RÉSISTANCES DES PIÈCES CHARGÉES DEBOUT

Ix's expériences d’Hodgkinson ont montré, en outre, que des colonnes, reposant sur des bases dressées, se comportent à peu près comme si elles étaient eneastrées à hauteur de ces bases. On trouvera, dans la troisième section, différentes applications des formules de la résistance mixte que nous venons d’étudier.

Formes d'égale résistance pour les pièces chargées debout.

On obtient une forme de solide d’égale résistance, pour les pièces chargées debout, en faisant décroître les sections, à partir de la section dangereuse, de telle sorte qu’on supposant produite une petite flexion, la tension maximum reste la même dans ton* tes les sections.

Pour le cas N° Il du paragraphe précédent, et en supposant que la section soit un cercle plein, on peut se servir de la formule suivante, établie par ltedtenbacher:

Cette formule se simplifie si l’on pose:

on trouve alors:

(2 if -- sin 2 if)

Fig. 4.

Cette équation permet de construire graphiquement le contour de la pièce.

En prenant l’angle if, comme variable indépendante, cette courbe a, pour équation de ses abscisses, l’équation d’une cycloïdc, pour celle des ordonnées, une sinusoïde. Ou trouvera plus loin, à propos des bielles, un mode de tracé de cette courbe. La forme de solide qu’on obtient ainsi est représentée approximativement dans le deuxième tracé de la fig. 4. La génératrice est ici un arc de cercle, dont le rayon est le rayon de cour-

RÉSISTANCE COMPOSÉE

bure de la courbe réelle pour le point x — ■ D'une manière

générale, on peut remplacer la courbe réelle par une ligne à faible courbure. Cette approximation est parfaitement suffisante, attendu qu’en réalité la pièce ne doit pas éprouver de flexion sensible. La pièce précédente, supposée libre , présente les s/4 de la résistance d’une pièce cylindrique de diamètre h et de même hauteur l.

Résistance composée.

Il arrive fréquemment qu’un corps soit soumis à la fois à plusieurs forces, susceptibles de produire des effets différents, qu’une section, par exemple, travaille à la fois par compression et par flexion, ou par torsion et par flexion, etc. La résistance de la pièce et la tension maximum qui s’y développe doivent alors être calculées d’une manière différente de la méthode ordinaire. On trouvera, dans le tableau ci -après, les principales formules applicables aux cas de résistance composée, qui se présentent le [dus fréquemment. Dans ces formules,

6 désigne la tension maximum, développée dans la section dangereuse ;

Z le module de section au point dangereux, lequel est indiqué en B dans les figures;

F la surface de la section;

J son moment d'inertie (§ 7);

Mf un moment de flexion ;

M, un moment de torsion;

M, un moment idéal de flexion ( Mf): ou de torsion ( M, );, L’examen des formules montre qu'il est souvent utile de tenir compte de la résistance composée. Ainsi, dans le cas

•N" I, si 11= , c’est-à-dire si la charge d’une tige a son point

d'application au bord de la section, on a P = c’est-à-dire

que la résistance de la pièce est seulement le quart de ce qu’elle

serait si la force agissait au centre. Si la section est un cercle

(il), on a P = — - , et en faisant 11 — c’est-à-dire en

RÉSISTANCE COMPOSÉE

Mode d'action.

Résistance de la pièce.

l + Rz

Pour une section rectangulaire (4 A)

Bbh

cos u -|- g l «in n

Pour une section rectangulaire (bh)

P— Qb)

cu« tt -j- 6 ^ «in n

cüs«-(- „ (lsin n + R cos n)

Æê

Pour une section rectangulaire {bh)

„ evh

CO« n -|- 6 («>n n ■) — j- cos n)

n BZ

PI est un moment de flexion Mf, PR un moment de torsion Mt.

VM,1 4- jWj* -j- 2 If, Mi cos u M, désignant le moment (fléchissant) de P„ celui de J’4.

RÉSISTANCE COMPOSÉE

Moments idéaux.

Moment fléchissan Pour une

| section circulaire (d):

t idéal pour la tension ©: (/ Pour une

section elliptique ( bh ):

Wi-p(a+ f.).

Pour une

section rectangulaire (b h):

Moment fléchissant id Pour une

section circulaire (d):

Pllstna-f- g Cosuj

■al pour la tension ©: (M/)t Pour une

section elliptique (b h):

(M/)i = P^l sinrt-j- g cos o j

= P (l sin it -f- y co*

Pour une

section rectangulaire (b h) :

(Mj)i — Ptlsina -(- court !

Moment fléchissant idéal pot Section circulaire (d):

PiRcosa-{-lsma g cos a)

ir la tension S: (M/)t = P

Section elliptique (bh):

(Mr).=

J^Jî cos tt -f- 1 * in « + g co* fï)

| Renfla -{- Inn « -f- y cos «J.

Section rectangulaire (b h):

WH -

I’^Rcosa -f- JstHft + -g COSn)

Moment fléchissant idéal pour la tension S :

(M/)i — •/. MJ + %VAf/ + Miÿ Moment de torsion idéal pour la tension S :

(Mt )i = nU -f- SU YMf -1- Mt *.

Moment fléchissant idéal pour la tension © :

(M/) i ■=* ŸM,* + JM** 4* 2Jtf, ÆT,co* «.

Dans les cas IV et V, on suppose que la section de la tige est nne section telle qne deux axes principaux rectangulaires la divisent en quatre portions symétriques.

RÉSISTANCE COMPOSÉE

supposant encore la charge appliquée au bord, on trouve P =»

— la résistance est donc encore plus petite que pour le

cas d’un rectangle. Les cas I et II se déduisent du cas N" III en y faisant a — O ou If — 0.

Les moments idéaux ont une utilité particulière pour les sections elliptiques et rectangulaires, où la plus grande dimension h est, comme ou le sait, supposée dans le plan de la flexion. Si on connaît, à priori, cette dimension, ce qui arrive fréquemment lorsqu’on se donne le profil du support à installer, le moment idéal permet de déterminer facilement la résistance composée, attendu que le terme entre parenthèses, à droite, donne le bras de levier de la force P pour ce moment idéal. Ce bras de levier étant, en général, facile à déterminer, surtout graphiquement, on se trouve ramené au cas d’un effort de flexion simple. Si, par exemple, dans le cas N” II, pour a = 45°, soit cos a = sin a 0,707, on se donne la hauteur h du rectangle, la section en II doit être calculée comme si elle était soumise à une force

fléchissante P, agissant avec un bras de levier 0,707 1 + 0,707 ^ . Dans le cas N» I, on trouve, pour R => 0 et pour une section circulaire, (M. ),• = P ^ et l’on doit avoir P = S^ d *, ou P=

S d2, ainsi qu’on pouvait le prévoir, puisque, pour II = o, la

tige ne travaille que par traction. — - est donc le bras de levier

que devra avoir une force fléchissante P, pour exercer sur la pièce le même effort qu’une force de même grandeur agissant dans la direction de l’axe. Ceci n’est d'ailleurs exact rigoureusement qu’à condition de négliger les efforts de glissement dans le calcul de la flexion. — Les formules IV et V présentent également un grand nombre d’applications utiles (voir les calculs d’arbres et d’axes de machines).

Résistance des enveloppes.

Les tableaux suivants, qui reproduisent quelques-uns des cas les plus importants dans la pratique des machines, permettent de déterminer la résistance des enveloppes à section eircu-

RÉSISTANCE DES ENVELOPPES

luire, dans lesquelles l’épaisseur des parois est relativement faible. I>a théorie de la résistance des enveloppes est encore loin d’être complète, et elle est surtout discutable pour les cylindres soumis à des pressions extérieures; aussi, nous ne donnons que les formules relatives aux pressions intérieures. Dans ces formules, ji désigne la pression effective (différence entre la pression intérieure et la pression en sens inverse) par unité de surface sur la paroi,

E le module d’élasticité de la matière, r et d le rayon intérieur et l’épaisseur de l’enveloppe.

Les formules des N" 1 et II peuvent s'appliquer, mais simplement il titre d’approximation,' jusqu’à la limite de rupture.

l'r Exemple. Pour un réservoir cylindrique , en fer forgé, de 1000°"° de diamètre et dont la paroi a 10 ““ d'épaisseur, on admet que la matière lieut être soumise à une tension 3 — 8. D'après la formule I, ce rase jicut

supporter une pression intérieure effective de p = 8 ( \ — l) — 8x0,0198

= 0k,/.>S par millimètre carré. Cette pressioir représente sensiblement, en utmosplrères , 100 X 0,158 — - 15°"°, 8. Comme l'on a K — 10, le vase éclaterait si la tension intérieure était 5 fois plus forte, soit de 79 atmosphères.

2° Exemple. Un réservoir sphérique, ayant également 1000°"" de diamètre et lümm d'épaisseur, avec 3 — 8, pourra sujiporter, d'après le N° 11,

une pression p = — Okf32 par millim. carré, soit 32 atmosphères.

3 ” Exemple. Un fond plat, en fer forgé, rivé sur le cylindre du premier exemple, devrait, pour S — 8 et d'après le N" IV, avoir comme épaisseur le nombre considérable J — 500 V “ 500 • 0,8 IG ■ 0,11 «= 57mm,12.

RÉSISTANCE DES ENVELOPPES

La flèche f, que présente une plaque ronde, a pour valeur, d’après Grashof, pour le cas N“ III,

et pour le cas N° IV,

4" Exemple.

La plaque calculée au 3" exemple devrait donc, pour

E -= 30000, présenter une flèche f = j Jjjggg — 0—, 44.

RÉSISTANCE DES ENVELOPPES. 57

Les formules qui précèdent ne sauraient plus s’appliquer ou conduiraient souvent à des résultats crronnés pour les enveloppes dont les parois, par suite de pressions intérieures considérables, doivent avoir une très -forte épaisseur, comme dans les canons, les cylindres de presses hydrauliques, etc. Dans ces enveloppes, les tensions des fibres aux divers points d’un même rayon sont, suivant les circonstances, extrêmement différentes les unes des antres; or, les rapports de ces tensions exercent une influence marquée sur la résistance de la pièce. Suivant d’ailleurs la loi que l’on admet pour ccs rapports des tensions, on arrive pour les épaisseurs à des résultats tout différents. Jirix calcule les tensions aux divers points d’un rayon, en admettant que, sous l’action de la force intérieure, l’épaisseur de la paroi ne subit aucun changement Barlow admet, au contraire, une loi de variation telle que le surface de la section annulaire (cercle) conserve une grandeur constante. Lamé ne fait aucune hypothèse préliminaire et calcule rigoureusement les variations de tension, pour les diverses molécules d’un même rayon , en fonction de la pression intérieure. Cette méthode est assurément celle qui conduit aux notions les plus vraisemblables pour les différents éléments de la pièce. En conservant les notations précédentes, on déduit des trois théories (1) les formules suivantes.

Valeurs.

Brix.

Barlow.

Lamé.

<*•+ dE+r*

Vüf-i

„ (r + dV— r*

(1) Voir Org. f. Eiscnbahnwesen 1859. — H. Scheffler, sur l'élasticité des tuyaux; cet article intéressant traite ce sujet d'une manière complète, même dans les cas les plus compliqués , comme ceux des tuyaux avec fond ou des tuyaux renforcés.

CALCUL DES RESSORTS

Les trois théories s’accordent pour indiquer que la tension maximum de la matière se produit sur la paroi intérieure; c’est donc à eelle-ci que s’applique la valeur de 6. La formule de Lamé et celle de Barlow conduisent, en outre, à ce résultat remarquable que la surépaisseur de la paroi, au delà de certaines limites, n’augmente plus la résistance de la pièce. La limite de résistance correspondant à la tension 3 est atteinte, lorsque p = 6. La résistance théorique est elle -même atteinte, lorsque /> devient égal au coefficient de résistance de la matière. La pression intérieure commence alors par allonger, d’une manière permanente, les fibres intérieures et, si elle continue à s’élever jusqu’à la valeur du coefficient de rupture, elle les fait éclater. La limite théorique de la résistance a lieu pour p «= T, c’est-à-dire fonte fer forgé acier fondu pour p — 7,5 15 25

en atmosphères 750 1500 2500

Du reste, les défauts d’homogénéité de la matière peuvent amener, non seulement un allongement, mais encore une rupture, pour des pressions très - notablement inférieures à ces limites. Eu outre, dans les canons de fort calibre, les tensions atteignent 2500 (et même 6000) atmosphères. On comprend donc que des canons en acier fondu, homogènes, puissent fréquemment ne pas résister. Pour renforcer ces pièces, on a essayé de les composer de couches annulaires non homogènes, soumises à des teusions différentes : on est arrivé ainsi aux systèmes de frettes extérieures ou de garnitures intérieures. En Angleterre et en France, la première de ces méthodes est très en usage; mais c’est nu problème toujours très -délicat de réaliser, dans la pratique, les tensions voulues dans les différentes couches. Dans les presses hydrauliques, on tourne ordinairement la difficulté en donnant au diamètre du cylindre une grandeur telle que la pression, exercée par l'eau, reste inférieure aux limites correspondant à la sécurité.

Calcul des ressorts, (i)

Les matériaux qu’on emploie pour la construction des machines sont tous plus ou moins élastiques; ils ne peuvent donc

(1) Voir l'ouvrage de l'autour: .Construction et calcul des principaux types de ressorts. Winterthur, Wurster et O, 1S57.

GAMJVL I)KS RESSORTS.

résister aux forces extérieures que moyennant une déformation, qui, si les dimensions des pièces sont convenablement choisies, disparait, lorsque les forces extérieures cessent d’agir. On cherche, en général, à réduire les limites de cette déformation (allongement, raccourcissement, flexion, torsion), de façon à rendre les pièces aussi rigides que possible. Toutefois, dans les ressorts, ou utilise cette élasticité de la matière, soit pour amortir les chocs (tampons, ressorts de wagons), soit pour produire un mouvement (horloges), soit enfin pour obtenir des appuis présentant une certaine douceur (chabottes). 11 suit de là que les ressorts doivent se composer de systèmes susceptibles d’éprouver, entre les limites d’élasticité, des variations de forme relativement considérables et, comme ces variations sont soumises aux lois de la résistance des matériaux, il en résulte que la théorie des ressorts trouve ici sa place naturelle.

Les résistances directes à la pression ou à la traction ne peuvent être utilisées, pour les ressorts, que s’il s’agit de matières très- extensibles ou très -compressibles, comme le caoutchouc. Pour les matières moins déformables, comme le bois ou les métaux, on utilise surtout les résistances à la flexion ou à la torsion. Nous avons réuni, dans le tableau suivant, les types les plus importants de ressorts, agissant par flexion ou par torsion, en rappelant leurs propriétés essentielles.

Bien (pie la faculté de déformation soit, dans un ressort, la propriété essentielle, il peut être utile de tenir compte de la dépense de matière qu’il exige. Cet élément est indiqué dans l’avant - dernière colonne, en supposant que, pour tous les ressorts, la charge et le déplacement du point d’application aient la même valeur. On a pris pour unité le volume correspondant aux ressorts triangulaires.