VII. — fléments doubles dans les formes involntoires

218. Étant donné, dans le plan il'un triangle, un faisceau involutoire de rayons, dont aucun rayon double ne passe par l'un quelconque des sommets, circonscrire au triangle une courbe du second ordre par rapport à laquelle deux rayons accouplés du faisceau soient conjugués.

Étant donnée, dans le plan d'un triangle, une ponctuelle involutoire^ dont aucun point double n'appartient à l'un quelconque des côtés^ inscrire au triangle une courbe du second ordre par rapport à laquelle deux points accouplés de la ponc^ tuelle soient conjugués»

Fi0. 6i.

^Ài

Pour que le problème (à gauche) soit possible, il faut que le centre du faisceau involutoire donné F {Jig* 6i) ne coïncide avec

aucun des sommets du triangle ABC; il faut, en d'autres termes, que deux côtés quelconques, ABelAC,dece triangle, ne passent pas par le point F.

S'il existe réellement une courbe satisfaisant aux conditions de l'énoncé, les côtés considérés, AB et AC, rencontreront la polaire du point F par rapport à cette courbe, respectivement en deux points, tels que P et Q, dont les polaires passeront par le point F (108). Mais, d'une part, les points P et Q doivent être harmoniquement séparés de leurs polaires par la courbe, et, d'autre part, deux rayons accouplés du faisceau F doivent être conjugués par rapport à la même courbe. Nous pouvons donc déterminer les

ÉLÉSIENTS DOUBLES DANS LES FOBMBS INVOLUTOIRES. l83

points tels que P et Q en construisant, dans le faisceau F, deux rayons accouplés, p et p^y harmoniquement séparés par les points A et B, et deux autres rayons, q et 94, harmoniquement séparés par les points A et C.

Si cette construction n'était pas possible, aucune courbe du second ordre ne satisferait aux conditions de Ténoncé ; mais Timpossibilité ne se produit que si le faisceau F a deux rayons doubles, séparés l'un de l'autre par A et B ou par A et G (213).

La droite AB étant coupée par les rayons p et pi, respectivement en P et P| , et la droite AG par les rayons r/ et ^i en Q et Qi , nous pouvons faire l'une des quatre hypothèses suivantes :

1° P et Q sont respectivement les pôles de pi et de g^.

2? P et Qi » >» » pi et de q»

3** P^ et Q • • » p et de q^m

4" Pi et Qi » » » p et de q.

Chacune de ces quatre hypothèses conduit à une solution du problème proposé. Si c'est la première qu'on a faite, on cherchera sur la droite PG le point Gi, harmoniquement séparé de G par le point P et par sa polaire pi ; on cherchera pareillement sur QB le point B| , harmoniquement séparé de B par le point Q et par sa polaire ^i.

La courbe du second ordre qui passe par les cinq points ABGB|G|, et dont on peut déterminer les autres points parles méthodes connues, satisfait à toutes les conditions du problème. En effet, elle est d'abord circonscrite au triangle ABG; d'autre part, deux couples de points. A, B et G, G{ de la courbe, étant harmoniquement séparés par P et pi, P est le pôle de pt et, par suite, le rayon FP, où p est conjugué au rayon pi ; le rayon q est, pareillement, conjugué au rayon q^ ; en sorte que deux rayons accouplés du faisceau F sont conjugués par rapport à la courbe.

Si le faisceau involutoire de rayons avait deux rayons doubles, c'est-à-dire deux rayons qui seraient tangents à la courbe du second ordre cherchée, le problème pourrait s'énoncer ainsi :

Circonscrire à un triangle donné une courbe du second ordre qui soit tangente à deux droites données dans le plan du triangle.

Inscrire dans un triangle donné une courbe du second ordre qui passe par deux points donnés dans le plan du triangle.

i8j cÉoaÉTniE de position. — chapitre xiv.

Quand le faisceau F n'a pas de rayons doubles, le problème comporte quatre solutions. Tel est le cas qui se présente lorsque le faisceau F est orthogonal. Le point F est alors un fover de la courbe cherchée. Nous avons donc incidemment résolu ce problème :

Circonscrire à un triangle donné quatre courbes du second ordre, i/ui aient pour Joyer commun un point donné.

219. Nous terminerons ce Chapitre par un problème qui, pour n'être pas du second degré, n'en est pas moins étroitement lié à celui qui précède :

Étant donnée, dans le pftrn d'au triangle ABC (^g- 62). une ponctuelle inpoltttoire u, dont ancan point double ne repose sur un côté, circon-

eond ordre, par rapport à latjuelle lieux points accouplés de u soient réciproques.

FIg. r„.

Étant donné, dans le plan d'un triangle ABC, un faisceau involU' rairede rayons S, dont aucun rayon double ne passe par un sommet, inscrii-e dans le triangle une courbe du second ordre, par rapport à laquel'.e deux rayons accouplés de S soient réciproques.

Soient (à gauche) Kt et M| les points de la forme involutoire u, respectivement conjugués aux points K et M 011 U droite u est coupée par AB, BC; soient, en outre, K^ le point de AB harmoniquement séparé de K par les points A, B de la courbe, et Mj le point de BC harmoniquement séparé de M par les points B, C. La droite K, Ks est la polaire du point K par rapport à la courbe cherchée ; car les points K, et Kj sont tous deus conjugués au point K. Pareillement, M,Mi est la polaire du point M,

Cela posé, si d est le point harmoniquement séparé de C par le point K et par la droite K, K^, et A| le point harmoniquement séparé de A par le point M et par la droite M|M), la

ÉLÉMENTS DOUBLES D.VXS LES FORMES IXVOLUTOIRES. l85

courbe cherchée passe par les cinq points A, B, C, A| , C|. En etTet, K est harmoniquement séparé de la droite K1K2, aussi bien parles points A et B de la courbe que par les points C et C| ; K est donc le pôle de K4K2, et les points K, K| sont, conformément aux conditions posées, réciproques par rapport à la courbe. Il en est de même des points M, M|.

Si la ponctuelle involutoire a deux points doubles, ces points peuvent être construits, et le problème est ainsi ramené à cet autre déjà résolu : Faire passer une courbe du second ordre par cinq points donnés dans un plan.

Le problème n'admet jamais qu'une seule solution.

l86 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE W.