ME""M/E
et, par suite,
MF ME MK M'F~"M'E'"~MK
Fig. 151. Lorsque les deux points M et M' ap-
partiennent à une même branche de la courbe, le point K étant situé sur le prolongement de la corde MM', la droite FK est bissectrice de l'angle extérieur au triangle MFM'. Lorsque les Nnts M et M^ appartiennent à deux branches différentes, le
218 LIVRE m, CHAPITRE VD.
point K étant situé entre les points M et M', la droite FK est bissectrice de Tangle MFM^
Corollaire. Si Ton mène des tangentes à la courbe aux points M et M', et que Ton joigne le foyer F au point de concours P de ces tangentes, les deux droites FK, FP, étant les bissectrices de deux angles supplémentaires, sont perpendiculaires entre elles.
THÉORÈME XI
SÎ58— 5t, par un point P pris sur la directrice, on mène des tangentes à une courbe du second degré, la droite des contacts UW passe par le foyer correspondant F et est perpendiculaire à la droite FP qui joint le point P au foyer (fig. i52).
Imaginons que la tangente PM soit la limite d'une sécante dont les deux points d'intersection se sont réunis en un seul; en vertu du théorème précédent, la droite FP est perpendiculaire à FM; elle est de même perpendiculaire à Y^Jif; donc la ligne MFAF est droite et perpendiculaire à FP.
THÉORÈME Xil.
950 — Le produit des distances des deux foyers à une tangente quelconque de rellipse ou de Vhyperbole est constant. Soient FH, F' H' les perpendiculaires abaissées des foyers sur
une première tangente (fig. i53); FK^ F'K^ les perpendiculaires abaissées sur une seconde tangente, P le point de rencontre des deux tangentes.
En vertu du théorème IX, les triangles rectangles FPH, F'PK' sont semblables, ainsi que les triangles FPK, FPH', et l'on a
FP FK
Fig. 153.
d'où
FH
FK'""FP""Fir'
FHxFH'=:FKxFK^
Si la courbe est une ellipse, en menant la tangente parallèle au grand axe^ on voit que le produit constant est égal à 5*. Quand la courbe est une hyperbole, si Ton considère l'asymptote comme limite d'une tangente^ on voit aussi que le produit est égal à iV
PROBLÈME XIII
900 — Construire une courbe du second degré, connaissant le foyer F, et trois points A, B, C.
Supposons le problème résolu et les trois points appartenant à une même branche; le point D où la sécante AB est coupée par la bissectrice de Tangle extérieur au triangle AFB appartient à la directrice (n"" 267); la sécante BC donnera de même un second point IV de la directrice. Le foyer F, la directrice
I Diy et le point A définissent une
B 71 ^' courbe du second degré et une seule ;
I ce sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que la dis- ^ tance AF sera inférieure^ égale ou supérieure à la distance AE du point A Fig. 164. à la directrice. Il est facile de voir
que cette courbe passera par les deux points B et C; en elTet^ à cause de la bissectrice FD, on a
