VI. — Propriétés inhérentes à la génération des surfaces

doublement rectilignes.

150. Un système de droites est coupé par tout plan 2, qui ne con^ tient aucun rayon, suivant une courbe du second ordre.

Tous les plans qui touchent la sui^ face rectilignc aux points d'une telle tourbe forment un faisceau de plans du second ordre.

Un système de droites est projeté de tout point S, qui n 'est situé sur aucun rayon, suivant un faisceau de plans du second ordre.

Tous les points où la surface fvctiligne est touchée par les plans d'un tel faisceau sont situés sur une courbe du second ordre.

La surface doublement rectilignc étant considérée comme engendrée par deux faisceaux projectifs de plans, si Ton coupe ces plans par un plan transversal quelconque 2, on obtient sur ce dernier deux faisceaux projectifs de rayons, et chaque point d'intersection de deux rayons correspondants de ces faisceaux est si lue sur un rayon du système.

La surface doublement rectilignc étant, d'autre part, considérée comme engendrée par deux ponctuelles projectives, si l'on projette

l3o GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XI.

ces ponctuelles d'un point quelconque S, on obtient deux faisceaux de rayons projectifs concentriques, et tout plan de jonction de deux rayons correspondants de ces faisceaux passe par un rayon de la surface doublement rectiligne.

On a ainsi démontré la première partie (à droite et à gauche) des deux propositions énoncées.

Pour démontrer la seconde partie de la proposition à droite, faisons passer un plan par trois des points de contact. Ce plan coupe le faisceau de plans suivant un faisceau de rayons du second ordre, dont les trois points choisis sont des points de contact, et qui enveloppe une courbe du second ordre. Mais celte courbe est identique à celle suivant laquelle la surface rectiligne est coupée par le plan, car les deux courbes ont en commun les trois points de contact et leurs trois tangentes.

On démontrerait la seconde partie de la proposition. à gauche d'une manière tout à fait analogue, en faisant passer par le point d'intersection de trois plans tangents quelconques tous les plans tangents à la surface rectiligne.

VII. — Hyperboloide simple et paraboloîde hyperboliqae. Cône asymptote et plan asymptote.

151. On donne à la surface doublement rectiligne le nom dVyperboloïde simple ou à^ hyperboloide à une nappe, quand aucune de ses droites n'est située à distance infinie ; la surface est alors coupée par le plan à l'infini suivant une courbe du second ordre.

Si le plan à l'infini contient une génératrice de l'un des systèmes, et par conséquent aussi une génératrice de l'autre système, c'est-à-dire si le plan à l'infini est tangent à la surface, celle-ci prend le nom de paraboloîde hyperbolique ( * ).

(*) La double génération de l'hyperboloide à une nappe et du paraboloîde hyperbolique par une droite mobile a été exposée pour la première fois par Moncb et par Hachette {Journal de V École Polytechnique^ t. I, p. 5). Cette propriété do Thyperboloide ne fut démontrée d'abord, et pendant lon^emps, que par l'Analyse. Chasles, le premier, en a donné une démonstration géométrique, quand il était encore élère à l'École Polytechnique (voir Vallée, Traité de Géométrie descriptive, p. 86, et Lesot, Traité de Géométrie descriptive, p. 367 ). Quand nous disons que la double génération de l'hyperboloide aune nappe est due aux géomètres précités, nous n'entendons parler

IIYPERBOLOÏDE SIMPLE ET PARABOLOÏDE HYPERBOLIQUE. l3l

152. Chacun des systèmes de droites du paraboloïde hyperbolique ayant une droite à rinfini, les ponctuelles projectives, suivant lesquelles les droites d'un système rencontrent deux droites quelconques de l'autre, sont semblables (57).

Un paraboloïde hyperbolique est encore décrit par une droite qui se meut en s'appuyant sur deux droites u et ii^ (non situées dans le même plan) et en restant parallèle à un plan fixe, qui ne contient pas les directions de u et de i/|.

En effet, la droite mobile rencontrera non-seulement u et M|, mais encore la droite à l'infini du plan donné; elle engendrera donc une surface rectiligne qui contiendra un rayon, et par suite un second ravon à l'infini.

Le paraboloïde hyperbolique est en général coupé suivant une hyperbole par tout plan quine passe par aucun rayon; il est coupe suivant une parabole dans le cas seulement oà le plan contient une direction parfaitement déterminée.

que de Thyperboloîde à axes inégaux, car la double génération, par une droite, de rhyperboloîde de révolution à une nappe, est due à Wren. Ce géomètre la fit connaître par une Note très-courte, insérée dans les Philosophical transactions ( i66g, p. 961) sous le titre: Générât io corporis cilindroidis kjrperbolici, elaboremdis Icntibus hjrperboUcis accommodati, Waesi indique dans cette Note Tusage qu'on pourra faire du mode de génération par une droite, pour la construction des lentilles hyperboliques.

Kn 1698, Pare7(t a aussi trouvé cette propriété de l'hyperboloïde de révolution et il l'a démontrée dans deux Mémoires différents, par l'Analyse et par de simples considérationsde Géométrie {Essais et recherches de Mathématiques et de Phj'siçiie, t. II, p. C/p, et t. m, p. 470)* Cette propriété, que n'ont pas les autres surfaces engendrées par la révolution d'une conique autour d'un de ses axes principaux, fait dire à Par£!<t que l'hyperboloïde à une nappe est la plus complète de ces surfaces, puisqu'on y peut faire six sections différentes qu'il spécifie. Ce géomètre appelle cette surface cjlindroïde hyperbolique, de même que Wren, et se sert aussi de sa propriété d'être engendrée par une droite, pour la construction, sur le tour, des moules hyperboliques propres à la dioptrique.

Sauveur avait aussi démontré cette propriété de l'hyperboloïde de révolution, ainsi que plusieurs autres propositions concernant les volumes et les surfaces des conoîdes, dont Parert avait communiqué les énoncés à ce géomètre {Essais et recherches de Mathématiques et de Physique, t. III, p. 526). Voir Chasles, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. a4 1-343.

On trouve encore une remarquable démonstration de la double génération de l'hyperboloïde à une nappe, au moyen d'une droite, dans un Mémoire de Coriolis intitulé : Sur la théorie des moments considérés comme analyse des rencontres des lignes droites {JililS* Cihier à\x Journal de V École Polytechnique). Voir aussi, au sujet de la convenanco des noms choisis pour désigner ces surfaces : Mïjller, Beitrdge zur Terminologie der griechischen Mathematiker, Leipzig, 1860, p. 37.

La courbe d'intersection du second ordre passe, en effet, par les deux points où les droites à l'infini de la surface sont rencontrées par tout plan sécant qui ne contient aucun rayon; et ces deux points ne coïncident que si le plan passe par le point commun aux deux droites à Tinfini.

153. L'hyperboloïde simple n'est pas touché, comme le paraboloïde hyperbolique, par le plan à l infini ^ mais il est coupé par ce plan suivant une courbe du second ordre (151 ).

Tous les plans tangents aux points à l'infini de l'hyperboloïde sont, d'après cela, de's plans propres qui se coupent en un point S et forment un faisceau de plans du second ordre (150). La surface conique S, enveloppée parce faisceau, peut être considérée comme tangente à l'hyperboloïde tout le long de sa section à l'infini. Celte surface est nommée cône asymptote. Chaque rayon (génératrice) du cône asymptote est parallèle au rayon de chacun des deux systèmes de droites qui contient son point à l'infini.

Un plan quelconque, ne passant par aucun rayon de l'hyperboloïde simple, le coupe suivant une hyperbole, suivant une parabole ou suivant une ellipse, selon quil rencontre la courbe à l'infini de l'hyperboloïde en deux points, ou en un point, ou quil ne la rencontre pas; ou, ce qui revient au même, selon qu'il est parallèle à deux rayons ou à un rayon du cône asymptote, ou qu'il n'est parallèle à aucun de ces rayons.

154. Si, par un point donné quelconque, on mène des parallèles aux rayons d'un système de droites, ces parallèles forment un plan ou une surface conique du second ordre, selon que le système de droites appartient à un paraboloïde hyperbolique ou à un hyperboloïde simple. Dans le premier cas, le plan est appelé plan asymptote ( * ) . ,

(') Les modes do génération indiqués ne sont pas les seuls qui puissent conduire aux surfaces rectilignes; pour le paraboloïde en particulier, les modes de génération se multiplient quand on considère cette surface comme engendrée par le mouvement d'hyperboles ou de paraboles. Voir Steixer, Sjrstematische Entwîckelnng, etc. Berlin,

PARABOLOÏDE iitpeubolique équilatéhe. i33