TABLES DE SECTIONS

RESISTANCE A LA FLEXION

Valeur rte la tension 3.

Dans une pièce soumise à la flexion, la limite d'élasticité, soit à la traction , soit il la compression , est atteinte lorsque la tension développée S devient égale à T ou AT,. 11 importe donc que cette limite ne soit dépassée sur aucun des deux côtés de la section. Pour les sections qui présentent deux axes de symétrie, cette condition se trouve remplie, en prenant, pour ©, la pins petite des deux valeurs T ou Tu réduite dans un certain rapport pour avoir une sécurité convenable; ainsi, pour la fonte, on partira de la charge correspondant à la traction.

Au contraire, lorsque a a", on commencera par chercher quel est le côté de la section qui travaille par traction, quel est celui qui travaille par pression. Si alors

a est l’écartement maximum des fibres sur le côté soumis à la traction, «, sur la partie soumise à la compression, T et T, les charges limites correspondant à la traction et à la compression,

M le moment fléchissant,

m le coefficient de sécurité qui, suivant les cas, sera pris égal à 2, 3 ou 4, on aura :

Exemple : pour la fonte, on a ... = •/,; (l’autre part, dan s la section

jxiraboliquc du N“ XXIV, l'effort de traction s'exerce du côté de la base-

Celte section donne a = 1 a h , a, = ‘ 5 A, — = ! , ; on a donc — > T ; par

suite, on devra prendre pour ® la râleur — ou ’ , d'on M— ’ 77 bh*. — ' m vi m 3o

Pour le fer forgé où T-=- T,, une pareille recherche n'est pas nécessaire. 1m

fonte est (Tailleurs à peu près le seul corps pour lequel, dans Tétât actuel

de nos connaissances , on doive attribuer à T et à T, des valeurs différentes.

BOLIDES ü’ÉliALE RÉSISTANCE.

Sections d’égale résistance.

Dans les pièces destinées à travailler par flexion, comme les poutres, il convient, pour assurer la meilleure utilisation de la matière, de la répartir aussi loin que possible de l’axe neutre, tout en conservant entre les diverses parties de la section des liaisons suffisantes. 11 est avantageux, en outre, de choisir des formes de section telles que, pour une charge suffisante, les parties comprimées et les parties allongées arrivent à travailler en même temps à leur limite d'élasticité. Ou doit, pour cela, prendre

Les sections, dans lesquelles ce rapport est observé, prennent le nom de sections d'égale résistance (l). Pour le fer forgé, les sections h deux axes de symétrie sont donc les plus avantageuses, puisque T »= 7', . Pour la fonte, et dans l’hypothèse où la force fléchissante conserve une direction constante, les sections les plus favorables sont celles où ai = 2 a, attendu qu’alors 7', = 2 T. C’est en observant ce rapport qu’on a tracé les sections suivantes, dans lesquelles 6 et 6, peuvent avoir, entre eux, un rapport arbitraire (Fig. 1, 2, 3).

Fig. 1.

Fig. 2.

Fig. 3.

(1) Voir à ce sujet Klose: Théorie des poutres eu fer il double cornière, Hanovre 1862. C'eBt à cct ouvrage qu’est empruntée la seconde des sections représentées ici.

RÉSISTANCE A CA FI.EX10N

Le côté qui travaille par traction est celui qui est le plus rapproché de l'axe neutre; comme module de section, on a pris

la valeur — , de telle sorte que l’on doit prendre pour S le

rapport w|. .F désigne encore la surface de la section, <p l’emploi proportionnel de matière, en prenant pour unité celui qui correspond à la fig. 1.

La valeur de <f est donnée d’une manière générale par l’expression

Dans cette formule, les lettres affectées d’un indice se rapportent à la section à étudier, les lettres sans indice à la section connue, prise comme unité de dépense de matière; on doit poser, en outre, F = [ib*, Z — a b3 et S = S,. S et S,

n’ont de valeurs différentes que si le rapport n’est pas le

même dans les deux sections. La relation (8) prouve d’ailleurs que de petites variations dans ce rapport n’ont qu’une influence très - faible.

Si la force fléchissante agit alternativement dans des directions opposées , les sections à deux axes de symétrie sont, même pour la fonte, les plus avantageuses et l’on doit prendre, comme limite de S, la plus petite des charges limites d’élasticité. Si la direction de la force change d’une manière continue, de telle sorte que l’axe neutre tourne autour du centre de gravité (axes et arbres de transmission), la section annulaire est la plus avantageuse, mais ou peut aussi adopter les sections en croix ou étoilées, comme celles des N“ IX, XI et XXIV du § 7, attendu que, pendant la rotation, on ramène constamment dans le plan de flexion des éléments de section très -éloignés de l’axe.

Exemple: on veut construire un bras en fonte, encastré comme ait N° I, § G, pour une charge P -- 2500k, avec une longueur l =» 2m. Mous choisirons la section indiquée fig. 2 et nous aurons à faire, ilans l'équation (4), M S 7. Or M 2500 X2000, Z = 55b3. En admettant 2 pour le coefficient de sécurité, nous aurons S = 0,5 x 15 — 7,5. Ces valeurs, introduites dans

l'équation, donnent 2500 x 2000 — 7,5 x 55 b*, d'où b — 100 J -j "ÿ , , soit

b — ■ 21 La surface de la section est alors 25 x 23* = 13225 “ '. Les autres dimensions se déterminent d'après les nombres proportionnels inscrit» sur la fig. 2.

SOLIDES D’ÉQALE RÉSISTANCE.

Solides d’égale résistance à la flexion.

On obtient un solide d’égale résistance à lu flexion, en choisissant les sections successives, de telle sorte que la tension maximum, soit sur le côté comprimé, soit sur le côté allongé, ait partout la même valeur. En vertu de la formule (4), l’équation qui exprimera la forme du corps sera:

= Const. (ît)

Les solides d’égale résistance il la "flexion , et surtout les formes qui s’en rapprochent, trouvent, dans la construction des machines , de nombreuses applications. Les considérations du § 4 s’appliquent d’ailleurs d’une manière complète au cas actuel. Nous reproduisons ci -dessous une série de ces profils.

La flexion qu’éprouve un solide d’égale résistance, sous l’action d’une charge extérieure, est nécessairement plus grande qu’elle ne l’est pour des solides prismatiques, avec le même mode d’application de la force. Ainsi, en comparant les valeurs des flèches qui se trouvent inscrites dans le tableau ci -après, on voit que la flèche est, dans le N" I deux fois, dans le N° V une fois et demie ce qu’elle serait pour une tige prismatique, chargée dans les mêmes conditions. En général, lorsque l’axe d’un solide, avant d’être chargé, forme une ligne droite, la ligne élastique a pour équation d*y M„ a„

da ;* Jal'nx

Dans cette formule

Ma est le moment de la force fléchissante pour une section quelconque, par exemple au point d’encastrement;

Ja le moment d’inertie de la section ;

«0 l’écartement de la fibre la plus éloignée;

ux l’écartement maximum de fibre (compté du même côté que a0) pour la section située en x.

Le rayon de courbnre p de la ligne élastique, au point xy,

est alors: