P . P/(2C — 2/)« /EI"^ 8EI
On voit d'ailleurs facilement, par Texamen de l'équation d'équilibre, que cette répartition de la charge est beaucoup plus favorable à la solidité que si cette charge 2P agissait au milieu de la pièce : aussi cette disposition est-elle fort en usage pour les arbres des roues hydrauliques.
267, Cas ou l'on veut tenir compte du poids du solide ou d'une charge uniformément répartie. — Dans ce cas, il est facile de voir que l'on a
et pour la relation d'équilibre en une section quelconque IK, située entre les points Ai et Ai ,
^=^=FX-P(X-/)-^*=PI+Ç(2C-X).
, La valeur du maximum du second membre correspondant évidemment au milieu de la longueur de l'arbre, il est clair que la section dangereuse se trouve en cet endroit. On a donc pour cette section
X=C et ?Î=5.;=K+PC«
Telle est la formule à appliquer aux arbres dés roues hydrauliques, si Ton veut tenir compte de leur poids propre.'
294 troisiâhe paktie.
5168. Aotres applications relatives aux arbres des roues HYDRAULIQUES. — Les Toues hydraulîques sont ordinairement composées de fermes ou systèmes de bras qui supportent les aubes ou les augets sur lesquels agit Teau. Les fermes, habituellement au nombre de deux» trois ou quatre au plus, ne sont pas toujours réparties, sur la longueur de Tarbre, symétriquement par rapport aux points d'appui. Les considérations générales du n*" 264 s'appliquent facilement à ces divers cas; mais il ne sera pas inutile de montrer directement quelle est la conséquence de ce mode de répartition des ferme^.
l"" Cas où la charge est répartie par parties égales en deux points Al et Ai (pi. III, âg. SI) situés à des distances l et V des appuis A et B.
On a d'abord pour les pressions F et P' sur les appuis : ^^■^ 20 ~ 2C
. ^,pc(2C-^r)+pt p.2C-P(r->0,
Cl ET— 2C — 2C '
puis, pour la relation d'équilibre d'une section quelconque IK située en Ai et At , à la distance X du point d'appui B , on a
?î=5J=F'X— P(X— r)=(P"— P)X + Pi',
en remarquant que, d'après la valeur ci«-dessus de P\ on a
Or si Ton a I^>P, ce qui suppose l>l\ le point dangereux sera en Ai.
Si l'on aF<P, ce qui suppose I<r, le point dangereux sera en At.
Dans le premier cas, X=2G-^2, çt l'équation d'équilibre permanent devient
Dans le d^ixième cas, X = l\jd\ Ton a
Pour assurer la stabilité de la construction, 11 sufOra donc de
calculer la yaleur des seconds membres de ces relations, et
RI d'égaler le premier membre —r à la plus grande des deux.
; 2* Ca§ où la charge 2P est répartie par parties égales sur trois points d'appui équidistants.
En coliserYant les notations du n* 264» et y faisant
op
P, = P,=P, = -f , on a d'abord
p,2P(^+PV+py . ^2P(r,+f«+r«)/
*^— 3 2G ^ ^~z it! ^
pois, pour la relation d'équilibre d'une section IK située entre Al et Afl, & la distance X du point d'appui B »
^=^=(F'|P)X+fP(r,+ri)^
Si Ton aP'>4P, ce qui revient à ?! + rt + ''«>^C, le point dangereux sera en Ai et correspondra à X= Ti. On a alors pour la relation d'équilibre :
où, à cause de ^i+^±iî=r, et de r,— r,=r, — r,=d, en appelant d la distance des fermes, il vient
5î=^=ÎW-2Pd.
Si, au contraire, l'on a F<^P, ce qui retient à
296 TROISIElfE PARTIE.
l\ + /'t + ^i<^C, le point dangereux sera en Ai et correspondra à X = Tt, et, par suite
£t enfin, si Ton considère le troisième point d'appui À^, on aura pour l'équilibre en cet endroit :
On calculera la valeur de chacun des seconds membres des relations ci-dessus, et on adoptera la plus grande pour la valeur
de -T«
On procéderait de même po\ir le cas où la charge serait ré> partie par portions égales sur quatre points d'appui.
260. Solide posé sur un appui et encastré a l'autre extrémité , et soumis a une charge P agissant en un point
QUELCONQUE DE SA LONGUEUR. — Si l'OU UOmme (pi. III, fig. 31)
toujours G la distance de l'appui à l'encastrement, G' le bras de levier de la charge P, D la distance horizontale de la direction de la charge P à l'appui, la réaction Q' exercée par l'appui sera, d'après des considérations développées par M. Navier, et qui ne sont pas de nature à être reproduites ici *t
C^3C-C0 qui, pour le cas où G' =iC, se réduit à
et a été vérifiée, au moyen d'expériences, par feu M. Guillebon^ ingénieur des ponts et chaussées, ce qui nous permet de l'admettre sans démonstration.
Leponi tur Vapplicatùm de la mécanique, par Narier, 1^ part. , p. 23â.
On remarquera que <]ans cette expression on a toujours
C'<G, et par suite, Q'<P.
La résbtance de l'appui pourra donc être regardée comme une force agissant de bas en haut , de sorte que Texamen de ce cas rentrera dans celui d'un solide encastré soumis à l'action de deux forces agissant en sens contraire, qui a été traité au n"" iUUt. On aura donc encore, d'après la notation ci-dessus, et en considérant une section quelconque IK du solide située k une distance X du point d*appui, pour l'équation qui exprimera l'équilibre entre les résistances moléculaires et les forces extérieures, l'expression
5f=(yx P(X^D)=(û;«-P)X + PD,
dont la valeur maximum correspond évidemment à X = G.
Ici, comme au n° 255, on trouvera la position du point d'in-
RI El 1
flexion en supposant -r = — =0, ce qui correspond à - = 0^
ou à une courbure nulle, et donne d'abord, pour déterminer ce
point,
y PD 2C«D
P— Q'"'2G«— ac^c + G'»' en substituant pour Q' sa valeur absolue,
p G^(3G — GQ
La flexion allant en augmentant à partir de ce point jusqu'à la section d'encastrement d'une part, et de l'autre jusque vers le point qui repose sur l'appui, on aura pour la première partie, en faisant X = G,
et pour la deuxième partie, la flexion maximum correspondra évidemment à X = D , ce qui donne
S98 TROISIÂXC PARTIE.
On derra donc calculer ces deux yaleurs, et prendre la (dos
RI grande pour celle qu'il convient d'adopter pour déterminer -y.
Oa substituera d'aiUenrs à Q' sa Talear absolue, indiquée ddessas.
Si^ outre la charge P, le solide était soumis à une cbarge uni* fonnément répartie pG, on aurait, pour la condition d'équilibre entre les forces extérieures et les résistances moléculaires, la relation
ou W^p^j jj^^pXj Q^^
dans laquelle
expression iaos laqneBe, C étant toajoors plus petit qoe G, on aQ'<P.
On trouverait encore, pour la position du point d'inflexion, la condition
<l'où X*+^^^~^^X + 2PD=0.
d'où
mé,^.
Mais comme on a Q' <P, et que X ne saurait être négatif
pour la solution de la question, on se bornera à la valeur positive du radical.
On trouvera évidemment qu'en partant du point d'inflexion
RI
et en allant vers l'encastrement, la plus grande valeur de -^
correspond à X = G^ ce qui donne
^? = QC-P(C-D)^
FLEXIOll. S99
et qu'en allant da même point vers le point d'appui, le maxi-^
RI mnm de -r répond à X =£, ce qui donne
On choisira la plus grande des deux valeurs pour servir à la détermination des dimensions de la pièce.
Hais si Ton remarque que dans l'un et dans Tautre des cas que Ton vient d'examiner, on a Û'<P, on voit que, lorsque G' différera peu de G, et sera, par exemple, égal à |G, on aura
On poonra donc avec sécurité calculer les dimmskin» dans l'hypothèse de Q'ssPy ce qui simplifie beaucoup les formules, et donne
