RÉSISTANCE DES CYLINDRES A LA RUPTURE PAR l'EFFET
d'une PRESSION INTÉRIEURE. — LoTsqu'un Cylindre est soumis intérieurement à une pression qui tend à le faire augmenter de diamètre ou à le faire éclater, et que d'ailleurs il a la même épaisseur dans toute l'étendue d'une même section faite suivant son axe, il est facile d'établir la relation d'équilibre entre les forces extérieures et les résistances moléculaires. Soient en effet ;
P la pression par mètre carré, qui s'exerce de dedans en dehors à l'intérieur du cylindre ;
D' le diamètre extérieur ;
D" le diamètre intérieur;
Br la résistance du métal à la rupture, qui tend à se faire ici par extension, rapportée au mètre carré.
Il est facile de voir (pi. I, flg. 6) que si l'on calcule la résistance qu'opposera la section résistante formée par un plan quelconque EM passant par Taxe du cylindre, on trouvera que sur un élément ab de la surface du cylindre ayant pour largeur 1 mètre, et par conséquent pour surface ab x 1 mètre carré, la pression normale sera
VXabX 1-1.
Or, pour chaque élément a&, il existe, dans la même moitié de
la cûrGontêrence, un autre élément afb' égal et situé symétrique^ ment, sur lequel la pression normale sera . *
PXa'6'Xl"*-';
et si Ton décompose les deux, pressions normales chacune en deux autres. Tune parallèle au plan LM et l'autre perpendiculaire à ce plan, il est évident d*abord que les deux composantes parallèles seront égales, de sens contraire et directement opposées l'une à l'autre, et que, par conséquent, elles se détruiront. Quant aux composantes perpendiculaires au plan LM, elles seront évidemment égales à ^
Pxa^iXl- et à PXa'6'tXl",
les longueurs abi et a'b\ étant égales entre elles et à la projection des arcs égaux ab et a'b' sur le planLM.
Il en serait de même pour tous les éléments de la surface intérieure de^la moitié du cylindre située à droite du plan LM, et la somme de toutes les composantes, normales à ce plan, des pressions exercées sur la surface intérieure pour une longueur de 1 mètre, sera évidemment égalç au produit de la pression par unité de surface et de l'aire du rectangle, dont le diamètre IT serait la hauteur, et dont la longueur ou la base serait égale à 1 mètre. Cette somme de toutes les pressions élémentaires sera donc égale à
La surface qui résiste à l'arrachement est évidemment égale à
en appelant E l'épaisseur du métal, et sa résistance à l'arrachement est
Rr{D' — D";x l~'« = 2RrExl"»-^.
On a donc, pour l'équilibre entre la force qui tend à produire la nipture et la résistance, la relation
PD"=Rr(D' — D") = 2R,E.
Pour que le tuyau résiste d'une manière permanente, il faut
donner à Rr one Talenr bien inférieure à celle qui prôdoirait la
rupture par extension. .
Gomme application de la formule précédente, nous rapporterons les expériences suivantes, dues à M; Fairbaim :
79. RÉSISTANCE DES TUYAUX Elf PLOMB A UNS PRESSION INTE- RIEURE. — M. Fairbairn rapporte les deux expériences suivantes, qui prouvent que la résistance des tuyaux cylindriques à une pression intérieure est indépendante de leiur longueur.
BÉSiSTiNGB DE3 TUYAUX EN PLOMB A Ul RUPTURE Pis PRXSSXOll WT^BXnnUI.
DIAMÊTBB.
LOHGCIDR.
ÉriIUBOK.
Pression
de rupture
par
Résistauce
du plomb
par
centimètre carré.
mm.
mill.
mill.
kil.
Ces résultats montrent avec évidence que la résistance des tuyaux à la rupture par une pression intérieure est indépendante de leur longueur, puisqu'ici la longueur a varié dans le rapport de 1 à 2.138, sans que les résistances aient différé notablement.
Si nous comparons ensuite les résistances ou les pressions qui ont produit la rupture avec les dimensions, au moyen de la formule n^" 78 :
Ton en déduit, pour la résistance R du plomb à Tarrachement dans le sens transversal, les valeurs inscrites dans la 5* colonne du tableau ci-dessus, et dont la moyenne est
par centimètre carré, résultat qui ne s*éloigne pas beaucoup de
la valeur moyenne
admise pour le plomb laminé au tableau général que nous donnerons plus loin.
SXTElTSrON. ^1
