L1V. VI, CHAI». IV.— DES HYPEHBÜL01DES

le reconnaît d’ailleurs d’une manière très-nette en construisant ces deux droites à l’aide de l’ellipse de gorge.

Soit M un point de la surface, que nous supposerons situé au-dessus du " plan de l’ellipse de gorge ; ce point se projette sur ce plan en un point m extérieur à l’ellipse; par le point m menons des tangentes mD, mE à l’ellipse; par le point de contact D de la première tangente, menons la droite DG du premier système, et par le point de contact E de la seconde tangente la Fic- 262- droite EL du second système. Les plans

projetants GDm, LEm de ces deux droites se coupent suivant une droite MM' perpendiculaire au plan de l’ellipse de gorge; cette perpendiculaire élevée par le point m perce la surface en deux points ; l’un est le point M situé au-dessus du plan de l’ellipse, l’autre est le point symétrique M' situé au-dessous. La droite DG, faisant avec Dm un angle aigu, rencontre la partie supérieure mM de la droite MM', et elle passe au point M, puisque cette partie supérieure ne rencontre la surface qu’en un point. De même la droite EL, faisant avec le prolongement de mE un angle obtus, ou avec Em un angle aigu, rencontre la partie supérieure mM de la même droite au même point M. Ainsi par le point M passent les deux droites MD, ME, qui appartiennent, l’une au premier système, l’autre au second.

&27 — Nous avons vu que les génératrices rectilignes de la surface se projettent sur le plan de l’ellipse de gorge suivant des tangentes à cette ellipse. La même propriété a lieu par rapport à chacun des plans principaux.

Considérons leplan principal COAmené par l’axe imaginaire OC et le grand axe OA de l’ellipse de gorge (fig. 263); on démontrera comme précédemment que la tangente MD, au point

M à l’hyperbole principale est la projection de deux droites MD, MD' situées sur la surface.

Quand le point M s’éloigne à l’infini sur l’byperbole, la tangente D,M tend vers l’asymplole OH, ; cette asymptote est la projection des deux droites BH, B' H', qui passent par les sommets du petit axe de l’ellipse de gorge. L’autre asymp- \ tôle OG, est la projection des droites riB. 263. BG, B'G^ qui passent par ces mêmes

points.

538 — Les génératrices rectilignes de l’hyperboloïde jouissent de quelques autres propriétés remarquables que nous allons démontrer. Soient DG, EL deux génératrices de systèmes différents; ces droites se projettent sur le plan de l’ellipse de gorge suivant des tangentes Dm, Em à cette ellipse ;

en général les deux tangentes se " coupent en un point m et les deux plans projetants suivant une droite MM' perpendiculaire au plan de l’ellipse. Comme nous l’avons expliqué plus haut, les deux droites * DG, EL, appartenant à des systèmes différents, rencontrent la perpendiculaire MM' d’un même côté du plan de l’ellipse de gorge et par conséquent se coupent au point M, où cette perpendiculaire perce la surface. Ainsi en général deux génératrices de systèmes différents se rencontrent.

1,1 peut arriver que les projections des deux droites soient parallèles; ceci a lieu, quand les deux droites, telles que DG et D'H', passent par deux points D et iy diamétralement opposés

Fig. 264.