EXPRESSION IMAGINAIRE DUNE FONCTION PÉRIODIQUE
La méthode des imaginaires repose sur quelques principes très simples que nous rappellerons brièvement.
i° Soit une expression imaginaire
F = x -*- \f— \y = x ~jy\
pesons ijïg. 3o2)
nous avons
x = E cosa, y = E sina,
F = E(cosa -4- y sina)
= y/x* -*- y2 ( cos a -f- y sina;.
^x*-\-y2 s'appelle le module de l'expression imaginaire, l'angle a
se nomme Yargumcnt* il est défini par
* l Fig. 3o2.
tan g a = ^ .
20 L'addition de deux expressions imaginaires
Fj = ar, -+-/>,,
donne
F, -f- Fs = ar, -r- xt-^-j(yx^ yt).
3° Lear produit est
Fi F, — xx xt — ytyî-+-j(vi yt+- *iji 1 ;
le module du produit est donc
tfï r^t — ytfip-r- iXiyt-7- xtyt)* = ^ïr^^i^T^i-J-^t)*.
c'est-à-dire que /e module du produit est égal au produit des modules.
De même l'argument a est donné par
XiY* — jjVi j". X* tançai — tanga*
tan-a = l^ ±Ll ^ -i 1 = — -"-1 *-*- = tang( a, -*- a,):
XiV*—yO'i {Jj£± 1— tanga,tanga,
XtXt
V argument a du produit est donc la somme (a, -f- a2) des arguments des facteurs.
Enfin le produit d\tne expression imaginaire par sa conjuguée donne le carré du module
4° Le quotient des deux expressions imaginaires est
rt+jyt *l +yl " *l ~- >î
le module, toutes réductions faites, est
le module du quotient est égal au quotient des modules. L'argument est donné par la formule
tanga, — tança, ° i -h tan^a,tanga, ov
on voit donc que Y argument du quotient est la différence (a, — au) des modules du dividende et du diviseur.
Cas o'ua'k fonction périodiqi i:. — Imaginons une fonction périodique
e — E si n ( cb t \ i ) — E si n co / cos a -r- E cos (o / si n x
et prenons deux axes de coordonnées rectangulaires Ox et O y; soil un vecteur OE- E dont les projections sur les deux axes sonl
.7- ~ E cos a, y -- E si n i\
faisons tourner le rectangle (Jig* 3o3) OPEQ avec une vitesse angulaire (.>== v,,: autour de l'origine; au temps t, le tout aura tourné
de tôt et, en projetant OE' et le contour OP'E' sur Taxe des j-, on
aura
E bin(ti)/ -+- a j - E cos a si neuf -4- E sina cosuW.
La fonction e donnée peut donc être représentée par le vecteur tournant OE ou pur deux vecteurs rectangulaires définis par
x — E cos a,
et
V — E sina.
loi
C'est ce système de vecteur que nous nous proposons de figurer algébriquement par une fonction de la forme
ce symbole exprimant que ces deux quantités x et y sont irréductibles.
iNons écrirons donc
x -f-j'y — Ecosa — y Esina — E(cosa —y sina) — \/( •/-*-+- y1) (cosa -+-y sina)
et
e -- E(cosa sin tut -y sina cosw/).
Donc, d'une expression imaginaire de la fonction, on pourra déduire immédiatement la forme de la fonction périodique. '8"
Considérons deux vecteurs ayant même module et des phases différentes que nous représentons par
et = E(cosa -h y sina),
es— E[cos(a -+- £) -h y sin (a -+■ ,3)J.
Remarquons que
et =-= é?i (cos JJ -y sin (3 ^ '
donc, si nous voulons faire tourner un vecteur d'un angle jî, il faudra multiplier l'expression imaginaire qui le représente par (eos3-f- / sin |3) ; en particulier, pour le
faire tourner de " , il suffira de la multiplier par y (pour une rotation t.
le facteur sera j- — — i et, pour une rotation — > il sera p = —J).
Soient les deux fonctions
e —- E(cosa -r-y" sin a ).
* — I (cos3-+-y sin p »:
leur produit est
ei = EI[cos(a -+- [3) -t-y sin (a -s- fj)]. Ceci nous conduit au calcul de la puissance d'un courant dont ou
4o? ÉLECTRICITÉ DYNAMIQUE ET MAGNÉTISME.
donne les vecteurs en fonctions imaginaires
i = *i-^jyï'> la puissance du courant alternatif est
<j? -EIcoso.
E, valeur efficace de la force électromo trier : I, valeur efficace de l'intensité du courant;
s, l'angle de décalage de la phase du courant sur la force électromotrice.
Les modules sont
l = \/jr~\ + ïl;
exprimons <p : c'est la différence des angles d'époque de E et de I. Soient a l'angle d'époque de E. J3 celui de I: on a
cos(E.I) -cos(a — ?), a — arc tang — > 3 = arc tan" — ,
sina-- -— - » cosa= -.
>os •ri:?2.::"r,-v.2 .
donc
*£ = xxx.2^-yxyi.
Donc la puissance est égale à la somme des produits des composantes suivant Q.r et des produits des composantes suivant Or.
Déuivée d'lnr fonction. - - On a
e - K sin(u>/ a )
et
de. ,, . / ~\
— — h (o sin ( *o / -+ a -t- - • dt \ il
(lettc opération revient à multiplier le module par w et à faire tourner le vecteur de -; celte dernière opération s'indique, comme nous lavons vu, en multipliant pary.
Donc
ou
CHAP. Vil. — INDUCTION. 4<>3
dE . ¥, dt J
E= J dE ^j dE yu) dt tu *//
