Tout nombre qui en divise un autre divise ses multiples

Ce principe est une conséquence du précédent : car un multiple d*un nombre n'est autre chose que la somme de pliisiQiur& nombres égaux à celui-là (40).

Exemple. 6 divise 18, et par suite il divise 18 X 13=234.

M. Lorsqu'un nomibre en divise deux autres, il divise leur dif^ férence.

En effet, chacun des nombres proposés vaut un certain nom* bre de fois le diviseur dont il s'agit : donc leur différence vaut un certain nombre de fois ce diviseur; donc il en est un difi*» seur exact. '^' '

61. Vn nonibre est divisible par 2 qiuind il est terminé par ti» zéro ou par u/n des chiffres pairs 2, 4, 6, 8*.

* On appelle nombre pair un nombre exactement divisible par 3, parce: qu*il peut être partagé en deux portions pareilkt ou égales; par oppositioD^

1* Si le nombre est terminé par un 0, il est un multiple de 10 (26); mais 10, qui égale 2X5, est divisible par 2; donc le nombre proposé l'est aussi (59).

2^' Si le nombre est terminé par un chiffre pair, ou pourra le concevoir décomposé en dizaines et unités. La partie des dizaines est, comme nous venons de le voir, divisible par 2 ; la partie des unités Test aussi, par hypothèse : donc les deux parties du nombre proposé étant divisibles par 2, ce nombre l'est aussi (58).

62. On démontrerait de la même manière qu'un nombre est divisible par 5 quand U est terminé par un ou par un 5.

63. Un nombre est divisible par 4 quand le nombre représenté par ses deux derniers chiffres à droite est divisible par 4.

£n effet, concevons le nombre proposé décomposé en cen* taines et en unités : la partie des unités est, par hypothèse, divisible par 4; la partie des centaines l'est aussi, car tout nombre de centaines est un multiple de 100. Hais 100 = 10. 10 : or dans 10 il y a un facteur 2, donc dans 100 il y aura deux facteurs 2, donc 100 est divisible par 2 . 2 = 4, et par conséquent tout nombre de centaines l'est aussi : donc les deux parties du nombre proposé étant divisibles par 4, le nombre lui-même le sera aussi.

On verrait de la même manière qu'un nombre sera divisible par 8=2', par 16 = 2\ etc., quand le nombre exprimé par ses 3,4, etc., derniers chiffres sera divisible par 8, 16, etc.

64. Un nombre est divisible par 9, qiuind la somme d^ ses chif^ ^es^ considérés comme représentant des unités simples^ est ellemnême divisible par 9.

Nous allons d'abord démontrer qu'une unité d'un ordre quel-

fOn nomme nombre impair un nombre qui n'est pas exactement divisible par 2» ai donc on divise un nombre impair par 2, on aura pour reste une unité : de tmorte qu'un nombre impair est égal à un nomlre pair augmenté ou diminui^ ^z^une unité.

conque est un multiple de 9 augmenté éFune unité simple. Si : multiplions en effet par 9 un nombre exprimé par tanli chiffres 1 que Ton voudra» il est clair que le produit ne composé que de chiffres 9, et qu'ainsi, en y ajoutant une le résultat sera exprimé par l'unité suivie d'autant de zérosi y avait de chiffres 1 dans le multiplicande : donc une unitéi ordre quelconque est un multiple de fi^augmenté à'vm et par conséquent 2, 3, 4.... unités de cet ordre vaudront] multiple de 9 augmenté de 2,3,4.... unités simples.

On voit d'après cela que, si l'on conçoit le nombre pro] décomposé en ses diverses collections d'unités, chacune d'c sera égale à un multiple de 9 augmenté de son chiffre ficatif considéré comme représentant des unités simples : ce nombre est égal à un multiple de 9 augmenté de la soi de ses chiffres significatifs. Si donc cette somme est diviî par 9, le nombre le sera aussi (S8).

Remarquez que cette démonstration prouve que le reste à\ division d'un nombre quelconque par 9 est celui même que U . obtient en divisant par 9 la somme de ses chiffres additii comme sHls représentaient des unités simples.

^ 65. On démontrerait de la môme manière qu'un nombre\ divisible par 3 quand la somme de ses chiffres significatifs^ sidérés commue représentant des unités simples^ est elle-même d\à sible par 3. Seulement, pour prouver qu'une unité d*un orë quelconque est un multiple de 3 augmenté d'une unité sim^ il faudra multiplier par 3 un nombre exprimé par tant de èà fres 3 que l'on voudra, et ajouter une unité au produit.

66. Un nombre est divisible par 6 lorsquHl est pair y et qu/ti somme de ses chiffres^ considérés comme représentant des uniik simples^ est divisible par 3.

Puisque la somme des chiffres du nombre proposé est oi multiple de 3, ce nombre sera divisible par 3 (68). Or je dis qw le quotient de cette division sera divisible par 2. En effet» si ce quotient était un nombre impair, en le multipliant par 3 os

On voit qu'en divisant dix unités par 1 1, on a pour quotient et 10 pour reste; qu'en divisant 100 unités par 11, on a 9 pour quotient et 1 pour reste; et comme en abaissant un à la droite de ce reste, on retombe sur le premier dividende partiel 10, il s'ensuit que les mêmes quotients et les mêmes restes

* En effet, un nombre impair est égal à un nombre pair augmenté d'une unité : donc le produit de deux nombres impairs est égal au produit du multiplicande par un nombre pair, plus une fois le multiplicande , c'est-à-dise est égal à un nombre pair augmenté d'une unité; donc ce produit est impair.

PROPRIÉTÉS DES NOMBRES. 43 r-

trouverait un nombre impair, car le produit de deux nombres > impairs est nécessairement impair * : ainsi, en multipliant le diviseur par le quotient, on ne retrouverait pas le dividende, puisque nous avons supposé que ce dividende était un nombre pair. Le quotient de la division du nombre proposé par 3 est donc divisible par 2 : donc le nombre proposé sera égal au quotient de cette seconde division multiplié par 2, puis par 3, ) c'est-à-dire multiplié par 6 (58); donc il est divisible par 6.

*67. Un nombre est divisibkpar 11 quand la différence entre la somme de ses chiffres de rang impair et la somms de ses chiffres de rang pair est elle-même divisible par 11.

Pour le démontrer, nous allons chercher quel est le reste que donne une unité d'un ordre quelconque divisée par 11, ce qui se fera en divisant par 11 le nombre représenté par l'unité suivie d'un nombre indéfini de zéros; car, suivant que l'on aura employé un, deux, trois, etc., de ces zéros, lé reste correspondant sera évidemment celui que donne une dizaine, une centaine, un mille, etc., divisé par 11; d'ailleurs une unité divisée par^l donne 1 pour reste :

se reproduiront périodiquement et à l'infini. Puis donc qu'une unité divisée par 11 donne pour reste 1, qu'une dizaine donne pour reste 10, on voit que toute unité d! ordre impair est un mut' tiple de 1 1 augmenté (fune unité simple^ et que touie unité d^ ordre pair est un multiple de II diminué d'une unité simple. Donc, si l'on conçoit un nombre quelconque décomposé dans ses diverses collections d'unités, chacune d'elles sera un multiple de 1 1 augmenté ou diminué de son chiffre significatif, considéré comme représentant des unités simples, suivant qu'elle sera d'ordre impair ou d'ordre pair ; donc ce nombre est égal à un multiple de 1 1 augmenté de la somme de ses chiffres de rang impair et diminué de la somme de ceux qui sont de rang pair; donc il sera un multiple de 11, si la différence de ces deux sommes est elle-même un multiple de 11 ; donc un nom* bre sera divisible par 1 1 quand la différence entre la somme de ses chiffres de rang Impair et la somme de ses chiffres de rang pair sera elle-même divisible par 11.

Le nombre 987654321 est-il divisible par 11, et s'il ne l'est pas, quel sera le reste de la division?

La somme des chiffres de rang impair est

celle des chiffres de rang pair est

donc le nombre proposé est un multiple de 1 1 plus 25 moins 20; donc le reste de la division est 5.

On peut simplifier ces calculs, en ayant soin de retrancher 1 1 de la somme des chiffres que Ton additionne, chaque fois que l'on obtient une somme partielle plus grande que 1 1 ; car il est clair que l'on aura ainsi diminué la somme des chiffres de rang impair et celle des chiffres de rang pair, chacune d'un multiple de 11, et qu'en conséquence leur différence aura été altérée seulement d'un pareil multiple.

Ainsi dans l'exemple ci-dessus nous dirons : 1 et 3, 4 : et 5 9; et 7, 16; moins 11, 5 ; et 9, 14 ; moins 1 1, 3. En opérant de même sur les chiffres de rang pair, on dira : 2 et 4, 6; et 6, 12 : moins 11, 1; et 8, 9. Ainsi le nombre proposé se compose d*un multiple de II, plus Z moins 9, c'est-à-dire d*un multiple de 11 moins 6; ou, ce qui revient au môme, d'un multiple de 11 plus 11 moins 6, c'est-à-dire d'un multiple de 11 plus 5; donc le reste de la division est 5.

* 68. Cherchons maintenant les caractères de divisibilité d'un nombre quelconque par un nombre donné.

Pour fixer les idées, nous supposerons que le diviseur donné soit 7.

Il est évident que si, sans effectuer la division du nombre proposé par 7, nous pouvions cependant trouver le reste de cette division , nous verrions à l'inspection de ce reste si le nombre proposé est ou n'est pas divisible par 7. Tâchons donc de découvrir ce reste.

On sent que si l'on divise 2, 3, 4,... unités d'un ordre quelconque par un certain diviseur, le reste que l'on obtiendra sera 2, 3, 4,... fois plus grand que si l'on divisait une unité du même ordre par le même diviseur. Par conséquent, si nous pouvons déterminer le reste que donne une unité d'un ordre quelconque divisée par 7, nous aurons facilement les restes respectifs qu'on trouvera en divisant par 7 les diverses collections d'unités du nombre proposé, et la somme de ces restes sera celui même de la division de ce nombre par 7.

Cherchons donc quel est le reste que donne une unité d'un ordre quelconque divisée par 7. Pour cela il n'y a qu'à diviser par 7 le nombre représenté par l'unité suivie d'un nombre indéûni de zéros, ce qui donne le calcul suivant :

* Dans toute cette théorie, nous entendrons par reste d'une division l'excès du dividende sur un multiple quelconque du diviseur.

En examinant le tableau ci-dessus, on reconnaît:!' une unité y une dizaine ^ une centaine sont des multiples de 7 mentes respectivement d'une^ trois^ deux unités simples; S"* (|U€i mille, une dizaine de mille, une centaine de mille doi pour restes six^ quatre, cinq unités, et qu'ainsi tm mt^, dizaine de mille, une centaine de mille sont des multiples è\ diminués respectivement de une, trois, deux unités simples. Ooi les restes obtenus dans la division ci-dessus se reproduis périodiquement à Tinfîni, la loi que nous venons de n natlre pour les unités, dizaines et centaines des deux preoÉ ordres d'unités ternaires se soutiendra pour celles des oi suivants; par conséquent, si l'on partage le nombre prop en tranches de trois chiffres, en allant de droite à gauche, i verra que Tune quelconque de ces tranches sera un mi de 7 augmenté ou diminué , selon qu'elle sera de rang iiD| ou de rang pair, de une fois ses unités, trois fois ses dizainii\ deux fois ses centaines. Si donc on multiplie les unités, dizaii centaines de chaque tranche respectivement par 1, 3, 2, nombre proposé sera égal à un multiple de 7 augmenté de| somme des produits qui proviennent ainsi des tranches de impair, et diminué de la somme de ceux qui résultent tranches de rang pair; ou, ce qui revient au même, auj ou diminué de la diCTérence de ces deux sommes, selon qael première sera plus grande ou plus petite que la seconde. suivant que cette différence sera ou ne sera pas divisible pari le nombre lui-même sera ou ne sera pas divisible par 7.

Exemples. !• Quel est le reste que l'on obtiendra en divis

42876953246235 par 7? L'application de la règle précédente conduit aux calculs suivants :

Tranches

Tranches

de rang pair.

de rang impair/

Ainsi le nonihre proposé est égal à un multiple de 7 augmenté de 68 unités et diminué de 65 unités, c'est-à-dire à un multiple de 7 augmenté de (68 — 65) = 3 unités; donc le reste de la division est 3.

2* Quel est le reste de la division de 278245789321 par 7?

Tranches de rang impair.

Tranches de rang pair.

Ainsi le nomhre proposé est égal à un multiple de 7 augmenté de 34 unités et diminué de 80 unités, c'est-à-dire à un multiple de 7 diminué de (80—34) = 46 unités.

Mais en appliquant la méthode au nomhre 46, on trouve qu'il est égal à un multiple de 7 augmenté de 18 unités; que 18 est de même un multiple de 7 plus il; et qu'enfin 1 1 est un multiple de 7 plus 4. Ainsi 46 se compose d'un multiple de 7, plus 4 : donc le nomhre proposé est égal à un multiple de 7 diminué de 4 unités, ou bien à un multiple de 7 plus 7 moins k,

c'est-à-dire à un multiple de 7 pliu 3 : donc le reste de la dinsion sera 3.

* 69. Si l'on se rapporte au tableau de la division de 10000..., par 7 (page 46), on reconnaît que une unité, un mille, un miliion, un billion, etc., donnent respectivement pour restes 1,6, 1, 6, etc., unités; qu*ainsi toute unité ternaire de rang impair est un multiple de 7 augmenté d*une unité simple, et toute unité ternaire de rang pair est un multiple de 7 diminué d'une unité simple. Par conséquent, si l'on conçoit le nombre proposé partagé en tranches de trois chiffres en allant de droite à gauche, chacune d'elles sera un multiple de 7, augmenté ou diminué de sa valeur absolue, selon qu'elle sera de rang Impair on de rang pair : donc ce nombre est un multiple de 7, augmenté de la somme de ses tranches de rang impair, et diminué de la somme de ses tranches de rang pair; donc il sera divisible par 7, si la différence de ces deux sommes l'est aussi ; donc, pour qu'un nombre soit divisible par 7, il faut et il suffit que^ à on le partage en tranches de trois chiffres en allant de droite à gauche, la différence entre la somme de ses tranches de rang im^ pair et la somme de ses tranches de rang pair soit elle-même divisible par 7.

Cette seconde règle, beaucoup plus simple que la premi^ n*cst applicable cependant qu'à des nombres composés do plus de trois chiffres, de sorte qu'il faudra les appUquer successivement toutes les deux.

Reprenons les deux exemples traités dans le numéro précédent. Le premier conduit aux calculs suivants :

Tranches \ de rang impair.)

Tranches de rang pair, j ^^^

Ainsi le nombre proposé est un multiple de 7 augmenté de (1230— 1122; =108, ou, ce qui revient au même, du reste de

la division de 108 par 7, lequel est 3 d'après la première méthode ; donc le reste demandé est 3.

Calcul du second exemple.

Tranches ( 321

de rang impair. ( 245

Tranches de rang pair.

Ici le nombre proposé est un multiple de 7 augmenté de 566 et diminué de 1067, c'est-à-dire diminué de (1067 — 566) = 501, ou du reste de la division de 501 par 7, lequel est 4 : donc le reste demandé est 7 — 4 = 3.

*70. Les méthodes que nous venons de développer peuvent s'appliquer avec succès à tout autre diviseur qye 7. En répétant sur cet autre diviseur tous les raisonnements qui précèdent, on parviendra toujours à des caractères de divisibilité qui seront plus ou moins simples. Ainsi, par exemple, on trouvera que, pour qu'un nombre soit divisible par 37, il faut et il suffit que, si on le partage en tranches composées alternativement de deux et d*un chiffre, en allant de droite à gauche, la différence entre la somme des tranches de deux chiffres et le produit par II de la somme de celles d'un chiffre soit divisible par 37.

71. La facilité avec laquelle on trouve le reste de la division d'un nombre par 9 fournit une méthode très-simple pour faire la preuve de la multiplication. Cette méthode, connue sous le nom de preuve par 9, est fondée sur le principe suivant : -X-ie reste que Von trouve en divisant par 9 le produit de deux nombres est égal à celui que Von obtient en divisant par 9 le produit des deux restes que donne la division des AmiÊi^ proposés parce vïiéme diviseur 9 *.s^

Remarquons que cette propriété n*est pas particulière au nombre 9, mais

PROPRIÉTÉS DES NOMBRks.

Un effet, chacun des deux nombres proposés peut être considéré comme un multiple de 9 augmenté du reste de la division de ce nombre par 9 : si donc on multiplie ces deux nombres entre eux, ce qui se fera en multipliant chaque partie du multiplicande successivement par chacune de celles du multiplicateur, le produit que Ton trouvera sera composé de quatre parties^ dont trois seront des multiples de 9, et dont la quatrième sera le produit des restes que Ton aura trouvés en divisant les nombres proposés par 9. Donc le reste de la division du produit de ces nombres par 9 sera le même que celui que Ton obtiendra en divisant par 9 le produit de ces restes : il est d'ailleurs évident que, si ce dernier produit était moindre que 9, il serait lui-môme le reste dont il s'agit.

Soient, par exemple, les nombres 43 et 35. £n les divisant par 7, on trouve que 43 = 9.4 -j- 7, et que 35 = 9.3 4- 8 : donc leur produit se compose de la somme

dont les trois premières parties sont évidemment des multiples de 9; mais la quatrième, divisée par 9, donne pour quotient 6 et pour reste 2, de sorte qu'elle vaut 9.6+2 • donc le produit

donc le reste de la division de ce produit par 9 est 2.

Gela posé, pour faire la preuve de la multiplicationj addilioi^ nez successivement les chiffres du multiplicande^ considérés comme représentant des unités simples^ et diminuez chaque somme par» tielle de 9 qu/ind la chose sera possible : vous obtiendrez ainsi U reste que donnerait la division de ce r^uHipHcande par 9 (64). Opérez de la même manière sur le multiplicateur; multipliez entre

que tout autre nombre en jouit également : aussi fait-on quelquefois la pxeUY9 par 11, à cause de la facilité avec laquelle on peut calculer le reste de la division d'un nombre par 11 (Off).

exix les deux restes ainsi obtenus^ et cherchez semblablement le reste de la division de leur produit par 9. Si la multiplication a été bien faitey le reste que vous trouverez ainsi devra être le même que celui que vou^ obtiendrez en opérant sur le produit comme vous l'avez fait sur ses facteurs.

Veut-on vérifier le produit 40612376 des nombres 8764 et 4634? en opérant sur le multiplicande conformément à cette règle, nous dirons: 8 et7y 15; moins9, 6; et 6, 12; moins 9» 3; et 4, 7. On trouvera de même que la division du multiplicateur par 9 donnera 8 pour reste ; on multipliera 7 par 8 ; le produit est 56, dont la somme des chiffres surpasse 9 de 2. Il faudra donc qu'en divisant le produit 40612376 par 9, on trouve aussi 2 pour reste; et c*est en effet ce qui a lieu. On en conclut que la multiplication a été bien faite.

Remarquons cependant que cette preuve pourrait réussir, bien que la multiplication qu'elle doit vérifier fût fautive. Il suffirait pour cela que Ton eût commis quelque part deux erreurs, l'une en plus, l'autre en moins^ du même nombre d'unités ; ou bien que Ton eût mis un 9 au lieu d'un 0, et ré- 43ipi oqucment, etc.

72. Pour faire la preuve par 9 de la division, retranchez le reste du dividende, et, le nombre résultant étant le produit du diviseur par le quotient, vous pourrez le vérifier par la méthode précédente.

Exemple. La division de 40615624 par 8764 a donné pour quotient 4634, et pour reste 3248. Pour la vérifier je retranche 3248 de 40615624, ce qui donne pour reste 40612376, nombre qui est ainsi le produit de 8764 par 4634. J'applique donc à la vérification de ce produit la règle du n"" 71. Les facteurs divisés par 9 donnent respectivement pour restes 7 et 8, dont le produit est 56. La somme de ses chiffres surpasse 9 de 2 unités : ainsi il faut que le reste de la division de 40612376 par 9 soit 2, et c'est effectivement ce qui arrive; donc la division a été bien faite.

52 PROPRIETES DES NOMBRES.

S U. NOMBRES PREMIERS. | i

75. On appelle nobibre premier un nombre gui n'est dm que par lui-même et par l'unité : tel est le nombre 7.

Il suit de cette définition qu'on sera sûr qu*un nombrei premier, lorsqu'on aura essayé de le diviser par tous les bres plus petits que sa moitié sans pouvoir y parrenlr ^11

74. Proposons-nous de découvrir qusls sont, dans lasmU\ turelle des nombres^ ceux qui sont premiers.

De toutes les méthodes données pour résoudre ce problènv,] la suivante, due à Ératosthène^ est la plus expéditlve. Ce mètre grec observa que les nombres pairs, à TexceptiondeM ne pouvant être des nombres premiers, il ne fallait chcrdiB| ceux-ci que parmi les nombres impairs; en conséquence, il écrivit les uns à la suite des autres, et dans.leur ordre natiml, tous les nombres impairs jusqu'à la limite qu'il s'était flxèe',1 et remarqua que, si, à partir de 3 exclusivement, on compld de trois en trois, tous les nombres sur lesquels on tombenill ainsi seraient seuls divisibles par 3.

En effet, chaque nombre impair diffère du précédent de deoil unités : donc il diffère de celui qui le précède de trois rangs, de six unités : donc le nombre qui vient trois rangs après on nombre divisible par 3 est lui-même divisible par 3 (58); donc aussi le nombre qui vient trois rangs après un nombre qui n'est pas divisible par 3, ne l'est pas non plus, car Use compose d'une partie qui est divisible par 3, et d'une autre qui ne Test pas; donc, si, à partir du nombre 3, on compte de trois en trois^les nombres sur lesquels on tombera seront divisibles par 3, et il

* La suite des nombres premiers est illimitée ; car supposons, s'il est possible, que n soit le plus grand de ces nombres: formons le produit 2.3.5. 7.,..ii de tous les nombres premiers; le nombre 1 + 2.3.5.7. ...n est premier, sans quoi il serait divisible par un nombre premier, et il est clair que le reste de sa division par l'un de ces nombres est Tunité.

n*y en aura pas d'autres qui jouiront de cette propriété. Une raison semblable conduisit Ëratosthène à pointer tous les nombres sur lesquels il tomba en comptant de cinq en cinq» à partir de 5 ; de sept en sept, à partir de 7 ; dé onze en onze, à partir dé 11 y etc. ; de cette manière, il parvint à exclure tous les nombres divisibles respectivement par 3, 5, 7, 11, etc.; de sorte qu'il ne resta plus que les nombres premiers. Cette méthode porte le nom de crible d^Ératosthèneiyoj^ 213).

75. On appelle plus grand commun diviseur de plusieurs nombres le plus grand de tcms les nombres qui les diviserU exacte^ ment, v-

Propoi&ons-nous d'abord de trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres, et supposons, pour fixer les idées, que ces nombres soient 56 et 21. Le plus grand commun diviseur de 56 et de 21 ne peut pas être plus grand que 21, puisqu'il doit le diviser : donc 21 serait le plus grand commun diviseur demandé, s'il divisait 56. Divisons donc 56 par 21 : le quotient est 2, et le reste 14; ainsi, 21 n'est pas le plus grand commun diviseur demandé. Mais je dis que ce plus grand commun diviseur est le même que celui des nombres 21 et l4.Nous le démontrerons évidemment en prouvant que tous les diviseurs communs à 56 et à 21 sont aussi des diviseurs communs à 21 et à 14, et réciproquement.

Or, tout diviseur commun à 56 et à 21 divise 21, et partant son multiple 2 fois 21 (59) ; mais il divise aussi 56 : donc il divise leur différence 14 (60) ; donc il divise à la fois 21 et 14.

Actuellement^ tout diviseur commun à 21 et à 14 divise 21, et partant son multiple 2 fois 21; mais il divise aussi 14: donc il divise leur somme 56 (58) ; donc il divise à la fois 56 et 21.

Donc tous les diviseurs communs à 56 et à 21 sont aussi des diviseurs communs à 21 et à 14, et réciproquement; donc le plus grand commun diviseur de 56 et de 21 est celui même de 21 et de 14 ; donc le plu^ grand commun diviseur de deux nombres est le même que celui qui existe entre le plus petit de ces nom^ bres et le reste de leur division.

La question est donc ramenée à trouver le plus grand commun diviseur de 21 et de 14. En raisonnant sur ces deux nombres comme on l'a fait sur 56 et 21, on sera conduit à diviser 21 par 14 ; on trouvera 1 pour quotient et 7 pour reste, ce qui montre que 14 n'est pas le plus grand commun diviseur demandé. Mais en vertu du principe que nous venons de démontrer, ce plus grand commun diviseur est le même que celui des nombres 14 et 7 ; nous diviserons donc 14 par 7 ; et comme 7 divise exactement 14, nous en conclurons que 7 est le plus grand commun diviseur demandé.

76. Donc, pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres, divisez le plus grand par le plus petit. Si la divi» sion s'effectue exactement^ le plu^ petit des deux nombres est le plu>s grand commun diviseur demandé. Si cela n'a pas lieu, vous diviserez le plus petit nombre par le reste; et si la féconde ditnsion réussit, ce premier reste sera le plus grcmi^commun diviseur; dans le cas contraire, on divisera le reste de la première division par celui de la seconde, celui-ci par le reste de la troisième, et ainsi de suite^ jusqu'à ce qu'on parvienne à un quotient exact : le dernier diviseur sera le plus grand commun diviseur demandé.

Si, dans le courant des opérations, on trouve pour reste un nombre premier, il faudra encore diviser le reste précédent pat celui-ci. Si l'opération s'effectue exactement, ce nombre premier sera le plus grand commun diviseur demandé. Si elle ne réussU pas, il est inutile de pousser plus loin le calcul, car on est certain de trouver l'unité pour plus grand commun diviseur. En effet, puisqu*en vertu du principe établi au n* 78, le plus grand commun diviseur doit diviser tous les restes, il doit diviser notre nombre premier ; mais un nombre premier n'est divisible que par lui-même ou par Tunité : donc le plus grand commun diviseur ne peut être que ce nombre premier ou l'unité : donc si le nombre premier n'est pas le plus grand commun diviseur^ ce sera l'unité qui sera ce plus grand commun diviseur. On dispose les calculs de la manière suivante :

PAOPRIÉTËS DES NOMBRES. 55

Le nombre des divisions ne pourra pas surpasser la moitié du plus petit nombre; car les deux derniers diviseurs sont les seuls restes consécutifs qui puissent différer d'une unité seulement, puisque la division de deux pareils nombres donne évidemment pour reste l'unité; de sorte que deux autres restes consécutifs quelconques diffèrent au moips de 2 unités, et qu'ainsi il ne peut pas y avoir plus de restes différents que 2 n'est contenu de fois dans le plus petit nombre.

77. On appelle nombres premiers entre eux des nombres qui n^ont que l* unité pour diviseur commun.

Il suit de là que, si Ton applique la méthode du plus grand commun diviseur à deux nombres premiers entre eux, on trouvera l'unité pour plus grand commun diviseur, sans quoi ces deux nombres ne seraient pas premiers entre eux.

*78. Tout nombre qui en divise deux autres divise leur plus grand commun diviseur.

En effet, tout nombre qui divise le dividende et le diviseur d'une division doit diviser le reste de cette division, car il divisera le dividende et le produit du diviseur parle quotient (50) ; donc il doit diviser leur différence (60), c'est-à-dire le reste de la division. **

Gela posé, si Ton applique à deux nombres la méthode ^ plus grand commun diviseur, on voit que tout nombre qui ffivisera les deux nombres proposés divisera le reste de la première division. Mais ce reste devient diviseur dans la seconde : donc le nombre dont il s'agit divisera le dividende et le di^seur de la seconde division, et par conséquent le reste de cette dMsion, et ainsi de suite ; donc il divisera tous les restes suCeessife,

et par conséquent le plus grand commun diviseur, qui est le dernier de ces restes.

*79. Ce principe va nous donner le moyen de trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres. Soient, en effet, les nombres 60, 48, 30 et 15. Je cherche le plus grand commun diviseur des deux premiers, il est 12; le plus grand commun diviseur de 12 et de 30, il est 6; le plus grand commun diviseur entre 6 et 15, il est 3. Je dis que 3 est le plus grand commun diviseur demandé. En effet, le plus grand commun diviseur des nombres 60, 48, 30 et 15 divise 60 et 48, et par conséquent leur plus gi*and commun diviseur 12 (78). Or il divise aussi 30 : donc il doit diviser 6, plus grand commun diviseur de 12 et de 30. Mais il divise aussi 15 : donc il doit diviser 3, plus grand commun diviseur des nombres 6 et 15; donc il n*est pas plus grand que 3. Donc, si je puis prouver que 3 divise à la fois les nombres proposés, j'en conclurai que '3 est leur plus grand commun diviseur.

'* Or 3 divise le^ nombres 6 et 15, car il est leur plus grand ' commun diviseur : donc il divise 12 el 30, multiples de 6 ; donc il divise 60 et 48, multiples de 12; donc il divise à la fois les jjji^atre nombres 15, 30, 48 et 60; donc il est leur plus grand commun diviseur.

Donc, pour trouver le plus grand commun diviseur de plu- '[SfSW^ nombres^ on cherchera le plu^ grand commun diviseur des .^^ plus petits, car le plus grand commun diviseur demandé : ^IP^^urait les surpasser ; puis le plus grand commun diviseur de btfidti^ grand commun diviseur et du plus petit des nombres restants; puis le plus grand commun diviseur de ce second plus grand lïW^BW^ diviseur et du plus petit des nombres restants, et ainsi de -iB^ft^* ^ dernier plus grand commun diviseur trouvé sera celui ~9iifnfildes nombres proposés.

luiil'fif^^lout nombre qui divise un produit de deux faclewi^s^ et -iM* ^Pflki^emier avec Vun d'eux, divise nécessairement Vautre

Soit a un nombre supposé premier avec l'un des deux facteurs b Qic d*un produit, le facteur b par exemple : je dis que» si a divise le produit b. c/\\ divisera nécessairement le facteur c.

En effet, a et 6 étant deux nombres premiers entre eux, leur plus grand commun diviseur est Tunité (77). Or, si Ton multiplie ces deux nombres chacun par c, et que Ton cherche le plus grand commun diviseur des produits a.c^ib.c^ les restes que Ton trouvera dans cette seconde .série d'opérations seront respectivement égaux à ceux de la première multipliés par e. En effet, lorsqu'on multiplie le dividende et le diviseur d'une division par un même nombre, le reste est multiplié parce nombre (5S) ; donc, puisque nous avons multiplié le dividende et le diviseur de la première division par c, le premier reste aura aussi été multiplié parc. Mais ce premier reste devient le diviseur de la seconde division : donc, puisque le dividende et le diviseur de cette seconde division ont été multipliés par c, le second reste le sera aussi, et ainsi de suite. Donc, puisque le dernier reste de la première série d'opérations est l'unité, le dernier resfe de la seconde sera c. Donc c est lé plus grand commun diviseur des deux produits a.c et b,c. Or a divise le premier de ces produits, car il en est un des facteurs; il divise aussi le second par hypothèse : donc il divise leur plus grand commun diviseur c (78) ; ce qu'il fallait démontrer.

* 81. Tout nombre premier qui divise un produit de plu^sieurs facteurs divise nécessairement Vun d'eux.

Je dis que si p est un nombre premier qui divise le produit a.b.c.d, il divisera nécessairement l'un des facteurs de ce produit.

En effet, si p divise d, le principe est démontré; s'il ne le divise pas, ces deux nombres sont premiers entre eux, car ils ne peuvent avoir d'autre commun diviseur que p ou l'unité. Mais on peut regarder le produit a.b.c.d comme résultant de la multiplication du prodr.it a.b.c par d. Donc, puisque^ est premier avec le facteur rf, il faut nécessairement qu'il divise l'autre facteur a.b.c (80). Si p divise c, le principe est démontré ;

8*il ne le divise pas, ces deux nombres sont premiers eux : par conséquent, puisqu'on peut regarder le produit a.lJ comme résultant de la multiplication du produit a.b par(,j ne pourra diviser ce produit qu'autant qu*il divisera Fa facteur a.b. Si p divise b, le principe est démontré; s*il De| divise pas, ces deux nombres sont premiers entre eux, et | conséquent, pour que p divise le produit a. 6, il faudra divise le facteur a : donc p divise nécessairement Tun des teurs du produit a.b.c.d.

*82. Il suit de là que, lorsqu'un nombre premier divm\ puissance d'un nombre y il doit diviser ce nombre .• car une sance d*un nombre n*cst autre chose que le produit de sieurs facteurs égaux à ce nombre (^tl), et nous venons i prouver que, lorsqu'un nombre premier divise un produiii plusieurs facteurs, il divise nécessairement Tun d'eux.

* 83. Lorsque deux nombres sont premiers entre eux, puissances sont premières entre elles.

Soient, en effet, a et 6 deux nombres premiers entre eo] je dis que leurs puissances a"* et 6" sont aussi premières elles. En effet, si ces deux puissances avaient un facteur mier commun, ce facteur premier devrait diviser a et 5 (83 ce qui est contraire à Thypothèse : donc a* et 6* ne peuve pas avoir de facteur premier commun, et n'ont par consé< aucun facteur commun : donc ces deux quantités sont pic-l mières entre elles.

* 84. Lorsqu'un nombre est divisible par plusieurs nonim premiers entre eux deux à deua, il Vest aussi par leur prodd

Soit n un nombre divisible par les nombres a, b, c^ d, qtt je suppose premiers entre eux deux à deux : je dis qu'il est divisible par leur produit.

En effet, puisque n est divisible par a, si nous appelons 9 le quotient de la division, nous aurons n=^a.q. Or b divise n; mais il est premier avec le facteur a : donc il doit diviser l'autre

facteur q (80). Si Ton appelle q' le quotient de cette division, on aura q::=b.q\ et par conséquent n=a,b,q' (38), ce qui prouve déjà que n est divisible par le produit des deux premiers nom" bres a et h. Or divise n; donc, puisqu'il est premier avec le facteur ek^ il doit diviser l'autre facteur q (nous avons vu que n='a.q). Mais c est aussi premier avec le facteur b : donc il doit diviser l'autre facteur q' (nous avons vu que ç = 5 . g') ; donc en appelant g* le quotient de cette division, nous aurons q'z=zc.(f\ et par conséquent n, qui est égal à a.b.q\ le sera aussi à û. 6. c. g", ce qui prouve que n est divisible par le produit des trois premiers nombres a, b, c; et ainsi de suite.

88. Il suit encore du n® 81 qu'un nombre ne peut être dé^ composé que dans uft seul système de facteurs premiers.

Supposons, en effet, que l'on puisse avoir en même temps n = A.B.G, et n = a.b.c; A,B, C, a, 6, c étant des nombres premiei's. Puisque le nombre premier c divise n, il doit diviser l'un de ses facteurs A, B, C; mais, comme ils sont premiers, il faut qu'il soit égal à l'un d'eux. Supposons c = C; les deux produits A.B.C eia.b.c étant égaux, si on les divise respectivement par C et c, les quotients A. B et a. 6 devront être égaux. Or b divise le second : donc il divise aussi le premier, et par conséquent l'un de ses facteurs A et B , ce qui ne peut être , è moins qu'il ne soit égal à Fun d'eux, àB par exemple; d'où il suit que a est aussi égal à A, puisque A.B=a.&, ce qui démontre le principe énoncé.

Remarquons que cette démonstration n^exige pas que les fac^ teurs premiers du nombre proposé soient Ums inégaux; de sorte que si, dans l'une des expressions du nombre n, un facteur entre plusieurs fois , il entrera aussi le même nombre de fois dans l'autre.

* 86. Pour qu^un nombfe en divise un autre ^ il faut quHl ne contienne pas d'autres facteurs premiers que cet autre ^ et quHl ne contienne pas les facteurs premiers de ce nombre plus de fois que celui-ci ne les contient lui-mêmie : sans quoi on pour-

mit décomposer un même nombre de deux maiiièm rentes en facteurs premiers.

*B7. Pour qu'un nombre soU divisible par un atUre^il qu*U contienne tous les facteurs premiers de cet axUre^ ttf^ contienne chacun d'eux au moins autant de fois que celui-^ contient (OS).