S' = SS' — XX' — Y Y' — ZZ

et se compose, en outre, de trois bi-radiales rectangles que Ton obtient en multipliant les verseurs r^, r„, >% par les nombres X', Y', Z' suivants :

X' = SX' -t S'X- YZ' -hZY', Y' = S Y' + S' Y - ZX' + XZ', Z' = SZ' 4- S'Z — XY' + YX'.

Onretrouvclis Nous retombons, comme ce devait être, sur les formules déjà formules (12) trouvées, mais nous y retombons par une voie qui n'est autre cette par une autre ^^^^ qu'un véritable calcul symbolique et nous aboutissons ainsi

naturellement à la conception môme des quatcrnions. Quaiernion. Le qualernion c'est l'image analytique de la bi-radiale. Considérons un symbole de la forme

où s, X-, y, 2 sont des nombres algébriques oixiinaires et t, j, k de simples symboles de séparation. Nous conviendrons que deux symboles de cette forme ne pourront être identiques que si s, x, y, z y ont la même valeur.

Somme Étant donné un second symbole

eldilTt enccde ^

quate.i.ioiis. s' + f.x' +j.y' 4- k.Z ,

nous appellerons sommes de ces symboles le symbole

s + 8' + i {x + x') + j {y -h y') + fe (s + z')

et différence le symbole

Pour multiplier le symbole par un nombre algébrique, ou multipliera s, X, y y z par ce nombre.

Mnltipticati n. Cherchons actuellement à définir la multiplication des symboles de cette sorte en conservant une partie au moins des règles du calcul de l'algèbre ordinaire. Formons le produit

(s' H- ix' + j.y' -h hz') (s -H îx -H jy \r kz)

NOTES DE l'auteur.

en procédant, pour la loi de formation, comme si i, ;", k étaient trois variables littérales indépendantes, et ayant soin de ne pas intervertir l'ordre des facteurs, les quantités s\ x\ y' , z' , s, x, ?/, z jouant, elles, le rôle de coefficients numériques et étant, par conséquent, iiitervertissables. Le développement du produit nous donnera, en groupant les termes qui multiplient un même symbole,

s' s + (s'x + sx')i + (s'y -+- sy')j + {s' z -+- sz')k ■+■ xx'.i* •+■ yy' .j* -\- zz' .h* -4- y'z.jk + z'y.kj + z' x.ki -i- x' z.ik -h x'y.ij -h y'x.ji.

Une des conditions essentielles de ce calcul, c'est que les opérations ne conduisent pas à des symboles autres que ceux introduits dès le début. Ce produit doit être réductible au type

s' + i.x* + jif + kz\

Il faudra pour cela que i', /, k"^, jk, kj, ki, ik, ij, ji soient des fonctions linéaires à coefficients numériques des symboles t, ,/, k. Prenons dès lors pour ces fonctions linéaires les suivantes :

(iS)

on aura

jk — i, kj = — i, fct--i, ik = ^j^ ij =z k. ji = — k,

s' = ss — XX — y y — zz\ x' =. sx' 4- s'a; 4- zy' — yz' , y' = sy' -h s'y 4- xz' — zx\ z' = sz' -+■ s' z 4- yx' — xy'.

En comparant aux formules (12), on voit que l'on a créé ainsi un algorithme qui, tant par ses propriétés d'addition que par la composition de sa multiplication, est la complète image des constructions géométriques concrètes auxquelles nous avaient amené la considération des bi-radiales.

La conception analytique peut même être généralisée et étendue au cas où, au lieu des quatre systèmes d'unités 1, i,j, k, on en prendrait un plus grand nombre.

Après cet exposé sommaire des premiers principes des quaternions, nous allons voir quels rapports existent entre cette théorie et celle des rotations.

Cinématique. 31

Dans la note II qu'il a insérée dans le présent volume, M. Darboiix

a montré (p. 346 et suivantes) que toute rotation d'amplitude ô autour

d'un axe OX se représente par un angle AOB dont l'ouverture

est - 6. Il semblerait naturel de représenter la rotation par un ver-

seur d'axe OX et d'amplitude angulaire 6; ^l vaui mieux la représenter par le veiseur d'axe OX et d'ampUtud(^ -•

Ce verseur sera ainsi représentable par la notation

(__j, où

La

composilioti des rotations

finies

se ramène ù la

multiplication

des verseurs.

OA, OB ont chacun une longueur égale à Tunité. L'indétermination de l'angle AOB dans son plan que M. Darboux établit à l'endmil cité, correspond à l'indétermination analogue dans le cas des versetirs. Considérons deux rotations qu'on pourra ramener à être représentées par les angles AOB et BOG (voir p. 348, no4); les verseurs

représentatifs correspondants seront

Vga/ \ob/

Les paramétres

du verseur qui

repiésentent la

rotation sont

les variables

d'Olinde

Rodrigues.

Or, dans cette disposition, l'angle AOC représente la rotation II' qui résulte des rotations R, K' effectuées l'une après l'autre

Le verseur représentatif est ( 1; c'est le produit des deux pre-

\0A/ miers. Ainsi, avec ce mode de représentation, la multiplication des verseurs correspond à la composition des rotations finies.

11 est curieux que les paramètres d'Olinde Rodrigues soient précisément ceux du verseur représentatif de la rotation.

Soient, en effet, a, ^, f les cosinus directeurs de l'axe de rotation et 6 l'amplitude de la rotation. Le verseur qui la représente a le

même axe et son amplitude angulaire est - • Sa partie scalaire est

cos-,

tandis que les projections de son vecteur sont

{ =: a sm ->

m = p sm - >

n = Y sm - '

Il suffit de se reporter aux formules (3) et (6) de la note I de M. Darboux pour constater que f, m, n, r sont les variables d'Olinde

NOTES DE l'auteur. 483

llodrij^ies où l'on aurait profité de l'homogénéité pour faire en sorle que

Raison de ll est dès lors facile de prévoir quelles seront les formules qui, au

ridentité de la moyen des paramètres d'Olinde Rodrigues, expriment la composition

desToUt'bn" ^® ^^"* rotations (r, l, m, n) (r' l\ m' , n'). Si (r', T, w', n') sont

en paramètres ^^-^ paramètres delà rotation composante, ces paramètres s'expiime-

d'Olinde ront en fonction des anciens par les formules de la multiplication des

Rodrigues verseurs

r* ■=. rr' — IV — mm* — nn\ r = vV -\- r'i -+- w'n — nm\

avec les

formules de la

multiplication

des im' z=:Yw! -\- Y* vfi ■\- rCl — \n\

quaternions. n» = rn' -f- r' n 4- i' m — mV .

La tlK^orie d*» On voit que la théorie des renversements fournit une nouvelle i-enversemenis interprétation de celle des verseurs.

comme asc fi ^^^ droite OA représente, en effet, un renversement, et une

la doctrine des ^ ' ^ '

quaternions. ... ,. , / 0B\

droite OB en représente un autre; la bi-radiale l I représente le

^OA/ résultat de ces deux renversements effectués successivement, et par suite représente non plus un quotient, mais le produit de ces deux renversements. La composition des renversements autour d'axes is-sus d'un point devient ainsi le point de départ de la théorie des versieure et de leur multiplication.

CKmnxaixquri:. 81 .