RÉSISTANCE* A LA TRACTION ET A I.A COMPRESSION
Résistances à la traction et A la compression.
Une lige travaille par traction, lorsque la force P qui agit sur elle tend h l'allonger dans le sens de la longueur. Si, au contraire, la force tend à la raccourcir, la tige travaille par compression, sous la réserve d’ailleurs que la longueur de cette tige ne soit pas trop considérable par rapport à sa section (Voir $ 10.).
Si l'on désigne par
q la surface de la section de la tige considérée,
3 la tension déterminée dans cette tige par la force P. on a, en négligeant le poids propre de la tige, la relation:
Exemple: L'arbalétrier >r une ferme, dans une toiture, exerce à sa base un effort de 10000 fr*, effort qui doit être neutralisé jtar titre tige horizontale ronde formant tirant. Si l'on fixe comme tension admissible © = 5 k” ,
et
on demi poser, pour acoir le diamètre du tirant d, <Sq = 5 ■ j ■ d‘ — 10000, d'où d = l/— ■ 2000 =■ 50,42, soit 50"".
Les déformations principales, qui se produisent dans un corps travaillant par tension ou par compression, sont des allongements ou des raccourcissements. Un corps prismatique, soumis à un effort de traction P, s’allonge en vertu de cet effort, et la quantité A, dont varie la longueur primitive l de la tige, est donnée par la relation:
cette formule demeure applicable tant que 3 est inférieur à la tension T correspondant à la limite d’élasticité. Elle s’applique également à la compression. Dans ce cas, la limite à laquelle la formule cesse d’être applicable est fournie par le module d’élasticité de compression Tt.
Exemple: la tige calculée plus haut arait, avant sa mise en place, une longueur de 35" ; une fois chargée, elle s'allongera de
aoooo ™ 4 >
soit 9
Comme, dans les efforts de traction ou de compression, tous les éléments d’une section travaillent également, même quand
RÉSISTANCE DEK MATÉR1ACX.
on dépasse la limite d’élasticité, la formule (1) peut encore, à la rigueur, être appliquée à ce dernier cas et donner, par suite, la force nécessaire pour rompre ou écraser un corps. Il suffit d’y introduire le module de rupture correspondant.
Exemple: pour rompre la tige déjà calculée plus haut, il faut exercer M effort de traction V — K X q ou, d'après la table du paratjraphe 2,
1‘ 10 X 50- J = 7S540. — Pour écraser une petite longueur de celte tige,
il faudrait dcteloigtcr une force P , — K, <i = 22 x ôO* j —» 11107 Ar*.
Solides d'égale résistance A la traction et A la compression.
On obtient des formes de solides d'égale résistance, en choisissant des sections successives telles que, dans toutes, la tension maximum © conserve la même valeur, ce qui permet un emploi relativement avantageux de la matière. Il est rare que ces formes se déterminent avec une exactitude rigoureuse; habituellement on se contente d’une approximation; souvent même ee sont de simples types d’architecture, destinés à donner à certaines parties d'une construction l'apparence de pièces d’égale résistance, sans que cette propriété existe réellement. Toutefois, les formes exactes d’égale résistance ont un intérêt réel pour le constructeur. Une fois qu’il est bien familiarisé avec elles, il dessine sans peine les profils convenables pour les parties chargées d’un édifice, en faisant intervenir le sentiment artistique pour corriger le type, souvent peu agréable à l’œil, que fournit le calcul mathématique.
Les formes indiquées ci -après se rapportent aux pièces travaillant, soit par traction, soit par compression. Comme exemples de leur utilité technique, nous citerons les vis A bois, les boulons, les colonnes, etc. Les conditions spéciales aux colonnes se retrouvent d’ailleurs dans les cheminées en maçonnerie, dont le fût est légèrement incliné , les piles de ponts et de viaducs, etc.
SOUDES d’ÉOAI.E RÉSISTANCE (TRACTION OU COMPRESSION). 7
K<|ii»tiuD.
Observations.
Charge P uniforinéincnt répartie sur toute la longueur île la pièce, lies sections de la pièce sont circulaires. Profil parabolique. — Forme approchée : tronc de cône ayant pour diamètre à • »
l’extrénute t’
■ Charge P répartie de [ façon a décroître unifor- ' incluent à partir du haut.
! Section circulaire. Forme i du corps: cône droit.
j <• s» 2,718 . . . Base logarithmes naturels.
\ log. q — log. g
des
K11 dehors de P la pièce a à supporter son poids nropro, qu’on suppose de y par unité ae volume. Les sections vont en croissant vers la section d’encastrement, suivant la même loi qne les abscisses d’une logarithmique.
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Résistance transversale de glissement on de cisaillement.
Un corps est soumis, dans une de scs sections, à un effort transversal de glissement ou de cisaillement, lorsque la force extérieure P est dirigée dans le plan de cette section.
Si q est encore la surface de cette section et <B la tension développée, on a pour la charge, comme dans le cas d'une compression ou d’un allongement,
La limite d’élasticité est atteinte, lorsque ® est égal aux 4/5" de la plus petite des deux charges limites de traction et de compression; ainsi, pour le fer forgé, où T = Tx — 15, la limite a lieu pour 3 = 12; avec la fonte, où T < T, et est égal à 7,5, elle correspond à6= 6. La tension maximum ne se produit pas, en effet, ici dans le plan de la section, mais elle est oblique sur ce plan et a pour valeur les 6/4** de S.
Dans le cas d’un effort de glissement, le déplacement relatif qu’éprouvent deux sections infiniment voisines est extrêmement faible, tant qu’on reste au-dessous de la limite d’élasticité, mais il devient sensible, lorsqu’un grand nombre de sections consécutives éprouvent chacune eet effet de glissement, dans le cas, par exemple, d’une tige travaillant par torsion.
Si l’on admet (pie l’équation (3) soit encore applicable dans les cas où on atteint l’effort capable de produire la séparation, dans les cas, par conséquent, où le corps est buriné, cisaillé ou percé, cette équation permettra de calculer la tension correspondant h la rupture par cisaillement. Cette valeur de <3 est un peu différente du coefficient de rupture par traction K, ce. qui s’explique par ce fait que, dans le cisaillement, K et Kl sont en jeu simultanément (1). Pour le calcul des machines travaillant dans ces conditions, on prend, en général, pour valeur du Coefficient de rupture 1,1 K.
(1) Voir Iteiche: Percement des plaques métalliques. Civ. Ing. 1801.
RÉSISTANCE A LA FLEXION
Résistance à la flexion.
Lignes élastiques.
Une pièce travaille par flexion, lorsqu’elle est soumise à des forces extérieures dirigées perpendiculairement à son axe. Tant qu’on ne dépasse pas la liante d’élasticité, il se produit, dans chaque section normale de la tige, un équilibre entre le moment des forees extérieures et celui des forces moléculaires développées dans la section, ees moments étant pris par rapport à l’axe neutre de la section. Cet axe passe par le centre de gravité de la section et est perpendiculaire au plan de flexion; il divise la section en deux parties: dans l’une, chacune des fibres , parallèles à l’axe de la tige, est soumise à un effort de traction, dont l’intensité est proportionnelle à la distance de la fibre à l’axe neutre; dans l’autre, au contraire, les fibres travaillent par compression et l’intensité de l’effort est encore proportionnelle à leur distance de l’axe neutre. 11 suit de là que des fibres, situées de part et d’autre et à la même distance de l’axe neutre, subissent des déformations égales, mais de sens contraire. Comme on le voit, la résistance à la flexion se compose de deux résistances combinées, l’une à la traction, l’autre à la compression, ces deux résistances se trouvant compliquées d’ailleurs par une déformation de la ligne d’axe.
Si maintenant on nomme
M le moment statique de la résultante des forees qui agissent par flexion dans la surface, ce moment étant rapporté à l’axe neutre de la section,
J le moment d’inertie de la surface par rapport à son axe neutre, a la distance de la fibre la plus éloignée de l’axe neutre, soit sur le côté qui travaille par compression, soit sur l’autre, S l'effort moléculaire développé dans cette fibre, on a:
RÉSISTANCE UES MATÉRIAUX
Le produit — - s'appelle le moment fléchissant de la section
considérée. Si la tige fléchie est prismatique et si l’on désigne par P la résultante des forces qui déterminent la flexion, par x son bras de levier pour une section quelconque, l’expression M = Px peut avoir des valeurs differentes pour les diverses sections. Celle pour laquelle Px prend sa plus grande valeur porte le nom do section dangereuse, et la force P, qui détermine, dans cette section, la tension positive ou négative S, a pour expression :
xm représentant la valeur spéciale de x pour laquelle Px devient maximum.
Lorsque la ligne des centres de gravité des sections est située dans le même plan que la résultante des forces extérieures, cette ligne n’éprouve, par l’effet de la flexion, qu’un allongement nul, ou tout an moins négligeable; elle est simplement courbée et le rayon de courbure correspondant q est donne par la formule
JE
La courbe correspondante s’appelle ligne élastique, et son équation rentre dans l’expression générale d*y M dx* “ JE
Dans la table qui suit, on a réuni, pour une tige prismatique soumise à une force fléchissante, agissant dans diverses conditions, les valeurs ci- après:
1”, le moment M de la force pour le point x;
2", la charge de flexion P, calculée suivant la formule (5);
3", les coordonnées a; et y de la ligne élastique;
4”, la valeur f de l’abscisse y au point d’application de la force, dans les exemples I A VI;
5°, enfin, la flèche maximum f, dans les exemples VII A XIII.
Dans tous les cas examinés, on a négligé le poids propre de la pièce, ce qui, dans nombre d’applications, notamment dans la construction des machines, est parfaitement permis; (il n’en serait plus de même pour les ponts ou les grandes constructions). Les exemples VII A X indiquent d’ailleurs comment on devrait
RÉSISTANCE A I.A FLEXION
procéder pour tenir compte de ce poids. — Les N” XI et XII montrent qu’une répartition inégale de la charge peut, dans certaines conditions, augmenter notablement la charge de flexion d’une |>outre, qui, dans ces deux eas, se trouve être une lois et demie celle des N"' VII et VIII. En même temps, la répartition de charge admise pour XI et XII donne lieu à des flèches plus faibles que dans les cas des N“‘ VII et VUI. Ces considérations sont très- importantes pour l’établissement des projets de magasins. — Le mode de répartition du N” XIII est, par contre, désavantageux au point de vue de la charge de flexion, qui se trouve réduite aux */* de celle du N° VIII; en outre la flèche est plus grande.
II convient de remarquer (pie la flèche f croit comme les cubes des longueurs et que, suivant la manière dont est supportée la pièce, cette flèche varie dans des limites très -étendues.
RÉSISTANCE A CA FLEXION
Equation de la ligne élastique.
Flèche f.
Observations.
Une des extrémités libre.
PP 1 .T 1 .T3 I ■> J E \ l 3 P 1
Section dangereuse en B. j
PP ÎÜ./A'I 1
Pièce à deux appui»
simples.
Section dangereuse au milieu.
^ J R lit le"* C, f* C,
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Section dangereuse en ('.
Réaction X—P
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