CALCUL UES RESSORTS

Dans les formules du tableau qui précède,

E désipue toujours le module d'élasticité,

G le module de torsion de la matière du ressort, e’est-àdirc */j E (voir § 11).

Les eoelfieients de résistance des matières qu’on emploie pour les ressorts sont donnés § 2. Mais il importe de remarquer que, pour faire travailler les ressorts par torsion avec la même sécurité (|uc les ressorts par flexion, on ne doit prendre, pour les premiers, que les *1^" de la tension S (voir § Les formules demeurent d’ailleurs applicables, quand la direction de la force P est de sens contraire à celle qu’indiquent les figures. Dans tous les cas examinés, le volume V des ressorts s’obtient par la relation,

C désignant une constante, qui dépend de la forme du ressort, {P- f) le produit de la charge par la flèche , en d’autres termes, le travail du ressort. On en conclut que, pour tous les ressorts a])partenant au même type, composés de la même matière, présentant la même sécurité et donnant lieu à un même travail (P f), le poids reste le même, quelle que soit la longueur l ou de quelque façon qu’on choisisse les dimensions arbitraires. I^e

quotient

montre que les matières les plus avantageuses, pour

les ressorts, sont celles qui ont un faible coefficient d’élasticité mais un module de résistance élevé. Or, la table du § 2 donne:

pour 1 acier fondu trempé, ^ ■= 7,U>

„ . . 20000 pour 1 acier ordinaire, non trempé, =

pour le cuivre

pour le bois

L’acier trempé est donc théoriquement, et comme le confirme la pratique, la matière la plus avantageuse pour les ressorts.

Il convient de signaler encore cette propriété, commune à tous nos tjqies de ressorts, que leur flexion, ou le déplacement du point d’application de la force, est proportionelle à la charge.

CALCIX DE» RESSORT».

Il résulte de là que les oscillations d’un ressort chargé rentrent dans la clas.se des oscillations simples, ou iHMidulaires, et que leur durée peut se calculer facilement. En négligeant le poids propre des ressorts, chacun de ceux que nous avons étudiés oscille, sous l’action de la charge P, comme ferait un pendule simple de longueur f{\), de sorte que le temps t «d’une oscillation simple est

q^9810'”’“ désignant l’accélération due à la pesanteur.

Kxemptt» (Tapiilicntion de la théorie des ressort». — 1. On veut calculer UH reiteort triantjulaire simple (t>jl>e N° II) pour une charge P — 50h et une flexion f = 50““. Choisissons, comme matière, l'acier fondu avec E = 30000 et posons S = 40'‘; si «o«s prenons pour longueur du ressort l

= 400““, la colonne 6 >ious donne X -j-, (fou h = ^^0000

. . , , hx33^

=■ 1(P"°,66. Maintenant, d'a]>rrs la colonne 4, on a M 400x3*

fc=5C™,.ÎJ, soit 36"”', 5. volume correspondant V —

=. 56533 millim. cubes.

5“ Exemple. En conservant la mime matière, faisons l =

a alors: h = =6'”",b^ SlxdO '

bhl

= 56350 millim. cubes, c'est-à-dire qu'en tenant compte des fractions néglC gées pour arrondir les nombres, on trouverait jxmr V la même valeur que dans le P' exemple, conformément n la remarque faite sur la formule (30).

3* Exemple. O» veut remplacer le ressort précédent par un ressort cylindrique en hélice (Ij/pe N" IX), fabriqué arec la mime matière. Ce nouveau ressort agissant par torsion, nous devons, pour conserver la mime sécurité, remplacer <Z = 40 par les ‘/s" de cette valeur, soit 32. Si nous jn'enons, en outre, prnir le diamètre du fil d'euder, d == C”“, la colonne 4, N” IX,

donne 50 = a ^ , d'où E = — - 5T,t4"“, soit 27'°'”. D'après la

colonne 6, on doit pendre, pour la longueur du fil, ( = 33 . :i .'^57 ‘

10(XX) l

12 S33,3, ce qui donne, pour le nombre de tours, i = =

2 ■ Il ■ 27 ~ roulait avoir un plus grand nombre de

.spires , il faudrait pendre d plus ptil. Le volume du ressort est K, --l-^ . d* = 833,3 ^ 36 = 23562 millim. cubes. Ce volume, comparé au pi-

(1) Voir les traités do physique.

Reale»ax, le Constmeteur.

CALCUI. DES RESSORTS.

JJ 3.9 » ‘A,, chiffre qu'eût donné la colonne T,

A'° IX, si Poil n'arail pas arrondi les chiffres.

Le caoutchouc vulcanisé ou sulfuré est fréquemment utilisé comme matière de ressorts, notamment dans les tampons de wagons, les marteaux - pilons , etc., oti on l’emploie généralement sous la forme de disques superposés et séparés par des ])la(|ues métalliipies. Les cxpérieuces, faites en vue de déterminer la manière dont se <!omi)orte le caoutchouc en se défonnant, sont encore trop incomplètes pour <iu’on en puisse tirer des règles de construction. Néanmoins, j)our de petits diamètres, et notamment pour les tampons de wagons, on peut partir des indications suivantes (1).

Les ligures 5 et 6 donnent les sections le plus fré(|uemment adoptées pour les tampons. Sur l’une des faces de chaque disque est ménagé un bourrelet annulaire, sur l’autre une gorge dans laquelle s’engage la ])laque intercalaire, de façon à prévenir les déplacements latéraux.

Lorsqu’on soumet un ressort de ce genre i\ une compression dirigée suivant l’axe, le volume du ressort reste invariable; l’épaisseur <liminue, mais, par contre, le diamètre augmente. Les fibres qui fatiguent le jdus sont en E, à l’extrémité extérieure, et elles travaillent par traction. Il se produit d’ailleurs des déchirements en ces points, quand on dépasse la limite d’élasticité.

(.hi atteint A peu près cette limite d’élasticité, lorsque la charge représente ‘/j k par millim. carré de la section initiale.

donc être j)ris égal à <>'‘,.5, lors(|u’on calcule la pièce comme tra-

(1) On a Qtüiaé les nombres fournis par les précieuses eipériences de Werder à l’usine de KIctt et C‘* de Nuremberg.

mesurée normalement à l’axe. Le module de

itanee T doit

CALCri. DES RESSORTS.

vaillant simplement par compression. Ce module est d’ailleurs un peu plus élevé (jusqu’à o^,55) pour les caoutchoucs de faible densité, un peu plus faible (jusqu’à 0“",45) pour les caoutchoucs plus denses. Le poids spécifique, qui varie du reste suivant la teneur en soufre, est compris entre 1 et 1,.32.

Lorsqu’on arrive à la limite d’élasticité, la section du tore suivant E F se trouve à j)eu prés doublée par rapport à la surface primitive, et le contour ECDF est au contour primitif A B C D dans le rapport de 4 à .3.

Dans les limites de l’éla.sticité, la compression s’opère suivant une loi variable avec la qualité du caoutchouc, mais qui peut s’exprimer approximativement par la formule empirique

dans laquelle ). représente le raccourcissement éprouvé par l’épaisseur primitive ?, sous l’action de la force F, q \a section initiale du tore, mesurée dans un plan normal à l’axe, y le poids spécifique de la matière.

Exemple. Un ressort, disposé suiranl le tyjx de la fig. 5, a 143^'“ de diamètre extérieur, de diamètre intérieur, ce gui correspond à une

surface de section g 1 1530’“'" ; l'éjsiisseur des disgues est l ■= 35'"'" et la densité du ctuntfchouc y ^ 1. On le soumet « une jtression de Z.VXf.

La charge par unité de surface de la section primitire est alors - •= —Cé’,217; cette charge se trouve donc au-dessous de la limite d'élasticité. D'après la formule (28), la comjiression réduira la hauteur de 1 = 35^0,217 ™ 35 X 0,460 = ]0‘""‘,31. Des essais directs sttr la même pièce ont donné X = 16'"'",75.

Dans les tampons de chemins de fer, on emploie de 4 à 7 rondelles, dont les dimensions sont précisément celles de l'exemple précédent. La réductidn de hauteur totale est alors, comme on le voit facilement, égale à celle d’un anneau isolé multipliée par le nombre des anneaux.

Dans la j)ratiquc, on obsen e fréquemment que les ressorts en caoutchouc perdent rapidement leur élasticité et finissent par se transformer en une masse dure et cassante. Mais les résultats obtenus dans de nouvelles installations, exécutées avec bcaucouj) de soin, pennettent de conclure que cet inconvénient se produit seulement quand les anneaux, pendant leur déformation, sont exposés à des frottements de glissement. Pour éviter ces frottements, il faut que les plaques intercalaires dépassent le caoutchouc, tant à l’inté-

CALCUI. DES RESSORTS.

rieur qu’à l’extérieur, d’une quantité telle que la matière, après déformation, ne vienne frotter, ni contre la boite, ni contre la tige centrale. Les tampons, dans lesquels cette condition est observée, présentent une durée très -satisfaisante.

n confient de donner aux anneaux une forme telle qu’il ne puisse pas se former de plis, sur les bords. — Ces plis, qui ont pour conséquence une usure rapide, se produisent facilement dans les sections analogues à celle de la fig. C et prennent alors la forme indiquée en F^. Les anneaux à section rectangulaire, comme ceux de la fig. 5, sont à l’abri de cet inconvénient et doivent, par suite, être employés de préférence.

DEUXIEME PARTIL

NOTIONS DE GRAPHOSTATiaUE.

Remarqae» préliminaires.

L’équilibre de plusieurs forces, agissant sur un système de points matériels, peut être représenté par un tracé graphique, à la condition de remplacer cliacime de ces forces par une ligne droite, ayant même direction, même grandeur et même position dans l’espace. La direction d’une force est donnée par les angles que fait la droite qui la représente avec les axes de coordonnées. La longueur de cette ligne donne la grandeur absolue de la force ; on indique généralement par une flèche le sens dans lequel elle tend à produire le mouvement; enfin la position de la droite, par rapport au système d’axes , définit les constantes qui s’appliquent à la force considérée. Cette représentation des forces par des grandeurs géométriques permet de transformer les questions de statique en simples problèmes de géométrie appliquée et d’arriver, par suite, à des solutions infiniment plus simples que celles de l’analyse algébrique, dans les cas notamment où certains éléments à déterminer sont des grandeurs géométriques, qui doivent, en définitive, être reportées sur des plans. En coordonnant méthodiquement les solutions graphiques de ce genre de problèmes, on est arrivé à former un corps d’enseignement

NOTIONS DE OIUPHOSTATIQUE.

spécial, sous le nom de statitiuc (fniphique, que nous proposons de remplacer par celui de graplwshitiquc (1).

Cette méthode est extrêmement i)récieuse pour l’établissement des projets de machines et nous aurons de fréquentes occasions de rem])loyer, dans le cours de cet ouvrage, pour l’étude des pièces élémentaires. Afin de rendre plus intelligibles les applications que nous aurons à en faire dans la suite, nous croyons devoir rappeler brièvement quelques-uns des princij)es de cette méthode.

De la graphostatique on pourrait, à la rigueur, éliminer ces méthodes de calcul graphique qui s’ai)pliquent aux cas où les éléments n’inter\iennent que par leurs mesures, comme, par exemple ceux où les forces n’entrent que par leurs grandeurs, au même titre que des unités d’ordre quelconque. Ces méthodes, qu’on désigne sous les noms divers de calcul graphique, arithmétique graphique ou arithmogra]tlûe , etc. doivent, dans tous les cas, former une subdivision (2). Nous commencerons j>ar raitpcler les principes relatifs à ces problèmes de pure arithmétique graphique. Nous ne saurions d’ailleurs trop insister, auprès du lecteur, pour qu’il se pénètre bien de ces principes fondamentaux, dont nous aurons à faire un usage constant

Multiplication des lignes.

I.C8 lignes dont on fait usage dans l’arithmétique graphique se mesurent au compas et à la règle divisée; elles peuvent exprimer par leur longueur, et suivant ruuité qu’on aura choisie, des mètres ou des millimètres, des litres, des vites.scs, des monnaies, etc. Les opérations d’addition ou de soustraction s’efifectuent donc graphiquement sur les lignes elles -mêmes, saus aucune

(t) Voir Colmann, Statiqnc graphique, Zurich 18Ù0. Cet ouvrage, d’une utilité incontestable, expose la théorie de la graphostatique et renferme un grand nombre de problèmes et d'applications tirées de l’art de l’Ingénieur. C’est à Culmann que revient l’honneur d'avoir, le premier, condensé, en corps de doctrine, l’ensemble des solutions de ce genre et introduit cet enseignement dans la pratique.

(2) Voir H. Eggers, principes d’une arithmétique graphique, Schaffouse 1865. — Üchlesinger, sur les oourbes des puissances, Zeitschrift des ôsterr. Ing. -Vercins, 1866. — E. Stamm, sul calcolo grafico, comptes rendus de l’Institut Lombard, Fasc. VI.

NOTIONS DE GlUI’lIOSÏATKiUE.

difficulté, et l’on obtient des lignes qui représentent les sommes ou les différences d'un certain nombre d'autres. — Le problème parait un peu plus complexe, quand il s’agit de multiplier, les unes par les autres, les lignes qui représentent des grandeurs. Mais, comme toute mesure reneut k comparer une grandeur donnée avec l’unité, le problème de la multiplication graphique se réduit, en réalité, à trouver une ligue qui soit à la ligne prise comme unité dans le raj)port donné par d’autres ligues, mesurées avec cette même unité; en d’autres termes , multiplier deux lignes a et h l’une par l’autre ou, plus exactement, multiplier une ligne de longueur a par une ligne de longueur b, retient à trouver une ligne x, qui contienne axb fois l’unité avec laquelle on a mesuré les deux ligues (facteurs) données. Or, ce problème peut se résoudre simplement, et d’un grand nombre de manières, à l’aide des triangles semblables. Nous doimerons ici quelquesunes de ces solutions:

I. On porte en OE (fig. 7) la longueur prise comme unité de mesure; on élève en E une perpendiculaire, jusqu’à sa rencontre en B avec l’arc de cercle de rayon OB-^h\ sur la direction de OE on porte 0.4=», on mène 'AC parallèle à EB et la longueur OC donne le produit cherché x. On a, en

effet.