PAE«6I0N

EPFOETMOTEt'K

fioUemtnt

RAPPORT

du froUement

à Ir

preseioo

ncRÉft

du onotRCt.

kil.

3âS,48

Moyenne

iir

Moyenne

Moyenne générale

Ces expériences monfrentque le froUement au départ est pour ces pierres, à Irés-peu près le même, avec interposition de mortier, que sans mortier.

En résume , les nouvelles épreuves ont fait voir que le frottement, au moment du départ et après une durée trèscourte de contact, est :

1* Proportionnel à la pression

DÜ FROTTEMENT.

2" Indépciidant de l'étendue des surfaces de contact, et que de plus, jK)ur les corps compressibles , il est notablement plus grand que celui qui a lieu pendant le mouvement.

S53. Observation relative à l'expulsion des enduits sous de fortes pressions et par un contact prolongé. — Cependant on a observé que pour les corps métalliques enduits de graisse on d’huile, sous des pressions assez grandes par rapport à l’étendue des surfaces, il arrivait qu’après un contact de quelque durée, les enduits étant expulsés, les surfaces arri-, valent alors à un état simplement onctueux, poim lequel 'le frotlement est plus grand et plus que double de sa valeur dans le cas où les surfaces sont bien graissées. Celte observation explique comment il ' arrive que l’effort nécessaire pour mettre en mouvement certaines machines est, abstraction faite de l’influence'de l'inertie, souvent beaucoup plus considérable que celui qui est nécessaire pour entretenir un mouvement rapide. Cela prouve en passant que pour apprécier expérimentalement les frottements des machines en mouvement il ne faut pas employer les mômes moyens que pour les machines partant du repos, ainsi que le font quelquefois les expérimentateurs.

254. Influence des vibrations' sur le frottement au départ. — Une autre circonstance remarquable que les expériences " de Metz, ont signalée, c’est que, quand un corps compressible est sollicité à glisser, par un effort qui serait capable de vaincre le frotlcnrent pendant le mouvement, mais inférieur au frottement au départ, une simple vibration, produite souvent par une cause extérieure et légère en apparence, peut déterminer le mouvement. Ainsi , pour du bois de chêne frottant sur du chêne, le frottement au départ est 0,680 de la pression, et le frottement pendant le mouvement en est les 0,480; de sorte que pour produire le mont veinent d’im poids de 1000 kilogrammes il faut alors exercer un effort de 680 kilogi ammcs,. taudis qu’il n’en faut qu’un

Oü FROTTEKENT.

de 4RO kilogramiues pour l'entretenir. Cependant, sous un effort égal ou peu supérieur à 480 kilogrammes, et par l’effet d’une vibration, le corps pourrait marcher.

Cette observation importante s’applique aux conslrudions, toujours plus ou moins exposées à des vibrations, et montre que, si dans le calcul des appareils ou macliines destinées à produire le mouvement on doit compter sur la plus grande valeur du frottement, dans ceux qui sont relatifs à la stabilité des constructions on doit au contraire n'introduire que sa plus petite valeur, celle qui a lieu pendant le mouvement.

Elle sert enfin a expliquer comment il arrive quelquefois que des édifices, qui ne donnaient aucune inquiétude sur leur stabilité, s’écroulent tout à coup par le passage d’une voiture, et comment le tir |>ar salves d'une batterie de brôclK; peut, à certains instants, accélérer la chute d’un rempart ou d'un bâtiment.

95JS. Influence, des enduits. — Les enduits gras diminuent oonsidérablement le frottement et l’usure des surfaces , qui en est la conséquence. Mais d’après l’observation que nous avous fade (au n" 250), ou voit que, bien que le frottement soit en lui-même indépendant de l'étendue des surfaces, il convient de proportionner celles-ci aux pressions qu’elles doivent supporter, afin que les enduits ne soient pas expulsés. Il faut aussi remarqncr que toutes les expériences dont il est question Ont été faites sous des pressions plus ou moins considérables, et que les résultats ne doivent s’appliquer qu’à des circonstances analogues. On conçoit en effet que , si les pressions étaient tellement grandes, par rapport aux surfaces, qu’il en résultât uno dégradation notable, l’étal des surfaces, et par conséquent le frottement, varierait; ou . .

que, si an contraire les surfaces étaient grandes et les pressions très-faibles, la viscosité des enduits, négligeable dans tous les cas ordinaires, pourrait alors exercer une influence sensible. . ,

< -Il faut rem irquer qu’en général, et surtout pour les mé-

DU FROTTEMENT

LlnXi^l'cau pure est un mauvais eiuluit, et que parfois die augmente plutôt quVUe ne diminue le frottement.

Iî5t». .4dAeVenfe </« mortien et enduits solidifiés. — Mais lorsque le mortier a pris et que la dessiccation a atteint le «legré convenable, il n’en est plus de môme; l’ adhésion, la cohésion, remplacent le froUemenl, et la résistance à la séparation devient sensiblement proportionnelle à l’étendue de la surface de contact et indépendante , au contraire, de la pression exercée, §oit an moment de la pose, soit .’k celui de la séparation.

Pour les pierres calcaiies scellées avec du morlici- de chaux hydraulique de Metz, la résistance est d'environ 10307 kilogrammes par mètre, carré de superficie. Avec d'autres chaux, sans doute grasses ou ordinaires, H. Boistard, ingénieur des ponts et chaussées, a trouvé 0960 kilogrammes. Avec du plâtre la résistance parait encore suivre la même loi; mais elle varie considérablement avec l'instant de la prise du plAtre, qui parait exercer une grande influence sur la cohésion.

257. Observation s«r l'introduction du frottement et de la cohésion dans les calculs sur la stabilité des constructions. — Enfin on remarquera que le frottement ne peut, dans le cas des scellements en mortier ou en plâtre, se manifester qu'après que la cohésion ou l’adhérence a été vaincue, et que par conséquent ces deux résistances ne coexistent pas. Dans les calculs relatifs à la stabilité des constructions, on doit donc ne compter que sur l'une d’elles et sur la plus, faible.

. 258. Expérimees sur le frottement pendant le ehoc. — D’après les notions générales que nous avons exposas sur le mode d’action des forces, sur les efforts de compre.ssion, qui se développent pendant le choc, et la vérification que nous avons faite aiux n** 68 et 67 des conséquences que l’on tire do ces notions , l’on serait certainement bien autorisé

J76 • DU FROTTEMENT, ' '

à conclure que les efforts qui se produisent pendant le choc donnent lieu à des flottements qui suivent exactement les HiOmcs lois que dans les cas ordinaires. C’est d’aillcnrs ce. qui était expressément admis par rillustro M, Poisson, qui, dans la deuxième édition de son Traité de mécanique, n® 475, ' s’exprimait en ces termes : « Quoiqu'il n’ait pas été fait d’observations sur l’intensité du frottement qui a lieu pendant le choc, on peut supposer, par induction, qu’il suit les lois générales du frolicment des coqis soumis à des pressions proprement dites, puisque la percussion n’est autre chose qu'une pression d’une très-grande intensité, exercée pendant un temps très-court. •

C’est pour vérifier par l'observation directe l’exactitude de cette appréciation sur le frottement pendant le choc , et sur l’invitation expresse de M. Poisson , que j’ai entrepris plusieurs séries d’expériences, en choisissant pour les faire, le cas où des bandes de foule glissaient sur des barres de fonte enduites de saindoux, attendu que c’est l’un de ceux qui avaient été étudiés avec le plus de soin dans mes précédentes expériences, et l’un des plus fréquents dans la pratique. • . ,

aSO. Description de l’appareil employé aux expériences. —

L’appareil que j’ai employé ne diffère de celui qui a été sommairement décrit au n” 225, que par la disiK>sition suivante, nécessaire pour suspendre au traîneau , à une hauteur voulue, le coi-ps destiné à produire le choc et ù le laisser tomber à volonté pendant le mouvement.

Sur les côtés de la caisse du tialneau s’élevaient deux couples de montants verti-

DU FROTTEMENT. 277

eaux en sapin ab cl a b', i>crcés de lrou.s espact's de 0*',0.') en 0"’,0i>, à travers lcs(|iiels pass^dent deux chevilles en fer sur lesquelles s'appuyait de part et d'autre une traverse mobile cd en chône. En remontant ou en abaissant les chevilles, l'on pouvait faire varier à volonté la hauteur de la traverse ed au-dessus du traîneau. Une vis e avec rosette et écrou à oreilles passait librement ii travers un trou pratiqué au milieu de la traverse et soutenait une tenaille en écrevisse avec branches à anneaux , à laquelle on suspendait une bombe formant le corps choquant. Les deux branches de cette tenaille étaient liées avec des brins de mèche à étoupilles qui les tenaient fermées. A l’aide de la vis a Pon pouvait exactement régler la hauteur de chute du corp.s aü-dessu3 de la surface choquée.

On conçoit facilement, d'après cette description, que la caisse et le dispositif faisant corps avec le traîneau, tout le système se mettait en marche d'un mouvement commun, et que si, à un instant quelconque de la course, la bombe - tombait sur le traîneau, elle y arrivait avec une vitesse verticàle'duc à la hauteur de la chute, et avec une vitesse horizontale, qui , ainsi qu'on le verra plus loin , était sensiblement la même que celle de ce traîneau. Au moyen de la ligature des branches de la tenaille avec de la mèche à étoupîtlcs, on obtenait sans secousse extérieure et sans ébranle- , ment la chute de la bombe. A cet effet, un homme inctfait le fieu à un bout libre de celle étoupille et doiinail le signal du départ du traîneau : la combustion se communiquait à la partie supérieure que retenait la tenaille fermée; celle-ci s’ouvrait brusquement et lâchait la bombe sans que rien pût, dans cette opération , altérer le mouvement commun au système des deux corps.

840. Circonstances générales des expériences. — Les expériences ont été faites en imprimant au traîneau tantôt un mouvement uniforme, tantôt un mouvement accéléré : on obtenait à volonté le premier de ces mouvements en ne

DU rHOTTKMBIIT.

dAntumt à In cnissn desceiidnnte ()iie le poids néeefiiuiire pour vnincrn le froltement el en suspendant sous cette ' caisse une bombe dn poids de 50 kilogrammes, qui pe de«> cendait que de 0”,60, el cessait ensuite d’agir, ainsi qu'il a ' été expliqué au n* 97 du second Mémoire. Qiutnt au tnouveinent accéléré, il se produisait toutes les fois que le'poids' moteur surpassait le frottement. La loi de ces mouvements était d'ailleurs déterminée , dans chaque cas , à l'aide des courbes tracées par le style de notre appareil chronométrique.

241 . Examen général de ce qui se passe dans les expériences.

• — On volt aisément, d’après ce qui précède, ce qui se passait pendant les expériences; prenons en efTet pour exemple un cas où le système du traîneau el de la bombe suspendue au-dessus de ce corps était anime d'un mouvement uniforme. A l'instant où la combustion de l'éloupille qui retenait les branches de la tenaille leur pcrmellail de s'écarter, la bombe devenait libre et tombait en vertu de son poids; pendant qu’elle descendait et jusqu’au moment où elle atteignait le traîneau, celui-ci se trouvait déchargé du poids de la bombe et acquérait une quantité de mouvement précisément égale à celle que le frottement dû à ce poids aurait consommée. La vitesse horizontale du Iraineau à l’instant où le choc commençait était donc un peu plus grande que celle de la bombe. Passé cette époque, les forces de compression développées par le choc produisaient un frottement variable comme elles à chaque instant, et qui consommait une certaine quantité de mouvement; de sorte que le traîneau , dont h» marche s’accélérait pendant la chute de la bombe était ensuite retardé pendant l’acte du choc.

242 . Formules employées au calcul des expériences. — Comme il s’agissait de vérifier si le frottement reste proportionnel aux pressions variables qui se produisent pendant la durée tràs-courte du phénomène, nous allons établir les

DC fROTTEMEKT.’

fcirmulM qui sont rcintives à cette hypothèae , et nous les comparerons ensuite aux résuttats de l’expérience. Considérons d’abord le cas d'un mouvement uniforme et appelons ;

Q le poids du traîneau et de l’appareil de suspension de la bombe ;

q le poids de la bombe qui produit le choc;

f le rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact ;

h la hauteur de chute de la bombe au-dessus du traîneau,

U la vitesse due à cette hauteur;

T le temps de la chute ;

V la vitesse horizontale du traîneau et de la bombe , à l’instant où celle-ci est lAchée par la tenaille;

V' la vitesse de ces corps après le choc;

Au moment où la bombe devient libre, la quantité de mouvement possédée par le système est . • '

Le poids de la bombe, quand elle est liée au traîneau; produit un frottement fq qui, ilans chaque élément de temps t, consomme une quantité de mouvement f.qt, et qui, pendant la durée de la chute, en consommerait la quantité fql.

Mais puisiju’au contraire la bombe cesse de presser sur le traîneau pendant ce temps, il s’ensuit que la cpianlité de mouvement gagnée par le sjstème, par suite de cette diminution de pression pendant le temps T de la chute, est précisément fql.

A l'instant où la bombe atteint le traîneau, la quantité de mouvement possédée par le système est donc

f/îT.

S80 DU FROTTEMENT

A partir île cet instant et pendant toute la durde du choc, la bombe. perd dans cliaque élément de temps un élément

de vitesse, et par suite une quantité de mouvement

d’où résidle une force de compression "Xj» produisant un frottement —.7. Ce frottement consomme dans l’élé-

ment de temps une quantité de mouvement et quand

tout mouvement relatif dans le sens vertical est détruit, ce frottement, dû aux forces de compression, a finalement

consommé une quantité de mouvement égale ^

Par conséquent, lorsque le choc est terminé, on doit avoir entre les quantités de mouvement la relation

ou %T — /•yU = (Q+<7)(V'— V).

Or, la bombe, tombant d’un mouvement uniformément accéléré, en vertu de la pesanteur, on a évidemment ü = <7T, d'où il résulte que V =V'; c’est-à-dire que dans notre appareil la quantité de mouvement détruite par te frottement résultant des forces de compression doit être précisément égale à celle qu’il gagne pendant la chute de la bombe.

Ces deux cITets sont successifs, mais ils se passent tons deux dans un intervalle de temps très-court, et ne doivent par conséquent occasionner dans la courbe du mouvement que des ondulations en sens contraires qui n'altèrent |>as la loi générale, et qui doivent être à peine sensibles, soit dans la courbe minute, soit dans la courbe qui résulte du relèvement.

^ Siô. L'aecélcration du mouvement du Iratnem pendant la

Dioiti^îr;

f Googk

DU FROTTEMENT

rkvte de ta bombe peut être négligée. — 11 esl facile de s’assurer à priori que l’accélération de la vitesse du traîneau pendant la chute de la bombe était toujours très-faible dans nos expériences, quoique la hauteur de chute ait élé portée jus<|u’à 0“,60. On remarquera, en effet, qu'aprës ce que l’on a dit plus haut en nommant V, la vitesse horizontale du traîneau " au moment où la bombe l’atteint, l’on aura

d’où V.V=M=^.

En ÿ faisant, par exemple,

ÿ = 50kil. A — O* ,60,

dWi l! = 4”,21, Q=267‘»,84, f=Qfi7\,

ce qui se rapporte à l’un des chocs les plus intenses que nous ayons produits dans nos expériences, on trouve

Or le choc de la bombe dans le sens horizontal n'ayant lieu qu’en vertu de cette différence de vitesse , on voit que son effet sur le mouvement général doit être tout à fait insensible, et qu’on peut, ainsi que nous l’avons fait dans le calcul précédent, en négliger l’influence sur le mouvement général du traîneau.

844. Cas où le mouvement du traîneau est accéléré. — Le misonnement qui précède s’appliquerait de la même manière au cas où le système de la lx>mbe et du traîneau serait animé d’un mouvement accéléré, et il en résulterait que si, comme nous l’avons admis, le frottement pendant le choc reste proportionnel à la pression , lo loi générale du mouvement de notre appareil ne doit {tas être troublée, ou, en d’autres termes , que si , avant la chnte de la bombe, le mouvement était uniforme ou accéléré, suivant une certaine

DU FROTTEMENT

loi, il le sera encore après le choc, suivant la même loi. La • seule perturbation qui pourra en résulter sera manifestée parfois par des ondulations qui , dans la plupart des cas, ' , devront être h peine sensibles.

- La dureté ou la compressibilité du corps en contact ne devra d’, ailleurs avoir aucune influence sur le résultat , et en faisant tomber la bombe sur les madriers de hêtre qui formaient le traîneau ou sur une masse de terre glaise molle posée sur ce traîneau, on devra, pour des circonstances égales d’ailleurs , trouver la même loi de mouvement, et cette loi de mouvement sera la même que s’il n'y avait pas eu de choc.

24tl. Résultatn d<$ mpériences. — 11 nous reste maintenant h comparer ces conséquences avec les résultats des expériences qui ont été exécutées, les unes quand le traîneau était animé d'un mouvement uniforme, les autres quand son mouvement était accéléré. Dans ces expériences,

’ l’on a fait varier le poids des sphères choquantes depuis 1 1*“,99 jusqu’à 50 kilogrammes, ou de 1 à 4 environ, le rapport du poids du corps choquant à celui du corps choqué de -jL à i, les hauteurs de chute de 0“,10 à 0™,y 0 ou de 1 à 7.

L’on a produit le choc sur du bois et sur de la terre glaise, posés sur le traîneau. Si donc les lois que l’on a admises dans les formules précédentes sont vérifiées par l’expérience entre des limites étendues, on pourra, je pense, en conclure qu’elles subsistent pour les pressions développées pendant le choc, comme pour les autres.

Pour abréger, je ne rapporterai ici que les expériences Ibites dans le cas du mouvement uniforme, lorsque le choc avait lieu sur du bois et sur de la terre glaise. I.æs expériences faites avec des poids moteurs qui produisaient un mouvement accéléré ont conduit à des conséquences analogues : L’accélération produite ayant toujours été sensiblement la même daus les cas où il y avait un choc que dans ceux où il n’y en avait pas. ,

^x^riences sur le frottement de la fonte en mouvement sur la fonte, avec enduit de saindoux pendant le choe.

Suta. Le choc e&l produit par la chule d’une sphère en fonte qui tombe sur des roadrien de hêtre pendant que le système glissait d’un mouyement unifonne.

»ü FROTTRMKlfT. 8*8

D^'-ibyCoogU

Expériences sur U fi^tément de la fonte m mouvement sur ta fonte, avec enduit de saindoux, pendant teekoe. Kota. Le choc eM' prodait par I» chute d'une sphère en fonte qui tombe sur une masse de terre glaise, pendant

a^eodecboc.

DU FROTTEMENT

L’on voit par cçs tableaux que la vitesse du mouvement uuit'unnc a été la même dans les expériences où il n’y a ' l>as eu de clioc et dans celles où il y en a eu , et cela quelle qu'ait été la hauteur de la chute. Cette vitesse n’a dépendu dans tous les cas que de la char$çe ou pression totale du poids moteur et de l'état des surfaces.

L’examen des courbes du mouvement montre par les vibrations produites par le choc dans tout l’appareil et qui sc faisaient sentir jusqu’au style, en quel endroit ce choc s’est produit, et soit qu’il ait eu lieu dans la période de la course où le mouveuient était déjù devenu uniforme, ou dans celle ■ où le mouvement était eticoïc accéléré, 1a com'bc minute, et la courbe relevée offrent à {>eine quelques légères ondulations', et le inouvement reste ou devient uniforme ù la même vitesse.

En résumé, ces expériences montrent que dans le choc , les trottemenls dus aux pressions qui se développent sont ■ encore proportionnels à ces pressions et indépendants de la vitesse.

1M6. De la transmission du mouvement à l’aide de courroies.

— La théorie de la transmission du mouvement à l’aide de ■ cordes ou courroies sans fin est fondée sur deux théorèmes. Le premier, dû à M. de Prony; relatif au glisse- » ment d’une corde ou d’une courroie sur la surface d’im cylindre on d’un tambour; le second, dû à M. Poncelet, se l’apporte h la variation de tension des deux brins des cordes ou courroies sans fin, employées dans ces transmissions. Je me suis proposé de vérifier par des expériences spéciales les conséquences de ces deux théorèmes et je vais faire connaître succinctement les résultats de ces recherches.

947. Glissement des cordes ou courroies sur des cylindres. — Exposons d’abord le premier de ces théorèmes , et considérons une corde ou courroie enveloppant une portion quelconque de la surface d’un cylindre, et sollicitée à une extrémité par une puissance P , et à l’anh'C par une résistance Q. Il

DB FROTTEMENT

est clnir que . pour produire le glisseinent de la rordc, la ]>nissance P devra être égale à la résistance Q , augmentée de la résistance opposée par le froUemcnl de la corde à la surface du cylindre, Cherchons donc fi déterminer ce frol^ ' ‘ tement. ’ ‘ 1. ‘ -

A cel effet, considérons deux éléments conséculiis ab et be de la corde enroulée , el nommons :

T la tension de la corde dans l’élément né. - • , . ^

' T' la tension de la corde dans l’élément be.- ' - '

Il est clair que la tension T’ surpasse la tension T d’une

quantité infiniment petite t, qui est précisément la mesure

de la résislanco opposée parle frotternciil; on a donc

cl en passant d’un élément à l’autre, depuis le point «de contact de la direction nP, où T = P, jusqu’au point m de

contact de la direction mQj où T = Q , la somme de tous les ac- , croisscmenls de tension produits par le frottement au moment du glissement donnera la tension .

totale.

Le frottement ou l’accroisse- ' ment élémentaire de tension t, de l’élément ab à l’élément bc, est produit par la pression qui résulte de la composante de la tension T', normale à la surface , laquelle est T' sin a, eu nommant a l’angle infiniment petit de contingence des deux éléments ab cl bc, ou simplement Ta , attendu que T diffère infiniment peu de T', et sin a de a ; on a donc

/'étant le ra|>port du frottement à la pression.

La somme de tous ces accroissements de tension, pi is<. depuis le point m, où T es Q , jusqu’au point n , où T » P ,

Digiti/i ri by Coogic

DU FftOTTBMENT.

coiiüutt, d’après les règles de l’aBalyse, qu'il u’y a pus lieu de présenter ici , à la formule

JogP=logU-fO,434/^g, ou I‘:?=ü.2,718 *.

S étant la longueur totale de l’are embrassé par la corde. ..

• L’on voit paj- celte expression que la tension de la puis- ■ sance motrice croit depuis P = Q , correspondant à S = 0 , • . '

proportionnellement à l’ouverture de l’angle jj, embrassé

par Ja.corde, et non à l’étendue absolue de cet arc; ce qui montre que, d’après les considérations théoriques, il im- - porte peu d’augmenter le diamètre du cylindre pour accroi- tre le frottement de glissement des cordes ou courroies, mais qu’il suffit de rendre plus grande la partie proportionaielle de leur circonférence qui est entourée.

La formule précédente est rclati\e au cas où la puissance P doit entraîner la résistance 0, cl par conséquent vaincre en outre le frottement de la corde ou de la courroie sur le ■ tambour. Dans celui qui se présente fréquemment, et où la force P devrait céder à l aclion de la force ou du poids U, en modérant son action, ou y résister tout à fait, ainsi que cela arrive quand il s’agit de laisser descendre un fardeau, ' le frottement agit en faveur de la force P, et l’on a

log P = log Q — 0,434 /■. ü ou P = — ^ .

Telles sont les relations qu’indique la théorie., entre les forces P et Q , Tare embrassé , le rayon du tambour et le coefficient f du frottement. 11 nous reste à déterminer par l’expérience l’exactitude de ces relations.

1140. Expériences sur le glissement des cordes et des courroies à la surface des tambours en bois et des poulies en fonte. — A ccl eCfct, j’ui employé trois tambours en bois, des diamètres de 0*',836, 0~,408et6",100, en les plaçant horizontalemeut

288 Di; FROTTEME^T. . .

dans une position fixe, de manière qu'ils ne puissént pas tourner, et l’on passait dessus une courroie en cuir ndir corroyé, à peu près neuve , mais ayant déjà acquis de la souplesse par un usage précédent. Sa largeur étant de 0",050 sur une épaisseur de 0",0053; sa roideur a paru d'ailleurs ' assez faible pour qu’il fût permis de la négliger par rapport ; au frotlemcnt de glissement sur la surface du tambour. I.es deux brins de la courroie également répartis de chaque côté du tambour pendaient verticalement, et à chacun d’eux était attaché un plateau de balance destiné à recevoir des poids. La courroie pesait 2‘‘‘,295, chaque plateau de balance ()'■'’, 229; par conséquent, le poids de chaque brin, de longueur égale, était avec son plateau de 1^“,376. L’arc embrassé' était égal à la demi-circonférence. L’on mctüiit d’abord dans chacun des plateaux des poids égaux , puis on '-ajoutait graduellement à l’un d’eux, et peu à peu, les poids nécessaires pour faire glisser la courroie sur le tambour.

L’on voit d’après cela que la tension Q du brin montant était égale à 1“’,376, plus le poids contenu dans le plateau correspondant, et que la tension P du brin descendant était égale à Q, augmenté du poids ajouté, en sus de la charge primitive. . •

J ' Cela posé, la formule précédente devioni

log P =!! log Q -f 0,434 A ^ = log Q 0,434 3, 14 16 ,

d’où l’on lire f= • 0 = IggP-logQ ;

aouionure .

Eu introduisant dans cette formule les valeurs de P et de Q, fournies par l’expérience, on a pu calculer les différentes valeurs du rapport f do frottement à la pression et s’assurer ainsi qu’elles confirment les conséquences théoriques que ' nous venons de développer.

Ï40. Résultats d'expériences. — Les deux tableaux suivants contiennent les résultats des expériences. '

DU FROTTEMENT. 289

Expériences sur le frottement des courroies sur des tambours . en bois.

tARCSOK

ÉTAT

do U

del*

courroie.

courroie. :

DIAMtTIlK I *-0»ei'SUR

RAPPORT

TtNMOM DC BRLX

frotteiDent

ntODianl, dctceodanl

pression ,

Sèche, un peu onrtueiise.

Moyenne.

Sèche, un peu onctueuse.

Moyenne.

Très- I sèche el rude.

Moyenne.

Moyenne générale..

DU FROTTEMETT.

Oti voit j)ar ces résultats d’expériences dans lesquelles l’arc embrassé a varié dans les rapports de 8,3 à l environ, et où les tensions ont atteint à peu près les limites de celles qu'on donne aux courroies de mécanique, que la valeur du rapport f du frottement à la pression est restée à très-peu près constante.

Les trois premières séries du premier tableau confirment pleinement les considérations théoriques. La quatrième série est relative à une courroie tout à fait neuve et trèsroidc , et c’est à cette circonstance que l’on peut attribuer l’accroissement assez faible de la valeur moyenne qu’elle a fournie. Cette courroie n’ayant d'ailleurs que0“,028 de largeur, ou environ la moitié de la précédente, on voit que cette dernière série confirme, quant aux courroies, la loi de l’indépendance des surfaces.

Dans les expériences dn deuxième tableau , l'étendue de l'arc embrassé a varié dans le rapport de 6 :i l, la largeur de courroie pressée sur la poulie dans celui de 2 à 1 , les tensions dans ceux de 1 à 3 et de 1 à 6 , et cependant la valeur dn rapport f du frottement à la pression est restée sensiblement constante, et moyennement égale, pour la courroie sèche et les poulies sèches , à

Lorsque la poulie, était mouillée d’eau, l'on a eu /*= 0,377.

2S0. Conclusions. — En récapitulant les résultats de ces deux séries d’expériences sur le frottement des courroies sur des tambours en bois ou sur des poulies en fonte, on voit que l'on est autorisé à admettre que le rapport de cette résistance à la pression est :

1° Indépendant de la largeur de la courroie et de la longueur développée de l’arc embrassé ou du diamètre des tambours, ou, ce qui revient au même, indépendant de l’étendue de la surface de contact ;

2* rroportionncl à l'angle sous-tendu par la courroie à la surface du tambour ;

DU FROTTEMENT

3® Proportionnel au logarilhnic «lu rai)|!Oil des tcnsion& des brins , et cxi)rinié par la formule

fittl . Expériences sur la variation de tension des cordes ou courroies sans fin , employées à transmettre le mouvement. — Passons maintenant à la vérification experimentale de la théorie donnée par M. Poncelet, pour la Iransinission du mouvement par des cordes ou des courroies sans fin , et disons d’abord en quoi elle consiste.

Lorsqu’une cordc ou une courroie entoure deux poulies ou tambours entre lesquels elle doit établir

Fig. M.

une solidarité de mouvement, l’on a soin de lui donner une tension suffisante, que l'on détermine le plus ordinairement pai‘ l&lonnement, mais qu il est cependant préférable de calculer comme on le verra plus loin. Celle tension primitive est à l’origine la même dans les deux brins , et cette égalité qui se rétablit au repos, n’est troublée que par l'inlluencc du frotleinent des axes qui ont élé mis en jeu, et qui , selon le sens dans lequel a lieu le mouvcineni, au moment

de l’arrêt de la machine, agissent dans un sens ou dans

l’autre.

Cela dit, examinons comment le mouvement se transmet dans un pareil système ; soient :

C le tambour moteur,

C' le tambour conduit,

Tl la tension primitivecominune aux deux brins AA'etBB' de la courroie au moinent où le tambour C commence à tourner et jusqu’à ce qu’il ail entraiiié le tambour C’.

Le point A du coiituct primitif du brin ÂA', marchant en s’éloignant du imint A' dans le sens de la flèche, le brin AA'

DI’ FROTTF.MKNT.

s'alionfïf', ol sa lonsinii aiiRiiifiilo tl’uno qinniili' proporlionnt'llo à rel allongomonl , siiivant une loi fjonéralc vériliéo par les expériences sur la Iraclion’. En même temps le point B de contact du brin BB' sc rapproche de la même quantité du point B', de sorte que le brin BB' se raccourcit précisément d’une quantité égale à celle dont le brin AA' s’est allongé, et la tension de ce même brin BB' diminue en conséquence d'une quantité égale à celle dont la tension du brin AA' a augmenté. Si donc l’on appelle ;

T la tension du brin conducteur AA' à un instant quelconque de la mise en mouvement.

T' la tension du brin conduit BB'.

t la quantité dont la tension primitive T| s’accroît dans le brin AA', et diminue dans le brin BB', on aura

T=T,-}-<, et T' = T, — t, et par conséquent

ainsi à un instant quelconque la somme des deux tensions T et T' est constante et égale au double de la tension primitive.

Maintenant il est clair que par rapport ou tambour conduit C, la puissance motrice est la tension T, et que la tension T' agit comme une résistance avec le même bras de levier , de sorte que le mouvement n’est produit et entretenu qu’à l’aide de l'excès T — T' de la première sur la seconde de ces tensions.

Si la machine est, par excn)ple, destinée à soulever nu fardeau 0 agissant à la circonférence d’un treuil de rayon IV, il est facile de voir, d'après lu théorie des moments, qu'à un instant quelconque du mouvement uniforme de la machine, on devra avoir la relation

(T— T')R = QIV-f ANf,

N étant la pression sur les tourillons, et r leur rayon.

* Voir les leçons sur la RMsIonrt det malrriaur.

2'Ji Dü FnOTTEMENT.

Cflte pression esl d'ailleurs facile fi d^lerminer, car en appelant

a l’angle formé par les directions AA' et BB' des courroies avec la ligne des centres (X', , . .

M le poids du tambour, on voit immédiatement que

N=v^fM-j-Q-|-(T — T')sin ot*-l-fT-|-T')*C 08 *a .

expression qui, d'après le théorème d’algèbre de M. Poncelet, .cité au n* SS7 a pour valeur exacte à 3 ^ près, quand le premier terme sous le radical est plus grand que le second,

N = 0,96iM-fQ-(-(T— T')sina|-|-0,4(T + T') cos o;

à l'aide de c.ette valeur de N qu'on introduirait dans la formule d’égalité des moments, l’on aurait une relation qui ne contiendrait que les valeurs de la résistance Q et des tensions. Mais comme elle serait un peu compliquée pour les applications, l’on peut remarquer que dans la plupart des cas, l’influence des ten.sions T et T' sur les frottement» sera assez faible pour pouvoir être négligée , au moins dans une première approximation : on procédera donc ainsi qu’il suit :

On négligera d’abord l’influence des tensions sur les frottements et l’on aura simplement, dans le cas actuel ,

et par suite (T— T')R = QR'-l-/'(M-f U)r d’où l’on tirera

T ^, Q{W+r^+r.Mr ^^

ce qui fournira une première valeur de la différence des tensions, qui est la puissance motrice de l’appareil.

Mais cela ne sufflt pas pour connaître ces tensions, et il faut déterminer la tension primitive T , de telle façon que dans aucun cas la courroie ne puisse glisser.

ou FROTTEMENT. 803

D’après le théorème de M. de Prony, l'on n au moment du glissement entre la tension T et T' la relation