Jean Buridan, loc. cil., fol. lxv, col. b

2. Acutissimæ quæstiones super libros de physica auscultalione ab Alberto dp. Saxonia editæ ; lib. III, quæst. XIII.

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sens composé, qui est faux. Chacune des propositions singulières est vraie et compatible avec chacune des autres, mais elles ne sont pas toutes compossibles, elles ne peuvent pas se trouver vérifiées toutes en même temps, en sorte que la proposition universelle catégorique est fausse.

Une argumentation analogue sert à montrer l’erreur de ceux qui croyaient réaliser une longueur catégoriquement infinie à l’aide 1 une ligne hélicoïdale. Albert de Saxe accorde bien que cette courbe, si elle était tracée, serait de longueur infinie ; mais elle ne peut pas être tracée en entier ; il faudrait, en effet, pour qu elle fut terminée, que ses spires embrassent toutes les parties proportionnelles du cylindre ; or, « il n’existe pas de parties qui soient toutes les parties proportionnelles du cylindre — - nullæ partes surit omnes partes proportionales columnæ. ))

Touchant le problème qui nous occupe, les Quæstiones super libris de Cælo, rédigées d’après l’enseignement de Buridan, tiennent le même parti que Buridan et qu Albert de Saxe ; mais en épousant l’avis de ces deux philosophes, l’auteur de ces reportata n’en a gardé ni la clarté ni la précision.

Il rapporte 1 la preuve que quelques-uns s’efforcent de donner en faveur de cette proposition : Dieu peut, en une heure, créer un corps catégoriquement infini. « En effet, dans chacune des moitiés proportionnelles de cette heure, Dieu peut créer un corps d’un pied cube, et conserver tous ces corps ensemble ; dès lors, comme, en cette heure, il y a une infinité de moitiés proportionnelles, il en résulte qu’à la fin de l’heure, il y aurait une infinité de corps d’un pied cube qui constitueraient un corps infini. »

L’auteur des Quæstiones veut montrer que cette imagination implique contradiction. •

« Je déclare, dit-il, qu’il faut accorder qu une pierre est faite la dernière ; car toutes ces moitiés proportionnelles se suivent dans un certain ordre, l’une précédant l’autre ; deux d’entre elles n’existent pas en même temps, ne commencent pas en même temps, ne finissent pas en même temps ; partant, il n’y a pas deux de ces pierres qui soient faites en même temps ; de deux quelconques d’entre elles, il en est une qui est faite après l’autre. »

Dès lors, le procédé précédemment décrit a implique contradiction »... car on ne peut assigner la dernière moitié proportionnelle d’une heure quelconque (non est dare ullimam medieta-

i. Johannis Buridani Quæstiones super libris de Cælo et Mundo; lib. I, quæst. XVI : Utrum possibile est esse unum corpus infîniturn. Bibl. Royale de Munich, Col. lat. i g55 1 , fol. 77, col. d.

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tein proporlionalem alic-ujus lioræ); et cependant, il faudrait pouvoir assigner la pierre qui a été faite la dernière, et cette pierre ne serait pas la dernière créée si elle n’avait pas été créée dans la dernière moitié proportionnelle. »

L argumentation repose tout entière sur l’axiome formulé par • Burley, employé par Buridan dans sa Physique : Lorsqu’on divise' une grandeur donnée en parties proportionnelles, il n’y a aucune partie proportionnelle qui soit la dernière. Buridan et Albert étaient arrivés à donner à cet axiome une forme plus pénétrante et plus générale : Quand on divise à l’infini, par un procédé quelconque, une grandeur donnée, il n’y a pas de parties dont on puisse dire qu elles sont toutes les parties de cette grandeur. « A' allas sunt injinitæ el nullæ sunt omnes, sive suniamus : oui nés collective sive distributive », disait Buridan. « I\ec omnes sunt ali quæ, nec aliquæ sunt omnes », disait-il encore. « Nullæ partes sunt omnes partes proportionales columnæ », répétait Albert de Saxe.

C’est donc là le principe qu’invoquent également Buridan et Albert de Saxe pour réfuter les arguments produits en faveur de l’infini catégorique. Aussi pouvons-nous saisir fort nettement le point essentiel de la controverse soulevée entre ces auteurs et Grégoire de Rimini.

Imaginons que l’on connaisse une règle propre à diviser une certaine grandeur finie en une infinité de parties ; la division en parties proportionnelles fournit l’exemple d’une telle règle.

Grégoire de Rimini pose l’affirmation suivante : Se donner la grandeur dont il s’agit, c’est se donner toutes les parties en lesquelles la règle considérée a pour effet de la diviser. Ainsi durer une heure, c’est ^urer toutes les parties proportionnelles de cette heure.

Jean Buridan et Albert de Saxe répondent : Lorsqu’on donne la grandeur en son entier, il n’est pas permis de dire qu’on donne toutes les parties en lesquelles la règle considérée subdiviserait cette grandeur, car cette expression est dénuée de sens ; il n’y a pas de parties dont on puisse dire quelles sont toutes les parties de la grandeur donnée.

Tout le débat se résume en ces deux thèses opposées ; selon qu’on tient pour l’une ou l’autre d’entre elles, on se voit obligé d’en accepter toutes les conséquences, de croire, avec Grégoire de Rimini, à la possibilité de la grandeur infinie catégorique, ou bien, avec Buridan et Albert de Saxe, de nier celte possibilité pour n’admettre que l’infini syncatégorique.

N’allons pas dire, d’ailleurs, que le débat dont il s’agit est

l’infiniment grand

loi

suranné. Si nous fixons notre attention sur ce qu’il y a d’essentiel en cette discussion nous serons étonnés, au contraire de la trouver si fort apparentée à celle qui, de nos jours, met aux prises les géomètres. Au sein de l' Université de Paris, au xive siècle, deux écoles s’opposent l’une à l’autre au sujet de l’infini. Volontiers, on désignerait ces deux écoles par les épithètes de jinitiste et d’infinitiste dont M. Couturat fait usage 1 lorsqu’il veut classer les mathématiciens contemporains. Les finitistes du xive siècle, les partisans du seul infini syncatégorique, les Guillaume d’Ockam, les Jean Buridan, les Albert de Saxe condenseraient aisément leur doctrine en cette formule 2 : « La notion de l’infini, dont il ne faut pas faire mystère en Mathématiques, se réduit à ceci : Après chaque nombre entier, il y en a un autre. » Les infinitistes, au contraire, ceux qui, avec Grégoire de Rimini, essayaient de construire une science mathématique des quantités catégoriquement infinies, salueraient en la théorie des ensembles transfinis la forme achevée de la doctrine qu’ils avaient à peine commencé d ébaucher.

Si, d ailleurs, nous cherchons quel est, de nos jours, le point à partir duquel finitistes et infinitistes se séparent les uns des autres, nous constaterons, non sans quelque surprise peut-être, que ce point est exactement demeuré là où les logiciens du xivc siècle l avaient placé. Écoutons, en effet, en quels termes M. Baire résume 3 l’objection fondamentale des finitistes à l’encontre des infinitistes :

« Dès qu’on parle d’infini, même dénombrable, l’assimilation, consciente ou inconsciente, avec un sac de billes qu’on donne de la main à la main, doit complètement disparaître... En particulier, de ce qu’un ensemble est donné, ... il est faux, pour moi, de considérer les parties de cet ensemble comme données. A plus forte raison, je refuse d’attacher un sens au fait de concevoir un choix fait dans chaque partie d’un ensemble... En fin de compte, en dépit des apparences, tout doit se ramener au fini. »

Nest-ce pas là le langage de quelque lointain disciple de Buridan ? Et lorsque en une salle de la nouvelle Sorbonne, la Société Mathématiques de France dispute des antinomies cantoriennes, les arguments qui s’opposent les uns aux autres ne font-ils pas écho à ceux qui s’entrechoquaient non loin de là, dans les écoles de la

rue du Fouare, il y a quatre siècle et demi ?

1. Louis Couturat, De l'infini mathématique, Paris, 1896; livre II, ch. II : Du nombre infini concret.

2. Jules Tannery, Introduction à la théorie des fonctions d'une variable, ire cd., Paris, 1886, p. VIII.

3. Baire, Bulletin de la Société Mathématique de France, 1905, p. 263.

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LES PARTISANS DE GREGOIRE DE RIMINI : NICOLE ORESME ET MARSILE D INGHEN

La vigoureuse argumentation de Buridan à l’encontre de la doctrine de Grégoire de Rimini a pleinement convaincu Albert de Saxe ; elle n’a pas aussi complètement entraîné l'adhésion d autres maîtres parisiens qui ont continué de suivre soit d’une allure décidée, soit avec des réticences, l’opinion du prieur général des Ermites de Saint Augustin.

Dans le Traité du Ciel et du Monde, rédigé en français sur l’ordre de Charles V, Nicole Oresme fait mention des questions qu’il avait examinées au sujet de la Physique d’Aristote et de l’écrit qu’il avait composé sur les Sentences. Chacun de ces deux ouvrages nous eût, sans doute, enseigné d’une manière formelle ce que l’auteur pensait de l’infini catégorique ; malheureusement, ni l’un ni l autre de ces ouvrages ne nous est parvenu.

Ce que nous trouvons dans les livres d’Oresme qui nous ont été conservés, c’est seulement la solution de quelques problèmes cruciaux relatifs à l’infini ; de cette solution, qui est plutôt exercice de mathématicien, il est peut-être malaisé de conclure les opinions philosophiques de l’auteur ; il semble cependant qu'Oresme y parle le langage d’un disciple de Grégoire de Rimini, d’un partisan de l’infini catégorique.

Ces problèmes, Oresme les avait imaginés et résolus tout d abord en l’important ouvrage qui est intitulé : De difformitate qualitatum. Il les a repris ensuite en son Traité du Ciel et du Monde. Nous les citerons d’après ce dernier ouvrage, en conservant le pittoresque français de l Évêque de Lisieux.

Au premier livre du De Cælo, Aristote oppose diverses raisons de Physique à la possibilité d’un corps infini. Un corps infini, dit-il, serait infiniment pesant, ce qui lui paraît inadmissible.

« Mes il me semble, déclare Oresme 1, que la raison dessus mise ne est pas évidente sans supposer autre chose. Car, selon la seconde response, Je met que un corps soit infini, et pren en

i. Nicole Oresme, Traité du Ciel et du Monde. Livre I. « En le XI chapitre, il monstre que nul corps mouvable de mouvement droit ne puet estre infini. » Bibliothèque Nationale, fonds français, ms. n° io83, fol. n, col. d. Cf. : Nicolai Oresme, Tractatus de difformitate qualitatum, Pars III, cap. i3. Bibliothèque Nationale, fonds latin, ms. n° 7371, fol. 265, v°, et fol. 266, r°.

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signe, en cest corps, une porcion finie qui soit comme une espère et soit appelée a. Et après, pren environ ceste espère une autre qui soit aussi grande 1 , et soit b. Et après, environ ceste espère, une autre aussi grande, et soit c. Et ainsi en procédant sans fin. Et selon ce, en cest corps infini, sont infinies porcions équales a et b et c et d et ainsi sans fin. .

)) Ap rès ce, Je pose que en la partie ou porcion appelée a, soit équalement esparti le poys ou la pesanteur de demie livre. Et en la porcion b, soit équalement espartie la moitié de l’autre demie livre. Et en c, la moitié du résidu et en d la moitié de l autre résidu (ce serait la XVIe partie d’une livre), et ainsi en procédant oultre sans fin.

)) Et en cest cas, appert que tout cest corps infini ne pèsera que une livre, et que a pesera autant comme tout le demourant. Et ioutes-voies, en cest corps, ne sera partie qui ne poise combien que ce soit. »

En poursuivant la discussion des arguments d’Aristote, Oresme est amené à écrire ceci 2 :

« Mes, il me semble, si un corps est infini, il ne s’ensuit pas que il soit infini de toutes pars, et semblablement de ligne et de superficie.

)) Car l'en puet ymaginer un corps simplement infini et plus grand que quelconque corps fini oultre toute proporcion. Et nientmoins tel corps ne sera infini, fors en long et d’une part seulement. Et toutevoies, il ne sera pas mendre que celui qui seroit infini de toutes pars.

» Et tel corps seroit un de quoy la première partie a seroit d’un pié en tous senz, et l’autre après, b, équale et semblable à a, et l’autre, c[équale et semblable à b] et ainsi sans fin.

)) Et de consté, ce, Je met par esbatement telle ymaginacion. Et pose que a soit un corps de la quantité d’un pié en tous senz et b un autre équal et semblable ; et que la moitié de b soit prise et faite platement ronde ou circulaire. Et soit le semidyamètre de elle d’un pié. Et que la moitié du résidu de b soit faite encor plus tenue en tant que quant elle sera adioustée avecques l’autre en figure circulaire, elle soit aussi large comme le semidyamètre de la première partie ou moitié ; et semblablement soit fait de la moitié

1. Oresme veut dire qu’aulour de la première sphère, il dispose une couche sphérique de même volume.

2. Nicole Oresme, Op. laud., libre I : « Ou XIII chapitre, il monstre généralement que nul corps ne peut estre infini par raisons prises quant à mouvement local. » Ms. cit., fol. i3, coll. b et c. — Cf. Tractatus de difformitate qualitatum , Pars 111, cap. 12; ms. cit., fol. 265, recto.

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de l’autre résidu, el ainsi sans fin. Et ce fait par ymaginacion, tout cesl corps soit appelé G.

» Item soit un corps infini tel, ne plus ne moins, comme celui qui fu mis en limaginacion précédente, qui estoit appelé abcd, etc. Et soit cest corps appelé D.

» Je dis doncques que le corps appelé C est infini en long et en lay de toutes pars, mes non pas en profont. Et D ne est infini, fors seulement en long et d’une part. Et toulevoies, C est simplement fini et équal à « qui ne est que d’un pié. Et D est simplement infini et ne est pas mendie que un corps infini de toutes pars et qui tout occuperoit.

» Et encore pourroit-l-en cest ymaginacion conforter et dilater et faire conclusions plus merveilleuses ; mes ceci souflit quant à présent. »

Citons une dernière réponse d’Oresme à Aristote \ Le Stagirite disait : « Ce n’est pas possible que un corps infini de parties semblables soit meu en circuite, car tel corps ne a point de milieu ou de centre, et tout ce qui est meu en circuite a milieu. »

A cela, l’Évêque de Lisieux répond : a Par aventure, ceste raison n'est, pas purement évidente, car l'en pourroit dire que, en tel corps, est le milieu et le centre du mouvement, mes non pas le milieu de sa quantité, qui ne diroit que, de tel corps, le centre est partout et la circonférence nulle part. ))

Quel qu’ait été le parti pris par Oresme en la discussion relative à l infini, qu’il ait admis ou non la possibilité de l’infini catégorique, les problèmes qu’l traitait « pas esbatement » étaient bien propres à montrer aux tenants des deux opinions adverses avec quelles minutieuses précautions il convenait de raisonner touchant l égalité ou l’inégalité des grandeurs infinies.

Après Nicole Oresme, l’École de Paris ne nous présente plus, au xive siècle, aucun docteur qui ait su, en ce grave débat relatif à l’infini, proposer quelque solution nette et originale. Ma'rsile d’Inghen n est plus que l’écho indécis de ses prédécesseurs.

En son Abrégé du livre des Physiques, Marsile d’Inghen se borne à répéter sommairement1 2 les propositions de Jean Buridan : « 11 est impossible qu’un morceau de bois soit divisé en toutes ses parties proportionnelles qui se suivent suivant une raison déterminée (consequenter se liabentes). . .

1. Nicole Oresme, Op. laud., lib. I, « ou XV chapitre, il monstre par autres raisons plus générales et moins évidentes que nul corps ne puet estre infini. » Ms. cit., fol. i4, col. b.

2. Abhreviationes libri Phisicorum édité a prestantissimo philosopho Marsilio Inguen, fol. sig. d, col. d, et fol. sig. d 2, eoll. a et b.

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» Il est impossible qu’une puissance quelconque produise une pierre d’un pied cube en toute partie proportionnelle de l’heure qui va venir ; cela est évident, car cela n'est pas plus possible que de diviser un continu en deux parties proportionnelles pendant chaque partie proportionnelle de l’heure... La proposition est donc contraire à ce qui a été démontré précédemment... Il ne peut donc exister de grandeur infinie actuelle... Si elle était possible, en effet, elle pourrait surtout être produite de la sorte : Dieu créerait une pierre d un pied cube en tout partie proportionnelle d’une heure ; or cela ne peut être, d’après ce qui vient d’être dit. »

Que 1 on n’aille pas, d’ailleurs, faire cette objection : En une partie proportionnelle quelconque de l’heure, Dieu peut faire une pierre d un pied cube ; il peut donc créer de telles pierres en toutes les parties proportionnelles de l’heure. Il ne serait pas exact de prétendre ici que la vérité de chacune des propositions singulières entraîne la vérité de la proposition universelle ; a cela est exact dans le cas où ces propositions singulières sont toutes les propositions singulières qui correspondent à la proposition universelle ; c’est ce qui n’a pas lieu ici. »

(( Un corps infini ne peut donc être produit par la puissance divine que si l’on prend le mot : infini au sens syncatégorique. »

Mais, chose étrange, cette conclusion est immédiatement suivie d une autre conclusion qui contredit non seulement renseignement de Jean Ruridan, mais encore toutes les raisons qui viennent d’être données ; la voici :

« Il existe de fait une courbe infiniment longue ; cela est rendu évident par la ligne hélicoïdale. — înfiniia longitudo de facto est ; patet de tinea gyrativa. ))

Cette dernière phrase indique déjà, en l’opinion de Marsile d Inghen, une pente vers la doctrine soutenue par Grégoire de Rimini. Cette pente se marque davantage dans les Questions sur la Physique rédigées par le même Marsile. En ces Questions qui sont probablement très postérieures à l’Abrégé. Marsile montre souvent, à l’égard de ses maîtres de Paris, Jean Buridan et Albert de Saxe, bien plus d’indépendance qu’en Y Abrégé. C’est ce qui a lieu, en particulier, au sujet du problème de l’infini.

A ce problème, Marsile consacre deux questions 1 destinées à examiner Si une grandeur infinie peut être actuellement réalisée , et Si, de fait, un corps infini existe actuellement dans la nature. En

i. Questiones subtilissime Johannis Marcilii Inguen saper oclo libros physicorura secundum nominalium viam; Lugduni, MCCCCCXVIII; lib. III, quæstt. IX et X.

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ces deux questions, fort mal ordonnées, l’auteur énumère diverses objections, plus ou moins valables, contre linfini actuel. Il présente également 1, en faveur de cet infini, le fameux argument de Grégoire de Rimini : En toute partie proportionnelle d’une heure, Dieu pourrait créer une pierre d’un pied cube. Mais il ne fait aucune allusion à ce que Buridan et Albert de Saxe avaient objecté à cet argument. De toute cette discussion, la rigueur logique, qui donne tant de netteté aux argumentations de Buridan et d’Albert, a complètement disparu ; on ne distingue même plus entre les propositions syncatégoriques et les propositions catégoriques ; il semble bien que l’auteur ait toujours en vue l’infini catégorique.

Si la discussion est vague et hésitante, les conclusions sont singulièrement nettes et audacieuses. Ces conclusions, les voici 2 :

« Première conclusion : En fait, il existe une ligne courbe infinie. » Telle la ligne hélicoïdale considérée par Buridan et par ses successeurs.

(( Seconde conclusion : En fait, il existe une surface infinie. On le prouve en imaginant une surface qui entoure les diverses parties proportionnelles d’un continu d’une manière analogue à celle que l’on a imaginée pour la ligne.

» Troisième conclusion : Il est possible qu’un corps infini existe d’une manière actuelle. Aristote n’a pas admis cette conclusion, et cela parce qu’il n'a pas conçu une puissance active infinie, tandis que, par la foi, nous croyons à l’existence d’une telle puissance. Cette troisième conclusion ne peut pas être prouvée si ce n’est par ce fait qu’en la supposant vraie, on n’est conduit à aucune conséquence impossible ou contradictoire. C’est ce que l’on verra clairement en résolvant les objections qui seront faites, et cela de la manière suivante : De chacune d’elles, on montrera ou bien que le raisonnement n’est pas concluant ou bien que la conclusion n’a rien d’impossible.

)) Mais existe-t-il, en fait, un corps actuellement infini, oui ou non ? Un tel corps peut-il être produit par une puissance naturelle ? C’est ce qu’on verra en la question suivante. »

La réponse ainsi annoncée par Marsile est, en effet, donnée par lui à la fin de sa Xe question, et cela dans les termes suivants :

« Il n’existe en fait, et d’une manière actuelle, aucun corps de volume infini. Toutefois, cette proposition ne saurait être démontrée ; on peut seulement dire en sa faveur qu elle s’accorde mieux

1, Marsilii Ingcen Op. laud., lib. III, quæst. IX.