CHAPITRE PRE JI1ER

NOUONS PRÉUMI.VVliltS.

1 . La Trigonométrie a pour objet de résoudre les triangles , c’est-à-dire de clelermiuer les valeurs numériques de leurs angles et de leurs côtés , au moyen d’un nombre de données suffisant.

2. La géométrie élémentaire fournit une première solution de ce problème ; car, comme elle apprend à construire un triangle quand on connaît trois de ses six éléments, pourvu que, parmi les données, il y ait au moins un côté, on conçoit que si, après avoir construit sur une feuille de dessin un triangle semblable aü triaugle cherché, on rapporte les inconnues sur Yéc/ielle dont on se sera servi si ce sont des lignes, ou sur le rapporteur si ce sont des angles, on obtiendra des valeurs approchées de ces inconnues. Mais les instruments que l'on est obligé d’employer sont toujours défectueux , quelque soin que I on ait apporté à leur confection , de sorte

que les résultats trouvés par leur secours ne sont que grossièrement approchés, et par conséquent n’atteignent presque jamais le degré de précision dont on pput avoir besoin. On parviendra, au contraire, à des valeurs des inconnues aussi exactes que l’on voudra, si Ion peut construire îles formules qui donnent les valeurs des parties inconnues du triangle que l’on veut résoudre, en fonction des données de la question. Tel est le problème que se propose la trigonométrie et dont nous allons développer complètement la solution.

3. Les géomètres, qui les premiers ont entrepris de calculer les éléments inconnus d’un triangle en fonction de ceux qui étaient donnés , ont dû se trouver arrêtés par la difficulté d’établir des équations entre les angles et les côtés de ce triangle. Mais, en observant qu’il existe une relation indispensable entre un arc et sa corde, et qu’amsi l’une de ces deux quantités étant connue, l’autre s’ensuit nécessairement, ils ont pu décomposer le problème général de la trigonométrie en deux parties essentiellement distinctes. Dans la première, on s’est proposé de construire une table à deux colonnes , dont l’une renfermât tous les arcs croissant par degrés très-petits depuis zéro jusqu’à une demi-circonférence, et dont l’autre colonne contînt les cordes de ces arcs, que,

fiour plus de simplicité , on peut supposer décrits avec l’unité inéaire pour rayon. On comprend qu’on pourra, en consultant cette table, trouver la corde d’un arc donné, et réciproquement ; de la même manière qu’avec une table de Logarithmes on passe d’un nombre à son logarithme, et vice versa. L’autre partie du problème a pour objet de trouver des relations entre les côtés d’un triangle et les cordes des arcs qui mesurent ses angles. Tel était le système de trigonométrie fondé par IIipparque*; mais les Arabes et les modernes ensuite l’ont considérablement perfectionné, en remplaçant

* On comprend que ce grand astronome ait pu calculer la table des cordes dont nous venons de parler; car, Archimède ayant donné une formule pour déterminer la corde qui sons-tend la moitié d’un arc dont la corde est connue, il est facile, en parlant du sixième de la circonférence qui a pour corde l’unité, de parvenir à calculer la valeur de la corde d'un arc aussi petit que l’on voudra ; de sorte qu’en prenant cet arc pour unité, on en déduira les cordes des arcs double , triple, quadruple y quintuple On parviendra ainsi à la corde qui sous-tend la

demi-circonférenic

les cordes des arcs par d’autres lignes qui ont avec ces arcs une liaison tout aussi intime que leurs cordes. Nous allons définir ces lignes trigono/nétriques , et, après avoir l’ait connaître des formules , dont quelques-unes, inutiles pour la résolution même des triangles, sont cependant d’une grande importance dans toutes les parties des inathématiques, nous donnerons le moyen de construire les tables trigonométriques, et nous terminerons par les formules qui expriment les relations qui lient les cotés d’un triangle avec les lignes trigonométriques de ses angles.

4. Nous adopterons la division sexagésimale de la circonférence, c’est-à-dire que nous la supposerons partagée en 360°, chaque degré en CO', et chaque minute en CO". De plus, comme nous considérerons le plus souvent des arcs décrits avec l imité linéaire pour rayon , nous représenterons la longueur de la demi-circonférence par la lettre tc, qui, étant employée ordinairement pour désigner le rapport de la circonférence au diamètre, exprime ainsi la longueur de la demicirconférence dont le rayon est égal à l’unité.

i>. Soient ABA'B'A une circonférence quelconque, et dans Fig. 1. cette circonférence deux diamètres AA' et BB', qui se coupent à angles droits. Si, à partir du point A, considéré comme origine, nous prenons sur cette circonférence un arc quelconque AM , et que de son extrémité M nous abaissions la perpendiculaire MI* sur le diamètre A'A, cette perpendiculaire sera appelée le sinus de l’arc AM. Ainsi, le sinus (Fiui arc est la perpendiculaire abaissée de son extrémité sur le rayon qui passe par son origine.

6. Prolongeons MP jusqu’en M'" ; il est clair que le sinus MP est la moitié de la corde MM ", de sorte que le sinus d'un arc est la moitié de la corde qui sous- tend un arc double ; d où l’on voit que la construction d’une table de sinus revient à la construction d’une table des cordes , et vice versa.

Il suit de là que sin 30°= -R, en appelant R le rayon du

cercle ABA'B'A; car ce sinus est la moitié de la corde qui sous-tend l’arc de 60°, c’est-à-dire le sixième de la circonférence.

7. Si à l’extrémité du rayon OA on mène la tangente AT, terminée à la rencontre du prolongement du rayon OM, on

k TRIGONOMÉTRIE.

dira que AT est la tangente et OT la sécante de l'arc AM. Ainsi, la tangente d’un arc est la partie r/ue les directions des rayons rjui passent par les extrémités de l’arc interceptent sur la tangente menée à l’une d’elles , et la sécante est la droite qui , allant du centre à l’extrémité de tare, va se terminer à la rencontre de la tangente menée à son origine.

8. Le complément d’un arc est, comme on sait , l’excès du quadran sur cet arc , de sorte que le complément d’un arc plus grand qu’un quadran est négatif.

Nous appellerons cosinus , cotangf.nte et cosécante d'un arc le sinus, la tangente et la sécante du complément de cet arc. Ainsi, le complément de l’arc AM étant MB, on voit que MQ , BS et OS sont respectivement le cosinus, la cotangentc et la cosécante de cet arc AM.

Si l’on remarque que MQ=OP, on pourra dire que le cosinus d’un arc est égal à la distance du pied de son sinus au centre.

9. Nous représenterons l’arc AM par a , et , en conséquence, son complément sera désigné par (90° — a), de sorte que les définitions précédentes du cosinus , de la cotangente et de la cosécante d’un arc, seront exprimées algébriquement par les formules :

cosrt=sin(90° — a) , cotrc=tang(90“ — a ), coséc a = séc (90° — a).

11 est évident que réciproquement on aura aussi

sinfl=cos(90° — a ), tang«=cot(90° — a), séc a = coséc ( 90° — a),

car on peut regarder a comme le complément de (90° — a).

10. Avant d’aller plus loin , il est important d’établir quelques notions sur la considération des quantités négatives en

Fig. 2. géométrie. Soient A et B deux points fixes , situés sur la droite indéfinie UV, M un point qui se meut sur cette droite : si I on désigne par a, x et ries distances respectives AB, AM et MB, il est clair que, quand le point M se trouvera à droite de B, on aura

mais que, s’il vient occuper une position M' située entre A et B, on aura x—a — y,

et que, s il se trouve en M" à gauche de A, sa distance à ce point sera donnée par l équation

Ainsi, il faut trois équations pour déterminer, dans tous les cas, la distance du point M au point A. Mais, si l’on regarde comme positives les distances comptées dans le sens UY et comme négatives celles qui seront mesurées dans le sens VL , la première formule

déterminera la distance du point M au point A , dans toutes les positions qu’il pourra occuper , et sera ainsi devenue générale. Eneffet, sicepointvientenM',.r=-(~AM',^'= — BM' et cette équation devient en substituant -(- AM'= AB — BM' ,

ce qui est vrai; car le second membre de cette égalité signifie que le point mobile s’est éloigné du point A de la quantité AB dans le sens UV, et qu’il a ensuite rétrogradé, dans le sens contraire VU, de la quantité BM'; de sorte que sa distance au point A est actuellement AM', laquelle doit être précédée du signe -)-, puisqu’elle est comptée dans le sens LV.

Si le point M est en M", on a x= — AM", y — BM" et

l’équation x=a-j-y devient

— AM"=AB— BM",

égalité identique, par la même raison que tout à l’heure.

Ainsi, pour généraliser nos formules , nous conviendrons d'affecter de signes contraires deux distances qui seront comptées , sur une même ligne, droite ou courbe , dans des sens directement contraires. Nous reviendrons plus tard sur ce principe, pour lui donner tous les développements qu’exige son importance ( Géorn . anal., 34).

11. Il suit de là que les arcs comptés dans le sens AB étant Fig. >. supposés positifs, ceux qui seront comptés de A vers B' seront négatifs, et qu’en regardant comme positives toutes les lignes trigonométriques d’un arc moindre que le premier quadran, il faudra donner le signe -|- aux sinus des arcs dont l’extrémité se trouvera au-dessus du diamètre AA', et le signe — aux sinus des arcs dont l’extrémité se trouvera audessous de ce diamètre. Ainsi le sinus de Karc ABM' est -|- M'P'; mais celui de ABM" est — M"Pf.

6 TBIGOSOMÉTBIE.

On verra de même que les tangentes des arcs dont l’extrémité est dans le premier ou dans le troisième quadran seront positives , mais que celles des arcs qui se termineront dans les autres quadrans seront négatives.

Quant aux sécantes, celles des arcs du premier et du quatrième quadran seront précédées du signe et celles des autres le seront du signe — . En effet, dans le quatrième, comme dans le premier quadran, la sécante est dirigée dans le sens même du rayon qui va à l'extrémité de l’arc, tandis que, pour les arcs qui se terminent dans le second et dans le troisième quadran, la sécante est dirigée suivant le prolongement de ce rayon.

Le cosinus d’un arc étant la perpendiculaire abaissée de son extrémité sur le diamètre B If, on voit que les cosinus des arcs qui se termineront dans le premier et dans le quatrième quadran seront positifs, et que ceux des autres seront négatifs, et que , par conséquent, la sécante et le cosinus d'un arc ont constamment les mêmes signes.

Enfin , on reconnaîtra facilement que la cotangente et la tangente d’un arc, et que sa cosécante et son sinus ont les mêmes signes.

12. Soient AM et AM"' deux arcs quelconques , égaux et de signes contraires : leurs extrémités sont sur une même corde perpendiculaire au diamètre AA', et qui par conséquent est coupée en deux parties égales par ce diamètre ; mais l’une d’elles est le sinus de l’arc AM , l’autre est celui de AM'"; donc les sinus de deux arcs égaux et de signes

contraires sont eux-mémes égaux et de signes contraires ; donc on a la formule générale :

sin« = — sin( — a).

Les arcs AM et — AM'" ont pour compléments respectifs

AB— AM=BM, et AB — ( — AM",)=BM"' ;

ainsi , les compléments des arcs « et — a ont pour origine commune le point B, et leurs extrémités se trouvent sur une même parallèle au diamètre Blf ; donc leurs sinus sont égaux ; mais ces sinus sont les cosinus des arcs a et — a ; donc on a la formule générale :

cosa=cos( — a) ,

c’est-à-dire , que les cosinus de deux arcs égaux et de signes contraires sont égaux et île mêmes signes.

On établira, avec la même facilité, les formules: tang a= — tang( — a), eot a= — cot ( — a);

séc«= $éc( — a), cos éca— — coséc( — a).

15. Nous allons examiner actuellement comment varient les lignes trigonométriques d’un arc, lorsque cet arc croit depuis zéro jusqu’à V infini positif et jusqu’à l’infini négatif*; mais d’abord nous pourrons nous borner à considérer des arcs positifs , en vertu des formules établies au n° 12 ; et nous ne nous occuperons non plus que des sinus et des cosinus, parce que nous donnerons bientôt des formules, au moyen desquelles on évalue facilement les tangente, cotangente, sécante et cosécante d’un arc dont on connaît le sinus et le cosinus (21 et 22), de sorte qu’au moyen de ces formules il sera facile de déduire , des variations du sinus et du cosinus d’un arc, celles de ses autres lignes trigonométriques (2«>).

Supposons donc que le point M coïncide avec le point A, origine des arcs; l’arc a sera nul , ainsi que son sinus; mais son cosinus sera égal au rayon. Donc, pour

4=0, sin«=0, cos«=R.

Si le point décrivant M s’avance vers B, il s’éloignera du diamètre A' A , et se rapprochera du diamètre B B'. Donc le sinus de l’arc AM augmentera, mais son cosinus diminuera; donc,

si aaug,<', sinrtaug1'-, cosadimin".

Quand le point décrivant M , sera parvenu en B, le sinus MP sera devenu égal au rayon OB, mais le cosinus MQ sera nul. Donc

si 4=90°, sina=R, cos«=0.

Il est bon d’observer que, quand a vaut 45°, le triangle

* Les angles d’un triangle étant chacun moindres que deux angles droits, les arcs qui les mesurent ne peuvent pas surpasser une demicirconférence, mais l’usage des formules trigonométriques n’est pas borné à la résolution des triangles , comme nous l’avons dit ci-dessus (3) ; on les emploie dans une foule de questions où l'on a à considérer des arcs positifs et négatifs de toute grandeur.

8 • trigonométrie.

OMP est isocèle-rectangle ; qu'ainsi le sinus de 45° est égal au cosinus de cet arc, et que le théorème de Pythagore donnant PM ==—=^“2, on a

sin45,=cos45‘= ~ y %.

Le point décrivant M , continuant son mouvement au delà de 15, se rapprochera du diamètre AA', et s’éloignera au contraire de 1515'; ainsi le sinui de l’arc a diminuera, mais son cosinus augmentera en valeur absolue: je dis en valeur absolue, parce que ce cosinus sera négatif, tant que le point M n’aura pas dépassé le point B' (I 1). Donc

si a auglr, sin a dimine , costzaug1'.

(Nous mettons le signe — au-dessus de cos« pour indiquer que ce cosinus est négttif.)

Lorsque le point M sera parvenu au point A' , le sinus de a sera redevenu nul, comme au point A, et le cosinus sera encore une fois égal au rayon , mais au rayon pris négativement. Donc •

sirt=l80% sina=0, cos«= — II.

Remarquons , avant d’aller plus loin , que le sinus et le cosinus de l’arc a ont repassé , depuis 90° jusqu’à 1 80°, par les mêmes valeurs absolues qu ils avaient prises de 0" à 90°, et que ces valeurs étaient égales quand les extrémités des arcs correspondants se trouvaient sur une même corde parallèle au diamètre AA'. Ainsi les.arcs AM et ABM' ont des sinus égaux et de mêmes signes, mais leurs cosinus MQ et M'Q diffèrent par les signes. Or, ces arcs AM et ABM' sont supplémentaires, puisque leur somme fait une demi-circonférence ; donc

Ixs sinus de deux arcs supplémentaires sont égaux, mais les cosinus de deux pareils ares sont égaux et de signes contraires , ce que l’on exprime algébriquement par lés deux formules suivantes : ,

sin (180° — «)=sinr/ et cos (180° — a)= — cosa.

En supposant que le point décrivant M continue son rnou-

vement au delà de A' , on verra facilement que

si «aug'% en restant <[ 270% siu a aug'% cos«dimin%

« = 270°, *sin« = — II, cos« = 0,

«aug'% en restant < 360% sin«dimin% cos«aug'%

« = 360% sin« = 0, cos«=R.

Enfin si le point décrivant M continue son mouvement, on aura des arcs plus grands que la circonférence, et qui auront évidemment les mêmes lignes trigonométriques que ceux qui ont été décrits dans la première révolution , puisque le point M repassera successivement par toutes les positions qu'il avait „ occupées d’abord. D’où l’on conclut que les lignes trigonométriques d'un arc ne changent pas lorsqu'on lui ajoute un nombre quelconque de circonférences.

En résumant la discussion à laquelle nous venons de nous livrer, on reconnaîtra que les sinus croissent avec les arcs correspondants dans le premier et dans le troisième quadran , et décroissen t dans le deuxième et dans le quatrième. » C’est le contraire pour les cosinus , dont la marche est inverse de cello des sinus.

4 4. Il suit immédiatement de là qu’il y a une infinité d’arcs qui ont la même ligne trigonométrique : or, il sera très-important de rechercher les formules générales qui comprendront tous ces arcs. Si , d'après la remarque faite au commencement du n" 1 5, flous voulons nous borner aux arcs correspondants à, un même sinus ou à un même cosinus, il n’y aura qu’à chercher la solution générale du problème sui-> vant : ,

K tant donné le sinus ou le cosinus d'un arc appartenant h une circonférence donnée , trouve r\:et arc.

Soient ABA'lV la circonférence donnée et m la longueur du sinus donné. On tracera deux diamètres rectangulaires AA1 et BB% puis, en considérant le point A comme l’origine des arcs, on prendra sur BB' une distance OQ=/«, et par le point Q on tirera la corde MM' parallèle au diamètre A .A/. Il est clair que tous les arcs positifs et négatifs qui , commençant au point A, finiront au point M ou au point M% auront leur sinus égal à m, et qu ils seront les seuls qui jouiront de cette propriété. La question est donc réduite à chercher les formules de tous ces arcs.

Pour y parvenir , je désigne par a le plus petit de tous les arcs positifs qui ont m pour sinus, ainsi AM=a, et alors l’arc AM', qui en est le supplément, sera représenté par tt — «. Mais on obtiendra évidemment tous les arcs qui ont leur extrémité au point M, en ajoutant à l’arc AM un nombre indéterminé de, circonférences positives ou négatives : donc tous ces arcs seront compris dans la formule 2kr.-\-x, frétant un nombre entier quelconque, positif ou négatif. On verra de même que l’expression algébrique de tous les arcs qui finiront au point M' est

Ainsi les deux formules

2/'~— |— a, et (2Æ-j-1)iT — a, résolvent le problème.

Nous avons supposé que le sinus donné m était positif; mais s’il est négatif, il n’y aura de changement qu’en ce qu’au lieu de le porter de O en Q sur OR, on le portera de O en Q' sur OB', et on retombera ainsi sur les mêmes formules, pourvu que l’on désigne toujours par a le plus petit de tous les arcs positifs qui ont — m pour sinus.

lii. Si l’on observe que la différence de deux arcs compris à la fois dans la première ou dans la seconde de ces formules est un nombre pair de demi-circonférences , tandis que la somme de deux arcs qui appartiennent respectivement à l’une et à l’autre est au contraire un multiple impair de la demicirconférence, on en conclura ce théorème important :

Pour que deux arcs aiept le meme sinus , il faut et il suffit que leur différence soit un nombre pair de demi-circonférences , ou que leur somme soit un nombre impair de demicirconférences. Ainsi a désignant un arc quelconque positif ou négatif, tous les arcs qui auront le même sinus que lui seront donnés par l’une ou par l’autre des deux formules 2/ir-f-« et (2A-J-1)iï — a, de sorte qu’on a

sin(24--f-r/) = sin<7, et sin[(2/-j-1)îï — tf]=sinrt. Mais on peut dans ces formules changer a en — a , et comme sin ( — «) = — sin« (12), on aura

sin (2f~ — a)= — sin a, et sin[(24-}-1}7r-f-a] = — sinn.

Si maintenant on groupe ces deux formules avec les précédentes, il viendra

sin(2/'u±a)=±sin« Ml,

sin[(2/-|- 1)ir±«]=qr sin« 2,

équations dans les deux membres desquelles il faut prendre en même temps les signes supérieurs ou les signes inférieurs.

16. Occupons-nous maintenant de la détermination des arcs qui ont pour cosinus une ligne donnée n. Nous prendrons sur le diamètre AA' une partie ÜP=n ; par le point P nous mènerons une parallèle au diamètre PB', et les points M et M";, où elle coupera la circonférence, seront les extrémités de fous les arcs qui, commençant au point A, auront n pour cosinus. Cherchons donc les formules de tous ces arcs. Si AM est représenté par a, AMW le sera par 2tu — a, de sorte qu’on obtiendra tous les arcs qui finissent en M et en M'", en ajoutant un nombre quelconque de circonférences positives ou négatives à chacun des deux arcs a et 2 tu — a, ce qui donnera

2/'tu— oc et 2/i- — a, ou, en groupant ces deux formules,

2X‘T:dra.

Cette formule convient encore au cas où le cosinus donné serait négatif.

17. On voit que la différence de deux arcs compris dans l’une ou dans l’autre de ces formules, et que la somme de deux arcs dont l’un appartient à la première et l’autre à la seconde, sont égales à un nombre pair de demi-circonférences : de là ce théorème :

Pour que deux arcs aient le meme cosinus, il faut et il suffit que leur somme ou leur différence soit un multiple pair de la demi-circonférence. Ainsi a désignant un arc quelconque positif ou négatif, tous les ares qui auront le même cosinus que lui seront donnés par la formule

2/iurh«,

de sorte qu’on a

cos (fUeit ±.rt) — cos a [3] .

Si à un arc quelconque on ajoute une demi-circonférence, le nouvel arc et le précédent se termineront aux extrémités d’un même diamètre, et partant leurs cosinus seront égaux

et de signes contraires ; or, par cette addition , l are 24^:fcrt devient donc on a

cos [(24 -}- 1 )x ± «] = — cos a [4].

48. Les formules [2] et [4] étant vraies, quelle que soit la valeur entière positive ou négative donnée à 4, on pourra y faire 4 = 0, et on en tirera ainsi

sin (tc — a) = sin a , cos (r — a) = — cos«.

Mais les arcs a et (ir — a) sont supplémentaires , et a représente ici un arc positifou négatif d’une grandeur quelconque; donc le théorème que nous n’avions établi à la page 8 que pour des arcs positifs et plus petits qu’une demi-circonférence se trouve avoir maintenant le plus grand degré de généralité.

19. Pour retrouver au besoin le signe que doit porter le second membre dans les formules [1 j, [2], [3] et [4], il n’y aura qu’à faire 4=0 dans le premier, et à voir à quoi il se réduit. Ainsi en supposant4=0 dans l’expression sin[(24-[-1 )rrt«], il vient sin(irrta); mais les deux ares a et (ir différant d’une demi-circonférence, se terminent aux extrémités d’un même diamètre, et ont par conséquent leurs sinus égaux et désignés contraires; ceux des arcs (x — a) et « sont égaux, puisque ces arcs sont supplémentaires; doncsin(irit«)=zp:sinrt, et on retrouve par conséquent la formule

sin [(24 -{- 1 )r. ± a\ = si n a.

20. Les formules [1], [2], [3] et [4] nous montrent que le calcul du sinus ou du cosinus d' un arc quelconque peut toujours se ramener à celui du sinus ou du cosinus cf un arc positif moindre qu’un quadran; car tout arc peut évidemment être considéré comme un multiple de la demi-circonférence, augmenté ou diminué d4un arc plus petit qu’un quadran; de sorte qu’en vertu des formules citées, son sinus ou son cosinus est égal à plus ou à moins le sinus ou le cosinus de cet arc moindre qu’un quadran. Y eut-on , par exemple, le sinus de 1422 degrés : on divisera 1422 par 180, et comme le reste 1 62“ surpasse 90", on forcera l’unité sur le quotient 7, de sorte qu’on aura 1 422"= 1 80°. 8 — 1 8" ; or 1 80°. 8 est un multiple pair de la demi-circonférence; donc sin 1422° = — sin 18".

21. Nous allons maintenant établir les relations qui lient entre elles les diverses lignes trigonométriques d’un même arc. Et d’abord si l’on considère le triangle rectangle OMP, dont les deux côtés de l’angle droit sont le sinus et le cosinus de l’arc quelconque AM = a, on aura

si n’a cos2 a = R*.

Ensuite si l’on observe que les deux triangles OMP et OTA sont semblables , on aura entre leurs côtés homologues la suite de rapports égaux

mp : AT : : op : oa : : om : ot,

ou bien sina : tanga : : cosa ; R : : R : séca.

On tire de la proportion formée par les deux premiers rapports

* sin a

tane«=K ,

° cos«

et de celle que forment les deux derniers

sec a = .

COS fl

Remarquons que ces deux formules donnent les valeurs absolues de tanga et de séca, quels que soient la grandeur et le signe de l’arca, parce que dans les deux triangles rectangles OMP et OAT les angles en O seront toujours égaux, puisque les trois points O, P, A sont constamment en ligne droite, ainsi que les points O, M, T, de sorte que ces triangles ne cesseront pas d’être équiangles.

Nos formules seraient encore vraies , même si les deux triangles OPM et OAT n’existaient plus, ce qui arriverait si l’arc a était un multiple du quadran ; car, si ce multiple est pair, on a

sina = 0, cosa=df R, tanga = 0, séca = d=R, et si a est un multiple impair du quadran , on a sina = dtR, cosa = 0, tan*ga=oo, séca — x *, et ces valeurs vérifieront encore nos formules.

11 n’y a donc plus, pour constater leur généralité, qu’à

* On voit, en effet, que si un arc sc termine en B ou en B', la direction de la sécante , coïncidant avec celle du diamètre BB', est alors parallèle à la tangente TOT', de sorte que ces deux lignes peuvent être considérées comme sè rencontrant à une distance infinie.

ik TBIGONOMÉTBIE.

examiner si les signes des seconds membres s’accordent avec ceux des premiers. Or, si l’on considère la formule

tang« = R on voit que quand l’arc a aura son extré-

mité dans le premier ou dans le troisième quadran, le second membre sera positif comme le premier, et que tous deux seront négatifs , lorsque l’arc n se terminera dans le second ou dans le

quatrième quadran (1 1). Ainsi la formule tang «= R est

vraie dans tous les cas. On en dirait autant de l’équation # R1

sec ci = . .

cosrt

22. Si on applique ces deux formules à l’arc ^ — aj, on trouvera les équations

si„ (* «\

tang (i ce) —R - -,

cos \2 ")

qui reviennent à

n cos n , R*

cotcz=K — , coseca—-. — ,

sina sin a

puisque ^ — u^j est le complément de a. Ces deux dernières

équations ont évidemment le même degré de généralité que celles dont on les a déduites.

23. Si dans l’expression de tang a en fonction de sin a et de cos a, on change a en (I l’rczho ), on trouvera

tang (A'tt ±« j = R -7 —r-\i

1 cos(X-it±«)

mais si k est pair, le second membre de cette équation revient

sec

zh sin a

dtz tan" a: et à R- ‘ " =zttangci, si k est

impair; donc enfin

tang (ÂTî±a)=± tang a [5].

On verra de même que

cot(À'7rr±:a)=±cotci [6],

les signes se correspondant dans les deux membres de cette équation et de la précédente.

Ces deux formules [5] et [G] nous apprennent que pour que deux arcs aient la même tangente ou la meme co tangente ,

il faut et il suffit que leur différence soit un multiple quelconque de la demi-circonférence , puisque l'expression générale fie tous les ares qui ont la même tangente ou la même cotangente que l'arc a est /.--J-a.

24. Si on suppose 4 = 1, et qu’on se borne aux signes inférieurs, il viendra

tang(iî — a)— — tanga, cot (t: — ■a)=— cota.

Donc les tangentes ou les cotangentes de deux arcs supplémentaires sont égales et de signes contraires.

Enfin, on pourra faire sur les formules [5] et [6] les mêmes observations que nous avons faites au n° 20 sur les *• formules [1], [2], [3] et [4].

23. Pour voir comment varient la tangente, la sécante, la cotangente et la cosécante d’un arc quand cet arc varie, on supposera que l’arc a croisse depuis zéro jusqu’à T infini • dans les formules des n"5 21 et 22, et comme les variations correspondantes de sina et de cos a sont connues (13), il sera facile de suivre la marche des seconds membres de ces équations (on fera bien de vérifier les résultats sur la figure).

On formera ainsi le tableau suivant :

a=0, tang77=0, séc7?=R coto = ao, cosécz7=oo .

«augl'<^900, tangTzaug'*, sécoaug1', cotztdimin", cosécoditnin1. a = 45°, tangfl=R, séc77 = Ry'2, cota = lt, cosccti= Ry'2. <7=,90'’, tan g oo , séco=ao, cotn = 0, coséc« = R. flaug"< 180°, tangfldimin*, sec«diinin', cotaaiig", eosécoaug1'. 77=180°, tanga=0, séc7i = — II, cota = oo , cosécf7 = ao. 77augu<270°, tangoatig", sécoaug1', cotodimin’, cosécodimin'. 77=270°, tan g 77= * , scc/7 s=«, cot77 = 0, coséc77= — R.

« au g''<^3G0°, tang77(liinine, sécodimin*, cotTiaug**, cosécoaug**.

77 = 300°, tang7i = 0, scctz = R, rot 77 = oc , coséca = oo.

26. Si, comme on le suppose ordinairement, pour plus de simplicité, les arcs que l’on considère sont décrits avec un rayon égal à l’unité linéaire, les formules trouvées aux n°‘ 21 et 22 deviendront :

tanga=

cota=

sin 77