D UT L
ÈS on s reset C, Fig. 5.
J'ai : dx’ n= ri the “1 dv:
Der a=i+,
d’où, en éliminant i; ets,
entre ces trois équations, d?v; de: :
(1) RAD PT MALE Le 7 += ri + li
di;
dt
et trois autres équations analogues pour les trois autres bras du pont :
de do HR dt (2) lier + rare +n= rit TE
dv dv = di (3) los Tr + ac += rab ls D
dv dv ; di (4) lose + PQ TE + Pi riiat LT -
Avec (5) Pi + V3 = PD— Pc = u.
On peut tout d’abord éliminer +, entre ces cinq relations. Il vient :
CG do de | @) Ad hair na + nu h = 0, av de di GB RE Rose Ha Hoi ri D = 0, dv d, :
() (6) = Lo — PC TE — Mi — rois u dis l d? É du CE ra E Perrr eE LE Eee Pot DNS dv do :
(7) nl ere mi re L'omt 7 — LA + lc eu eo, 4 #9 4 D 71 CU LE Lee ru 0
soit quatre équations pour définir les trois fonctions
Lin ls 94. Les conditions du silence téléphonique résul-
tent des conditions de compatibilité entre ces équations. Celles-ci sont de deux sortes :
1° Relatives aux coefficients des équations; 2° Relatives aux conditions initiales.
Les conditions 2° ne nous intéressent pas, car elles se rapportent aux termes exponentiels évanescents des intégrales générales. Ces termes, même s’ils correspondaient à un courant téléphonique différent de zéro, ce qui en général sera le cas, ne pourraient produire qu’une percussion sur la membrane téléphonique au moment de la mise sous tension.
Recherchons donc les conditions 1° que doivent remplir les coefficients des équations (1) pour que celles-ci admettent au moins un système d’intégrales communes.
Je transforme ce système, par l'introduction d’une inconnue auxiliaire w,, en un système du premier ordre qui lui est équivalent au point de vue de l'intégration et qui comporte quatre fonctions inconnues définies par
cinq équations £
| dw: dv di dw: dv dre dw; dv di due du à (11) (Te ne Pt: re Un Tee TK? u) 10, (ee dpi di ed du u)=0 Pere ar) ra D œ dre TT
Un groupe de relations formé par quatre de ces équations permet le calcul des quatre dérivées premières des inconnues au moyen de ces fonctions elles-mêmes et de la variable £ (x est une fonction de {). En portant les expressions oblenues dans la cinquième équation, je forme une relation à termes finis entre les inconnues. Éliminant l’une d’elles entre cette relation et le groupe des quatre premières équations, je forme quatre équations linéaires du premier ordre entre trois inconnues. C’est exactement le problème précédent, mais le nombre des équations et celui des inconnues sont diminués d’une unité.
En recommençant le calcul sur ce nouveau système, on le transformera en un système de trois équations définissant deux fonctions inconnues, etc. Finalement, on arrivera à une relation où figurera la seule variable £ et dont l'identification à zéro sera évidemment la condition nécessaire et suffisante pour que les équations proposées admettent au moins un système d'intégrales communes.
En suivant de près la marche du calcul, on voit qu’on est amené à effectuer quatre dérivations successives.
loutes les équations étant linéaires, la condition cherchée s’exprimera sous la forme :
du du du
ss + À +... + A1 — + Aou = 0.
8 RE — ‘ee nie dt
On peut, dans le cas actuel, abréger notablement le calcul en effectuant d'un seul coup les éliminations. L’intégration du système (1) dépend de celle d’une équation du quatrième ordre. Dérivons quatre fois les équations (I). Nous obtenons un système de 20 équations
5 dfi dif 10, QU AD 5 ar — O0, Æ ‘ df: eh d* fo res, Fr. Sr dr —= O, Ea are Aves f:—=0, = NEA es rl Le dfs d fi an de 0
linéaires par rapport aux 19 inconnues
de die, NÉ . dits PS Se dit RS à de
En répétant, sur le système (II), les raisonnements effectués plus haut, on voit qu'on est amené, en fin de compte, à faire l’élimination algébrique des 19 inconnues précédentes entre les (20) équations (IT), c’est-à-dire à annuler le déterminant formé avec les coefficients des fonctions inconnues et de leurs dérivées et les termes connus.
Le développement de ce déterminant, linéaire et homogène par rapport à w et à ses dérivées successives-et dont les termes .sont égaux, au moins à un coefficient de proportionnalité près, à ceux de l’équation (8), exprime la condition nécessaire et suffisante du silence téléphonique en régime permanent. En général, on ne pourra la satis-
faire, quelle que soit la forme de la tension w, car une semblable hypothèse entraînerait l’opérateur à disposer des variables de réglage de manière à vérifier les sept équa-
tions ci-dessous :
(9) Ai 0: A5 = O, “Ses A0 = O0,
ce que le nombre de ces variables ne lui permettrait presque jamais de faire.
Il y a toutefois un cas étendu où l’on peut assurer le silence, quelle que soit la forme de w : ce sera lorsque les conditions expérimentales simplifieront l'équation (8) de manière à la réduire à deux termes consécutifs :
d'u dn—1 u Ann + An PITETE —= ©.
Une semblable relation ne peut, en effet, être satisfaite
par une tension périodique w que si :
An= 0, An-1= 0
expressions auxquelles les variables de réglage devront permettre de satisfaire.
Puisqu’en général les conditions du minimum téléphonique dépendent de la forme de la tension w, supposons celle-ci connue et décomposée en harmoniques.
Soit w la pulsation de l’harmonique considéré. Employons la notation imaginaire, l’équation (8) s’écrira : (— Açw6+Aywt— Aou? + A) u+ J(A5w5— A3 + A;w)u = 0, d’où te A6 — AowW?+ Aywt— A6 &6=— 0,
Ajù — A3uwi + A;wi—= o.
Si l’on ne dispose pas de plus de deux ou trois variables de réglage, on ne pourra amener au silence qu’un seul harmonique. Si l’on disposait d’un plus grand nombre d'éléments, on pourrait amener-simultanément au silence
LE TÉLÉPHONE INSTRUMENT DE MESURE. de,
plusieurs harmoniques, mais le nombre de ceux-ci sera toujours très limité. Les formules (10) sont absolument générales et s'étendent au cas où les bras du pont seraient coupés par des condensateurs dont la présence équivaut
à une inductance négative — ——.
Cu?
Il serait possible de donner à la discussion une autre
forme un peu détournée peut-être, mais que je signalerai.
La tension w est connue en fonction du temps. u = p(t).
La variable £ ne figurant pas explicitement dans les équations (1), celles-ci se prêtent à d’intéressants changements de variables. On peut prendre pour variable indépendante la quantité w, ou bien encore inverser le rôle de celle-ci et de lune des fonctions inconnues, #, par
exemple, prise pour variable indépendante. L'intégration du système (1) conduirait à des relations de la forme :
P1 = Fi(t), (IV) ta = Fi(ti), à Ut Fe (Ta):
avec UE p(#).
La condition de compatibilité du système (1) conduirait à une expression
CRE —— (11) A% ae +: A4
1° Ou bien on voudra, pour les mêmes raisons que plus haut, assurer le silence téléphonique, quelle que soit la forme de i,, c’est-à-dire, d’après le système (IV), quelle que soit la forme de w et l’on cherchera à satisfaire le système de relations
(12) RE, A0; M A0; dont le nombre sera en général réduit à deux ;
2° Ou bien on cherchera les conditions du silence en G. 2
fonction de la forme de £,. On remarquera alors que les équations liant les tensions aux intensilés sont ltoujours linéaires et que, au moins en régime permanent, les courbes des intensités sont constituées par une série d’harmoniques de même fréquence que ceux de la tension. Les conditions du silence d’un des harmoniques de pulsation w se déduiront donc de l’équation (11), comme elles ont été déduites de l'équation (8) :
; A — Al w2+ A! wt— A &6=— 0, Ke) A'w — A’, w%+ A! 65 = o.
Les équations (9) et (10) ou (12) et (13) pourront être substituées les unes aux autres.
Il faut en conclure l'identité, au moins à un facteur commun près, entre les quantités À et A’ et l’équivalence des équations (8) et (11).
En pratique, dans les conditions particulières de chaque méthode et avec les hypothèses simplificatrices adoptées, l'élimination de & se fait très simplement entre les équations du système (1), et le calcul est notablement abrégé par la considération de l'équation (11) au lieu et place de l’équation (9).
Afin de poursuivre la discussion des équations (10) ou de leurs équivalentes les équations (13), ilest utile de les expliciter. À cet effet, tenant compte de la remarque que j'ai faite plus haut de la correspondance entre les harmoniques de la tension et celles des inconnues qui en dérivent, J'écrirai les équations du système (1) sous la forme imaginaire :
P1(1—@huw?+ jwcir;i) + ü(—ri—/Jwl)=o,
PL(I— Cole 5? + J'w cer») + te (— r»— jwls) 10;
Pi(—i1+ Cl? — Jocsrz) + (— r3— Jul) = (—i1+ c3l3w2— Jwczr3)u.
Pi —i+ Glow? jo cri) +ia(—ri—-jol) = (—1+ 6 l;e?— juc;ry}u.
L'élimination de £,, r,, °, entre ces quatre équations n'offre pas de difficultés.
Posons
M = C3l3 0? + Co la D? — Co Ca lo lat + CoC3rer30?, du = Cilw02+ clyw?2— ciclil,wt+ cic;rir;w?, Le D
81 = Cyl'oW + C3l'3 0 — CoC3( Lo Ta l3T2) W$,
Bo = Cri + crio — cic(lir, + liri)ew5.
Les conditions de compaubilité s’écriront
(à — d1)(7473 — w?l,)— Biw(hri,+diri)
= (1 LE » )(Tar3— W?lol3) Bo(lra+ lara),
(—u)(ril+ ri)o+fBi(rir,—w?l,1,) = (1 = La) (Ta l3 + larg) Emi Ba(rora— 0? lala).
Par simple identification terme à terme, les équations (10) et (14) fournissent, à un facteur commun près, les valeurs des expressions A. Mais, telles quelles, les relations (14) permettent d'achever la discussion.
1° Le silence complet ne peut pas être obtenu, en général, avec une courbe quelconque de courant.
2° Le silence complet de l’un des harmoniques peut être obtenu par un réglage convenable. Mais, les conditions de ce silence étant fonction de la fréquence, toute modification de celle-ci entraîne une modification de celles-là (1).
3° Les termes qui tiennent compte des phénomènes de capacité, ainsi que des coefficients de self-inductance des résistances supposées mortes, sont des fonctions des puissances croissantes de la pulsation. Ces éléments
(1) J'ai observé ce phénomène d’une facon très nette en mesurant des capacités par la méthode du pont avec un alternateur à haute fréquence. Pendant le cours de chaque mesure la résistance de réglage
donnant le minimum téléphonique variait de quelques ohms : ces
oscillations correspondaient vraisembJlablement aux variations de vitesse dé l'alternateur. * yat
prennent done une importance de plus en plus grande avec la fréquence. Les formules élémentaires, très suffisamment exactes aux basses fréquences, deviendraient sans doute inapplicables en haute fréquence (!).
4 Le minimum global de l’intensité téléphonique ne correspond pas au silence de l’harmonique fondamental.
5° L’oreille étant surtout sensible aux fréquences musicales accuse parfois le silence au moment du minimum d’un des harmoniques de la fréquence fondamentale utilisée, (d’après les intéressantes recherches effectuées sur ce sujet par M. de la Gorce, et dont celui-ci a bien voulu me donner connaissance). Il en résulte une importante cause d’erreur lorsque la résistance et l’inductance de l'appareil en étude varient rapidement en fonction de a fréquence (le récepteur téléphonique lui-même par exemple).
6° Pour faire des mesures aussi correctes que possible, tant au point de vue théorique qu’'expérimental, par la détermination précise du minimum téléphonique, il est utile d'employer :
a. Comme source de courant variable, un alternateur tournant à vitesse constante et donnant une courbe de tension sinusoïdale à peu près pure;
b. Pour la réception, un téléphone à effets sélectifs, accordé sur l’harmonique fondamental, de façon à éliminer toute action perturbatrice des harmoniques supérieurs (?).
De plus, cette pratique permet d’éliminer les bruits de
(1) Aussi ai-je indiqué, à côté des méthodes de mesure en basse fréquence, des méthodes spéciales à la haute fréquence, toutes basées d’ailleurs sur le phénomème de résonance,
(*) Dans les mesures de haute précision, on pourra remplacer le téléphone à effets sélectifs par un galvanomètre à résonance qui, dans le cas spécial envisagé, a en outre l’avantage de donner des résultats indépendants de la sensibilité acoustique de l’opérateur.
friture dus à des causes mal définies, telles que mauvais isolements des circuits, etc., qui, avec les fréquences non musicales données par un trembleur, viennent troubler la mesure.
7° Le minimum téléphonique étant fonction et de la fréquence et des éléments constitutifs des bras, on a, si l’on connaît ceux-ci, un moyen original de calculer celle-là (1).
Ces conclusions s’imposent lorsqu'il s’agit de haute précision; mais dans beaucoup de mesures courantes pour lesquelles une précision de quelques pour cent est en général suffisante, on pourra passer outre, et admettre, si l’on a choisi avec discernement les bras de comparaison, que les phénomènes de capacité sont négligeables et que l’inductance des résistances mortes est sensiblement nulle. Avec ces hypothèses, la plupart des formules simplifiées que J'indiquerai avec chaque méthode entraînent analytiquement le silence au téléphone, quelle que soit la forme du courant : une source quelconque de courants variables et un bon téléphone ordinaire permettront, sauf dans quelques cas spéciaux, des mesures suffisamment exactes.
Les résistances mortes de comparaison pourront avantageusement être constituées, suivant les indications de Duddell, par un tissu moitié soie moitié métal, qui a la propriété d’avoir une très faible capacité et une très faible inductance (2). L'emploi du pont à fil, quand le dispositif expérimental le permettra, réalisera pour deux des bras une bonne disposition. En effet, l’inductance et la capacité du fil entier, limites supérieures de celles de chacun des deux bras, pourront être évaluées, sous réserve des difficultés que présente une définition satisfaisante de ces
(:) Voir ci-dessous paragraphe 6 la méthode de Hughes Rayleigh. (2) FLEMING, The propagation of electric currents in telephon and telegraph conductors, p. 227, :
quantités, à :
L=—a/log- U.E.M 3 l ne Ge U.E.S 2 log, = Tr Si = 100°", F—=0 02% On trouve :
1712007, ! & gen 3
quantités très petites et elles-mêmes difficilement accessibles à l'expérience.
