CHAPITRE III

ph£nomën£s thermiques produits par les gourants.

§ I. — Travail compensé dans un système électiHsé.

Au chapitre I de cette partie, nous avons déterminé la forme générale du potentiel thermodynamique sous pression constante d'un système électrisé en supposant que chacun des points matériels du système, que chacune des charges électriques qu'il porte ait une vitesse nulle. Nous pouvons alors calculer le travail non compensé qui accompagne une modification virtuelle quelconque du système.

Une semblable modification est en môme temps accompagnée d'un travail compensé. Nous commencerons par donner quelques théorèmes relatifs à ce travail compensé.

Si Ton désigne par T la température absolue, par S l'entropie du système, par E l'équivalent mécanique de la chaleur, par dj\e travail compensé accompli dans une modification isothermique, on a

ei^ = — ETdS,

ce qui peut aussi s'écrire

d^ = — d (ETS).

Le travail compensé admet donc un potentiel ETS qui dépond uniquement de l'état du système. Cette circonstance permet alors de suivre, dans la détermination du travail compensé, une voie analogue à celle qui a été suivie dans la détermination du travail non compensé.

"l"!"! LE POTENTIEL THERMODYNAMIQUE.

Nous poserons

(112) Z=:ETS,.

et nous chercherons la forme de la quantité Z.

Nous commencerons par supposer que Ton déplace les corps électrisés que renferme le système en laissant invariables leur volume, leur forme, leur température, leur état physique ou chimique, la distribution électrique sur chacun d'eux. Dans une semblable modification, d'après le lemme II du chapitre I, le système n'effectuera aucun travail compensé.

De ce premier résultat, en raisonnant comme nous l'avons fait au § I du chapitre I, nous déduirons la conséquence suivante :

Si Von déplace une charge électrique au sein d*un conducteur homogène, qui laisse circuler Vélcctricité sans éprouver de changement d'état, la quantité Z ne subira aucune variation dans cette modification.

Ces deux résultats montrent que la quantité Z jouit de propriétés analogues à celles de la quantité <!>' qui fij^ure dans l'égalité (Ite) (p. 199). On pourra, pour la déterminer, suivre exactement la même marche que celle qui a été suivie au § Il du chapitre I pour déterminer 4>', et l'on trouvera pour Z une forme analogue à celle de <t'. Cette forme est la suivante :

(113) Z = Ha^a + Hb^b -h Hcgc + ... 4- HlÇl -+- ETS;

S désigne, dans cette nouvelle égalité, non plus l'entropie réelle du système, mais l'entropie que le système posséderait si les corps qui le composent étaient ramenés à l'état neutre, tout en conser\ant le même volume, la même forme, la même constitution physique et chimique, la môme température. La quantité Hk dépend uniquement de la température et de la constitution physique et chimique du corps homogène représenté par l'indice K. Elle est indépendante de tous les autres paramètres variables du système. Enfin q^ représente la charge électrique totale répandue sur le corps K. L'égalité (113), jointe à l'égalité

d5= — dZ,

permettra, en toute circonstance, de former Texpressioft du travail

PHÉNOMÈNES ÉLECTRIQUES. 2î23

compensé produit dans une modification virtuelle d'un système dont les points matériels et les charges électriques sont. sans vitesse.

§ IL — Phénomènes thermiques produits par les coura^its. Loi de Joule. — Phénomène de Peltier,

Si les conditions de l'équilibre électrique sur un système de conducteurs ne sont pas réalisées, ce système pourra devenir le sièjre de modifications dans la distribution électrique, c'est à dire de courants.

Nous supposerons connue dans ce qui va suivre la définition des divers termes que l'étude des courants introduit en physique.

lotissant entièrement de côté, dans le présent ouvrage, l'ensemble des phénomènes dont l'étude constitue l'électrodynamique, nous supposerons que le système renfei^me uniquement des courants fermés, uniformes et constants, traversant des conducteurs invanahles de forme et de position. Dans ce qui va suivre, nous nous occuperons uniquement de conducteurs linéaires, mais les résultats obtenus s'étendraient sans peine aux conducteurs à trois dimensions.

Les raisonnements qui vont suivre reposent tous sur une hypothèse fondamentale qu'il convient d'énoncer dès le principe. Cette hypothèse est la suivante :

Soit un systè)ne vén fiant les restrictions précédentes. Un des canducteurs qui constituent ce système est traversé j)ar tin courant d'intensité J. Pendant le temps dt, une portion déterminée de ce conducteur est le siège d'une modification déterminée et, en mêine temps, elle est traversée, dans un sens déterminé, par une quantité d'électricité id t. Le travail compensé et le travail non compensé effectués, pendant le temps dt, dans la portion considérée du conducteur, sont égaux respectivement au travail compensé et au travail non compensé qui seraient effectw's si cette portion du conducteur subissait la même modification et si, en même temps, on déplaçait virttiellement dans le sens du courant^ au travers de ce conducteur, une cJutrge dq = idt, toutes les autres charges que renferme le système demeurant immobiles.

Cette hypothèse entraîne la consé(juence suivante :

Si l'on suppose immobiles toutes les charges électriques que porte

22i LE POTENTIEL THERMODYNAMIQUE.

le système, le potentiel thermodynamique sous pression constante est donné par Fégalité (107) (p. 209), et le potentiel du travail compensé est donné par l'égalité (113) (p. 222). Ces deux potentiels gardent h même valeur si le système est traversé par des courants fermés, uniformes, constants, invariables de forme et de position.

L'hypothèse fondamentale que nous venons d'énoncer rattache à l'électrostatique l'étude des systèmes dont il s'agit.

Cîonsidérons sur un conducteur linéaire, traversé par un courant uniforme d'intensité J, un segment de longueur l. Supposons ce conducteur homogène; supposons en outre que l'électricité, en circulant à l'intérieur de ce conducteur, n'y détermine aucun changement d'état. La quantité d'électricité que le courant transporte pendant le temps dt d'une extrémité à l'autre de ce segment a pour valeur Jd<. D'après l'hypothèse précédente, le travail compensé et le travail non compensé ont tous deux la même valeur que si, toutes les charges électriques que porte le système étant immobiles dans la position qu'elles occupent à l'instant t, on faisait passer, par une modification virtuelle, d'une extrémité à l'autre du conducteur, une charge dq égale k Jdt.

Au § I de ce chapitre, il a été démontré qu'une charge dq transportée au sein d'un conducteur homogène, qui laisse passer l'électricité sans éprouver de changement d'état, dans un s\'stème dont tous les points matériels et toutes les charges électriques sont sans vitesse, n'entraîne aucun travail compensé. Si donc une quantité de chaleur est dégagée dans ces circonstances, elle est équivalente uniquement au travail non compensé produit.

Or, M. Joule a trouvé par l'expérience que la chaleur dégagée pendant le temps dt par le passage d'un courant d'intensité J, dans un conducteur homogène, de température uniforme et constante, qui n'éprouve aucun changement d'état, est proportionnelle :

1° Au temps dt;

2° Au carré de l'intensité du courant ;

3° A la longueur du fil ;

4° A l'inverse de sa section.

Cette quantité de chaleur dépend en outre de la température et de la nature de la substance qui forme le conducteur.

Pour obtenir le travail non compensé produit, il suffit, d'après ce

qui précède, de multiplier cette quantité de chaleur par l'équivalent mécanique de la chaleur. Si donc on désigne par p un coefficient qui dépend uniquement de la température et de la nature du conducteur, la valeur du travail non compensé produit sera la suivante :

dïô = p — Pdt.

Cette formule est l'expression de la loi de Joule telle qu'elle résulte de l'expérience. Elle suppose le fil cylindrique et par conséquent (i) constant dans toute sa longueur. Si co varie en fonction de sa distance X à l'origine du segment, on aura simplement à remplacer dans

l /*' dx

la formule précédente la quantité - par / —

Au lieu de conserver à la loi de Joule cette forme restreinte qui dérive immédiatement de l'expérience, nous l'énoncerons sous une forme beaucoup plus générale et nous la regarderons comme un postulatum.

Considérons dans un système de coi*ps immobiles traversés par des courants fermés, uniformes, constants, invariables de forme et de position, un segment de conducteur de longueur i, homogène ou hétérogène, dont la température varie d'un point à un autre d'une manière quelconque, qui éprouve pendant le transport de l'électricité un changement d'état quelconque; considérons sur ce conducteur, à une distance x du point origine, un segment de longueur infiniment petite dx; soit p un coefficient qui dépend uniquement de la substance que renferme ce segment infiniment petit, et de la température qui y règne. Le travail non compensé 'produit dans ce conducteur pendant V unité de temps a pour valeur

(114) Ti = P ft

Jo (i)

dXo

La quantité p est la résistance spécifique de la substance contenue dans le segment de longueur dx.

On donne à la quantité

(115) n= jtdx

le nom de résistance du segment de conducteur do lonjoieur l. On

peut dire alors que le trax'ail non compensé produit pendant l'unité de temps dans un segment de conducteur traversé par un courant d'intensité J, au sein d'un système formé de corps immobiles traversés par des courants fermés^ uniformes, constants, invafHables de foi*me et de position, est égal au produit de la résistance R au conducteur par le carré de Vintejxsité du courant. Tel est le postulatum fondamental, auquel nous conserverons le nom de loi de Jook^ et sur lequel nous ferons reposer Tétude des courants électriques.

Revenons au cas où le conducteur est homogène et n'éprouve aucun changement d'état pendant le passage du courant. Dans ce cas, en vertu de Thypothèse faite au début de ce paragraphe, le travail non compensé produit pendant le temps dt dans un segment de conducteur est égal, au signe près, à la variation que subit le potentiel thermodynamique du système, potentiel déterminé par Tégalité (107) (p. 209), par TefTet du transport d'une charge Jdt de l'origine à l'extrémité de ce segment.

D'autre part, si l'on désigne par V et V les valeurs de la fonction potentielle à l'origine et à l'extrémité du segment de conducteur considéré, d'après les calculs faits au § I du chapitre I, cette variation se

réduit à

e(V'— V)Jdt.

On a donc

ou bien

RJ*dt = e(V' — V)Jdt,

Cette formule bien connue constitue la loi de Ohm. Les conséquences de cette formule sont exposées dans tous les traités de physique.

Supposons maintenant que le conducteur considéré, tout en laissant circuler rélcclricité sans éprouver aucun changement d'état, ne soit plus homogène. Supposons qu'il soit formé de deux parties séparément homogènes, réunies en un certain point P. Prenons deux points MM' situés de part et d'autre du point P, et infiniment voisins de ce dernier.

Lorsqu'un courant d'intensité J circule dans le fil, il produit dans le segment compris entre M et M', pendant l'unité de temps, un travail égal à la résistance du segment MM' multipliée par le carré

de l'intensité J. La résistance du segment MM' est infiniment petite comme la longueur de ce segment. Le travail non compensé dont il s'a^t est donc infiniment petit.

Si l'on observe que, dans le segment MM', une quantité de chaleur finie est dégagée ou absorbée, cette quantité de chaleur devra être équivalente au travail compensé effectué dans le segment M M' . Or, d'après Th^^pothèse énoncée au début de ce paragraphe, le travail compensé produit pendant le temps dt dans le segment MM' est le même que celui qui serait produit si une charge Jd^ passait du f>oint M au point M', toutes les autres charges que porte le système «lemenrant dans la position qu'elles occupent à l'instant t.

D'autre part, ce dernier travail est, au signe près, la variation que subit la quantité Z, représentée par l'égalité (113), lorsque la charge Jdt passe de M en M'.

Désignons par m le métal au sein duquel se trouve le point M, et par m' le métal au sein duquel se trouve le point M' . Nous aurons

Si donc nous désignons par dQ la quantité de chaleur dégagée pendant le temps dt dans le segment MM', nous aurons

(in) dQ=:A(H,-H^OJdt.

Si l'on se souvient que H^ et H,,» dépendent uniquement de la nature des métaux m et ?n' et de la température au point P, on pourra énoncer la proposition suivante :

Lorsqu'un courant traverse la surface de soudure de deux métaux, il dégage une quantité de chaleur compensée proportionnelle à la quantité d'électricité qui traverse la soudure, indépendante de la vitesse avec laquelle se meut Vélectricité, changeant de signe sans changer de grandeur lorsqu'on renverse le sens du courant, indépendante de la grandeur et de la forme des deux métaux, de la grandeur et de la forme de la surface de contact, des charges électriques distribuées sur les deux métaux et dépendant uniquement de la nature des deux métaux et de la température de la soudnrr.

Considérons trois iiuHaux à la nicMne température iiu m\ m\ Lorsqu'une quantité d'électricité égale à Tunité passe du métal m

•J2^ LE POTENTIEL TilERMODTNAMlQUE.

âàui le métal m\ elle dé,^a^'e une quantité de chaleur

I»r^u'une quantité d'électrîtrité égale à Tunité passe du métal m danâ le métal m', elle dégage une quantité de chaleur

Enûn lonçqu'une quantité d'électricité égale à l'unité passe du métal m' dans le métal m', elle dégage une quantité de chaleur

La relation évidente

montre que l'on peut calculer Q si Ton connaît Q' et Q'.

Le dégagement de chaleur compensée par le passage d'un courant au travers d'une soudure métallique est connu sous le nom de phénomène de Peliier. L'analogie des lois qui régissent le phénomène de Peltier avec les lois des différences de niveau potentiel au contact de deux substances différentes a porté ceilains physiciens à chercher une relation entre ces deux phénomènes, et à regarder le dégagement de chaleur qui correspond au phénomène de Peltier comme proportionnel à la chute que subit la valeur de la fonction potentielle. L'expérience a depuis longtemps démontré que cette proportionnalité n'existait pas.

L'analogie que présentent les deux phénomènes a sa raison d'être dans la similitude de forme des deux fonctions <i> et Z. Mais il n'existe à priori aucune relation connue entre ces deux ordres de phénomènes, non plus qu'entre les fonctions <[> et Z.