Saint Thomas d’Aquin, loc. cit., ad im
3. Sancti Titomæ Aquinatis Summa theologica, Pars prima, quæst. VII, art. IV.
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la multitude infinie en puissance, au sens où Aristote entendait ce mot.
Il est cependant une autre multitude infinie dont, à 1 imitation du Stagirite, il admet la possibilité 1 ; le Monde aurait pu ne pas avoir de commencement ; les nombres des révolutions actuellement achevées du ciel des étoiles fixes, du Soleil, des autres astres seraient des nombres infinis. Le Docteur Angélique ne trouve pas, en cette conclusion, la répugnance qu’il trouverait en l’existence d’une grandeur actuellement infinie. « Le temps et le mouvement ne sont pas en acte en leur totalité, mais seulement d’une manière successive ; ils possèdent donc une certaine puissance qui se trouve mélangée à l’acte. La grandeur, âu contraire, est tout entière en acte. L’infini, donc, qui convient à la quantité et qui se tient du côté de la matière, répugne à la totalité de la grandeur ; il ne répugne pas à la totalité du temps ou du mouvement, car exister en puissance convient à la matière. »
Nous retrouvons donc, en la Somme théologique, toute la doctrine qu’Aristote professait au sujet de l’infini ; peut-être même a-t-elle gagné en étroitesse quelque chose de ce que l’argumentation a perdu en clarté.
Les thomistes vont, à l imitation de leur maître, admettre que le Monde eût pu exister de toute éternité ; ils rencontreront alors ce corollaire : La multitude des âmes des défunts pourrait donc être actuellement infinie. Mais ce corollaire, ils auront garde de l’admettre ; ils n’imiteront pas l’exemple d’Avicenne et d’Al Gazâli, l’exemple que Thomas d’Aquin avait été tenté de suivre. Ils aimeront mieux supposer qu’en un Monde éternel, le genre humain, cependant, eût pris commencement ; ou bien encore que Dieu eût pu décréter la réincarnation périodique d’âmes humaines en nombre limité. Un Gilles de Rome ou un Godefroid de Fontaines admettront toutes les hypothèses plutôt que d’accueillir la possibilité de la multitude actuellement infinie.
Ainsi, pour concilier l’éternité du Monde et du genre humain avec la croyance à la survie individuelle des âmes humaines, le néoplatonisme d’Avicenne avait tenté d’élargir la théorie péripatéticienne de l’infini. Mais le cercle, un moment brisé, avait été ressoudé. Il sera de nouveau brisé, mais sur un autre point et pour d’autres raisons. Les idées d’Avicenne, et d’Al Gazâli continueront de figurer en la liste des nombreux arguments pour et
I. Sancti Thomæ Aquinatis Summa theologica, Pars prima, quæst. VII, art. III, ad. 4m.
contre que toute discussion scolastique se plaît à aligner ; mais qu elles soient admises ou rejetées, ce n’est plus elles qui entraîneront ou arrêteront la conviction de l’auteur.
Les arguments géométriques contre la divisibilité
A l’infini
Avant de s’élargir, la théorie de l'infini va se préciser ; et cette précision lui viendra surtout par l'étude de l’infiniment petit, de la divisibilité du continu à l’infini, questions sur lesquelles, à part de rares alomistes, comme Gérard d’Odon, Nicolas Bonet ou Nicolas d Autrecourt, presque tous les scolastiques s'accordent entre eux et avec Aristote.
Les adversaires de la doctrine de Leucippe et d’Ëpicure s’efforcaient fréauemment de la ruiner au nom de la Géométrie : ils se plaisaient à en tirer des conséquences qui fussent en contradiction avec les enseignements des mathématiciens.
Il semble qu’il faille regarder Roger Bacon comme l’initiateur de cette méthode ; en son Opus majus, qu’il adressa, en 1266 ou en 1267, au pape Clément IV, il emploie l’argument suivant 1 :
Si les lignes sont composées d’atomes, la diagonale du carré et le côté de cette même figure ont même rapport que les nombres entiers d’atomes dont ces longueurs sont formées ; elles sont donc commensurables entre elles, contrairement à ce qu’enseignent les mathématiciens.
L’indication contenue en ce passage a été grandement développée par Jean de Duns Scot en son commentaire aux Quatre livres des Sentences de Pierre Lombard 2.
Duns Scot distingue deux formes de la doctrine qu’il prétend combattre. L’une consiste à affirmer que le continu est composé d’indivisibilia, c’est-à-dire d’atomes discontinus séparés les uns
1. Fbatuis RoGF.ni Bacon, Ordinis Minorum, Opus majus ad Clemcntem quartum, Pontificem Bomanum, ex MS. Codice Dubliniensi, cum aliis quibus dam collato, nunc primurri edidit S. Jebb, M. D. ; Londini, typis Gulielmi Bowyer, MDCCXXXIII; p. p3.
a. Joannis Duns Scoti Scriptum Oxoniense in llm librum Senlentiarum; Dist. II, quæst. IX : Utrum angélus possit rnoveri de Ioco ad locum molu continuo. Maurice du Port, en son édition du Scriptum Oxoniense, regarde comme authentique le passage que nous analysons.
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des autres ; l’autre qu’il est composé de minima se soudant entre eux avec continuité.
A chacune de ces deux formes, il oppose l’argument de Roger Bacon et d’autres arguments analogues, celui-ci, par exemple : « Des cercles concentriques sont tous rencontrés par n’importe quel rayon issu du centre ; il faudrait donc qu’ils renfermassent tous le même nombre d’atomes et, par conséquent, qu’ils fussent tous égaux entre eux. »
La réfutation géométrique de la doctrine des indivisibles, proposée par Roger Bacon et par Duns Scot, fut propagée dans l’École, tout d’abord, par les disciples du Docteur Subtil. En ses Questions sur la Physique d’Aristote, le scotiste Jean le Chanoine reprend sommairement 1 l’argumentation de son maître. De son côté, en un de ses Quodlibet 2, Guillaume d’Ockam résume les démonstrations géométriques de Duns Scot.
Parmi les logiciens qui suivent la tradition de Guillaume d’Ockam, le plus puissant, nous aurons occasion de le reconnaître, est assurément Grégoire de Rimini.
Grégoire de Rimini était ermite de Saint Augustin. Le 28 mai i357, il fut élu prieur gérerai de cet ordre, que Gilles de Rome avait autrefois illustré ; mais il n’occupa guère ces fonctions pendant plus d’un an, car il mourut à Vienne (Isère), vers la fin de l’année i358.
De Grégoire de Rimini, on possède un volumineux commentaire sur les deux premiers livres des Sentences ; par une heureuse et trop rare circonstance, ce commentaire, auquel nous aurons à faire de nombreux emprunts, est daté ; il reproduit des leçons données à Paris en l’an 1 344 3.
1. Joannis Canonici Quæstiones in libros Physicorum Aristotelis; in librum VI, quæst. unica.
2. Gulielmi de Ockam Quodlibeta septem; Ouodlib. I, quæst. IX : Utrum liuea componatur ex punctis.
3. Gregorius de Arimino in Primum sentenliarum nuperrime impressus. Et quamdiligentissime sue integritati restitutus. Per doctissimum Sacre pagine proj essorera Fratrem Petrum Garamanta doctorem Parrhisiensem Augustinianum. V enundanlur Parrhisijs a Claudio Chevallon in vico Jacobeo sub intersignio Solis aurei : et in vico divi Joannis Lateranensis sub intersignio divi Christofori. Colophon : ExpMcit lectura primi sententiarum fratris Gregorii de Arimino : sacri ordinis heremitarum sancti Augusti. Théologie professons precellentissimi prioris generalis quondam prefati ordinis. Qui legit Parisius anno domini i344- Per venerabilem sacre Théologie professorem fratrem Petrum de Garanta (sic) quamdiligentissime castigala et sue pristine integritati restituta. — Gregorius de Arimino in secundum sententiarum ... sub signo Sancti Christofori. Colophon : Explicit lectura Secundi sententiarum Fratris Gregorii de Arimino : ... professoris excellentissimi .... qui legit Parisius anno domini 1 344 ••• Cette édition, imprimée par Claude Chevallon, ne porte pas de date.
Nous avons également consulté l’édition suivante : Gregorius de Arimino
LA PHYSIQUE PARISIENNE AU XIVe SIECLE
Or, en son commentaire sur le second livre des Sentences, Grégoire de Rimini, à la doctrine qui veut former toute grandeur continue à l aide d’un nombre limité d indivisibles, oppose 1 les diverses impossibilités géométriques signalées par Duns Scot. Il termine son exposé en ces termes : (( On pourrait composer beaucoup d autres raisonnements mathématiques ; mais que ceux-là suffisent. »
Certains, en effet, ne se contentaient pas de reproduire les arguments du Docteur Subtil ou de les résumer ; ils les étendaient par de nombreux développements ; tel le célèbre Thomas de Bradwardine qui mourut en 1 34 9 , au moment où le souverain pontife ratifiait son élection à l’archevêché de Canterbury. Il avait composé un Tractatus continui dont le premier livre seul nous est parvenu en manuscrit ; Maximilian Curtze en a donné 2 un aperçu sommaire.
En cet écrit, dont la publication complète offrirait le plus grand intérêt, l’illustre mathématicien et théologien de l’Université d Oxford entreprend de réfuter par raisons mathématiques les atomistes des diverses sectes ; il combat ceux qui composent un continu fini à l aide d’un nombre limité d’éléments indivisibles contigus les uns aux autres, comme ceux qui le forment d’un nombre limité de points séparés ; il combat également ceux qui regardent le continu comme l’ensemble d’une infinité de points actuellement existants.
A ces démonstrations ingénieuses qui, aux conséquences de la décomposition d’une grandeur continue en points ou en éléments indivisibles, opposent les propositions de la Géométrie, Jean Buri-
in primo (ou secundo ) Sententiarum nuperime impressus. Et quamdiligentissime sue integritali restitutus. Per venerabilem sacre théologie baccalariurn fratrem Paulum de Genezano. Colophon du premier livre : Explicit lectura
— - qui legit Parisius anno domini i344°. Per venerabilem sacre
théologie bacalarium fratrem Paulium de Geneçano quamdiligentissime castigala et sue pristine integritati restituta. Après la table : Venetiis impensa heredum quondam domini Oclaviani Scoli Modoesiensis ac sociorum. 10 julii
i5i8. Colophon du second livre : Explicit lectura - Qui legit Parisius
anno domini x344°- Per venerabilem ... restituta. Après la table : Venetiis sumptibus heredum ... ac sociorum. 8 octobris i5i8.
Aux deux colophons, les mots remplacés par des traits sont identiques à ceux qui se lisent dans l’édition de Claude Chevallon. Ces deux colophons proviennent donc certainement des manuscrits; il est très vraisemblable que l’indication qu’ils renferment est exacte.
1. Gregorius de Arimo In secundum Sententiarum, Dist. II, quæst. II, art. I. Ed. Claude Chevallon, fol. XXX, col. c, à fol. XXXI, col. d.
2. Maximilian Curtze, Ueber die Handschrift R. 4°. 2, Problematum Euclidis explicatio , der Kônigl. Gymnasialbibliolhek zu Thorn (Zeitschrift für Mathematik und Physik, XIIIter Jahrgang, 1868, Supplément, p. 65).
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dan, nous l’avons vu 1 2 3 , attache, lui aussi, une grande importance ; mais le rôle qu’il leur attribue est, pour ainsi dire, inverse de celui que ses prédécesseurs leur avaient attribué.
Bacon, Duns Scot, Ockam se fient à l’absolue certitude de la Géométrie ; puisque, de l’existence des indivisibles, on peut tirer des conclusions contraires à la Géométrie, c’est donc, très certainement, que les grandeurs continues ne se composent pas d’indivisibles. ■
En cette proposition : La grandeur continue n’est pas composée d’indivisibles, Buridan ne voit plus un corollaire dont la vérité est assurée par la nécessité de ne pas contredire à la Géométrie, science d’incontestable certitude ; il y voit un principe dont le géomètre est obligé d admettre la vérité pour construire sa science, un postulat dont ce géomètre ne peut se passer, dont le refus le contraindrait de renoncer à son œuvre. Bien loin donc que la certitude de la Géométrie garantisse la vérité de cette proposition, c’est la vérité de la Géométrie tout entière qui est subordonnée à l’exactitude de cette proposition ; et cette exactitude, ce n’est pas à la Géométrie, c’est à la Physique ou à la Métaphysique de l’établir.
Trop profonde, sans doute, et trop inattendue était l’idée de Buridan, car elle ne paraît pas avoir été admise même par ses plus fidèles disciples. Albert de Saxe et Marsible d’Inghen ? opposent,, à l’hypothèse des indivisibles, les arguments de Duns Scot ; ils n’hésitent pas à s’en remettre à la Géométrie du soin de réfuter cette hypothèse.
Les indivisibles sont-ils de pures abstractions ?
Si l’on met à part un petit nombre d’atomistes comme Gérard d’Odon ou Nicolas d’Autrecourt, les scolastiques s’accordent, au xiue siècle et au xive siècle, à affirmer cette proposition : Un continu n’est pas, d’une manière réelle et actuelle, composé d’indivisibles.
