VIII. — Asymptotes de rh]rperbole

l&O. Soient u et u^ (fig. ^2.) les asymptotes d*une hyperbole, C le point de contact à l'infini de u, A| celui de U|. Les points C| et A, qui correspondent aux précédents, sont à l'intersection des asymptotes. On a donc, dans l'équation (4) (52)

Fig. 4q.

CB ÏÏD

et par conséquent

AB __ ^ CjBi

ou

AB.CiB, =r AD.CiD,.

En multipliant les deux membres de cette dernière équation par le sinus de l'angle compris entre les asymptotes, nous obtenons, de part et d'autre, le double de l'aire des deux triangles que les asymptotes forment avec les deux tangentes BBj et DD|. Donc :

Kg. 43.

Les triangles formés par les asymptotes d'une hyperbole et par deux tangentes quelconques à la courbe ont des aires égales.

Si P est le point de contact de la tangente BBi, nous avons ( 136 )

BP = PBi.

Menons par P une parallèle PQ à u^ et appelons Q son point de rencontre avec u ; nous aurons évidemment

QP ou 7 zir ; C, B| et AQ ou x -- | AB.

Le produit AB.CfBi ne changeant pas de valeur, quelle que soit la position de la tangente BBj, le produit xy reste aussi constant, quelle que soit la position du point P sur l'hyperbole.

TANGENGES A l'eLLIPSE ET A L*HYPERBOLE. 123

EL. — Tangentes à l'ellipse et à l'hyperbole.

141. Soient u et Uj [fig* 4^) àenu tangentes parallèles à une ellipse ou à une hyperbole, A et Ci les points de contact respectifs de ces tangentes. Les points Ai et C, qui correspondent aux précédents, coïncident avec le point d'intersection de u et de u^ à l'infini, et dans l'équation (4) (S2), on a de nouveau

et par conséquent

CB A, Bi

AB.C,B,-- AD.CjDi.