont égaux et de même signe. Alors on a M=— 1 et N= oo. Dans le second cas, B' étant nul, le point b coïncide avec le point rf, alors A et C coïncident et sont égaux et de signes contraires, A' et C coïncident et sont égaux et de même signe et Ton retrouve encore M=— 1 et N= oo.
2* L== 00, donnera M=o et N= — 1, ce que l'on démontrerait directement en prenant M=o.
3« L= — 1 donne M= oo et N=o.
Ainsi quand l'un des rapports s'annule, lés deux autres deviennent l'unité et Tinfini.
que iine
l'ii delà naissent tous lesraj tion du point de l'infini. R direction pour laquelle 1' l'infini, et les deux segmei conjugués l'un de l'autre p l'infini.
Observons que tous les I de la situation de 4 points, quand ces 4 points seront même droite, pourvu qu'il mentale (6), prise sous la principe va nous conduire l'homographie, qui est pi l'homographie pour 4 poin
138. Définition. — Q points [a, b, c, d) et [a', chacun à chacun, ont un r que les deux tétraèdres qu
Quand deux faisceaux, d 6 plans que ces droites
:t,^ '. •■•^ • '. "«v'jT^^.rrTîi
'•if . ^>
Rj '.
ti.
240 CALCUL VBCTORÎBL
rapport anharmonique égal, ces deax faisceaux sont dits homographiques.
« Quand deux systèmes de quatre points, situés comme on voudra, ou deux systèmes de quatre droites concourantes au même point situées comme on voudra, ont deux rapports anliar&ioniques correspondants égaux, les deux autres rapports anharmoniques sont aussi égaux chacun à chacun . Cette égalité résulte des relations algéhriques entre ces trois rapports, et connaissant l'un d'eux, on en déduit les deux autres (n» 6) .
Chacune des égalités
^ L=L^ M = M' N = N' comporte les deux autres. »
139. Homologie. — Quand deux tétraèdres sont homographiques, si Ion fait coïncider deux points correspondants, dits homologues, les droites qui joignent deux à deux les trois autres points homologues, concourent en un même point, qu'on appelle centre direct d'homologie.
SQit
deux rapports anharmoniques égaux de deux systèmes de quatre points (a, 6, c, d) et {a\ b\ c\ d') respectivement. Je dis que si les deux points homologues a et a' coïncident, les trois droites l)h\ ce' dd\ concourent en un même point. Soit le point de concours des deux premières, ou le point d'intersection des trois plans abb\ acd, et bcd, et soit le point d" où la droite rencontre le plan abd' ; les quatres points a, b\ c\ d" ont un rapport anharmonique égal à celui des quatre points a, 6, c, d, comme inscrits à un même faisceau ; donc le point d" coïncide avec le point d', puisque par hypothèse le rapport anharmonique des 4 points a, h\ c\ d' est égal à celui des quatre points a, 6, c, d.
CAtCDt ■VÏCTÔRIBL
lie mênje théorème a lieu pcmr deux fais pliiq'aes dequatre droites concourantes. Si l'i deïix rayons liomoit^ues, Oa, Oa', les autre: logiîea se coupent d«ux A deux en trois poin même plan, et te rapport anharmcHiiqus de avec-un quatrième point quelconque a, pri rayons coïncidents, est comnaun aux deux s; ceaux, et ces deux faisceaux ont même rap nique, comme inscrits à un même système d
140. TTiéorème de Poncelet. — Deuxtét droites qui joignent les points homologues ci même point, sont homographiques, puisqu'il un même faiscéaii de 4 droites concourante Réciproquement, si deux tétraèdres, situés c( soiit lioinographiques, si l'on joint les somm tes quatre droites concourent en un même p
D'une manière corrélative deux faisceai inscrites à un même tétraèdre, où à Un mê quatre points situés comme on voudra, phiques.
Réciproquement si deux faisceaux sont b CCS droites concourent deux à deux en 4 iliscriptibles à Un même tétraèdre dont le rs nique est égal à celui des faisceaux homogra
Les plans formés par les 6 faces trlang deux à deux deux triangles homologues, c'es cotés liomologues se coupent deux à deux droite, ou sont trois points en lignes droite d intersection obtenus de cette manière par . faces triangulaires homologues, se confonde 11 sont tl-ois à trois sur 4 droites formant pi&n qui est le plan d'homologie. Ces 6 po qu&drllatère complet.
î CALCUL TBCIOBIBL
!1 semblerait que l'on ne fait qae répéter les théorèmes de ^métria plane. Mais il est facile de voirque la généralité la question est toute autre, car Von considère 4 points int une situation quelconque dans l'espace, et les droites nme des vecteurs ayant des verseurs définis.
141 . L'involution. vectorielle. — Si d'un point pris ir centre d'une sphère-unité, nous menons les quatre 'ons Oa, Ofc, Oc, Od, aux quatre points a, b, c, d, Ils forntsur la sphère les sommets d'un quadrilatère sphérique, • lequel on retrouve toutes les propriétés du quadrilatère ■n. L'intersection des plans Oca, Obd est sur la sphère le nt d'intersection des diagonales du quadrilatère sphéue, répondant aus arêtes opposées B et B' du tétraèdre i 4 points dans l'espace. Dans le cas où les quatre points itdans un aiême plan, le point d'intersection des diagoles est sur te prolongement do cette intersection sur la 1ère. De sorte que tout quadrilatère plan est la projection itrale d'un quadrilatère sphôrique dont le centre est celui la projection. Dans lecas où les 4 points nesont plus situés is un même plan, ils sont toujours la [projection centrale u quadrilatère sphèriquo du faisceau des 4 droites conirantes au point 0. Mais les intersections des diagonales trouvent sur les plus courtes distances des arêtes opposées tétraèdre des 4 points . Les droites qui joignent les points concours des côtés du quadrilatère sphérique et auxsom- :ts forment deux faisceaux en involution et auxquels Kindent 4 autres points, ou un nouveau tétraèdre qui est involution avec le précédent. On est ainsi conduit à inir le principe de l'involution vectorielle de deux syaaes de quatre points .
Vous voyons qu'en prenant un plan de projection parali à l'une des droites d'un des faisceaux conjugués, l'un des nts passe à l'inflni, et le [rapport anharmonique devient rapport des deux autres arêtes opposées.
ÂLcuL -n larmoni n rappoi a valeur îulaires i lesquatr
cjlloul tbctotubl bc. cd -\- ca. bd + ab. cd= o, aurons en prenant pour origine commune des quatre s a, b, c, d, le point O, les trois expressions qui sont iriellement distinctes, savoir :
y6c.'Oa.6d = Ob.Oc.Oa.Od. (cos A 4- 1 sin A)
(cos A' + r sin A'), 0760706707^ Oc. Oa. 06. Od. (cosB + Jain B)
(cos B' + J' sin B'), â7Ô67Ôc7Ôd = 0«.06.0c.0d. (cosC + KsinC)
(cos C' + K' sinC'l.
ns le premier membre les droites sont des vecteurs dé- , dans le s(MM)nd membre ce sont leurs valeurs moduî communes dont l'ordre est indifférent, ms ftvons d'ailleurs, par exemple, en se reportant au rilatère sphérique, en développant le produit dos ver-
cos A cos A' — sin A sin A' cos (Ili) = cos», etc.
irte qu'en désii^nant par I la direction perpeDdiculeire lan du verseur, on a cos a + I sin a = Uo, où I est la :tion des plus courtes distances dcftcôtés opposés du èdre des quatre points inscrits au faisceau.
1 a doue pour le rapport anharmonique d'un ^sceau
Ôc7 Ôâ. Ôb. M Uï Ôb.Ôc'.Ôâ.ÔÛ ^1
-à-dire précisément le verseur du rapport anharmonique i vecteurs du tétraèdre des 4 points. De sorte que ce ort nnharmonique est indépendant de U valeur numé- 3 des droites Ou, 06, Oc, Od, c'est-à-dire de la position points sur ces droites et conserve la même valeur verso ■ e quelle que soit l'origine du faisceau^
:z^ * •srri'-" jozitrsc^ziîze coàtam «te 5 points d'ime •r^.-.:^ < n "«''^'iT^*n :r« otrsieâ hÊoremas. ^faisilfiiat ..•*r. •î^.ar:.:«*r ..lê a JK^rrainaiLoa f m poiat Je rectear
J ^'..w j:.-^.— r-îi*-zi:^r ineuiufis rbeorèmes gâiéntox
r Irf' nr 'or^ iiLiâtfTaezjijiie le intfre points reste le T-r-r-^ T.Ti*::* rjfr «^ -1 joainoa. Jt (xsi points sur une
' ^J îft^ :narr^ v;z.ià ifiat iTattirai» «an mÈ3seâes yec- •«nr-. ï m r:r.iT/::-î:» i»:::z.r. e .Tir:v'»rr anhannoniqne dn ^f$MU'c<ki\ \ iT.e -"-iieïir siisçaiire^ luefci» soit Le cinquième >vnf-
' :»^aîr* y hxj^ -*rLœi:3 tea i me inadriqae sont renv,r,tï^^ \^,»ih i 'iTiij lar in inqiiitrme plan tangent en f y,''»*j». rii 5 mr*!ir m 'efntrii^ îuni; le rapport anharnor. o'ie^î %>n^'rfiîr, iîieîqîie-».it etsnauiénie plan tangent. Ri! •^ff'ff. V» nzh» rr, ^t eaai a ytiii hi âiiscesn des quatre ir>*:#»î? :x\p',r[Pi>s i*ia poin'd ie rjntact ies plans tangents au yAT-'' iA v>n*^:î il îinti'iitiaie poinr. etc.
'ir r>'i r^î^«*.a 'aei:rj^ ies pciairsi r'édprQquBsdéniûntreque .^.a ^v ies ie *x:;*aâ:î *:&:: jes p<:iii:r-» redçroqne» des 6 seg- T.*^.r*j<, ir.vrs^y.rn.n 'iea puias '.iiagenia. et le» 4 points de ces \r,>.r*f'AX.c*v.% v>r.t 1»»^* pZ-ies iies pians du. âîsceau des
VEKI/UH'ftUH-MKU^. — IMP. L. LAURENT FILS.
