On appelle perspectifs

1^ Un système plan et une gerbe, quand le système plan est une section de la gerbe, et, réciproquement, la gerbe une projection du système plan ;

2^ Deux systèmes plans, quand Ils sont des sections d'une même gerbe ;

3° Deux gerbes, quand elles sont des projections d'un même système plan.

Lorsque, dans une série de formes fondamentales de la seconde espèce, chaque forme est perspective à la suivante, deux quelconques d'entre elles, la première et la dernière par exemple, sont rapportées l'une à l'autre, ainsi qu'on l'a déjà vu pour les formes fondamentales simples. Chaque élément de l'une des deux formes considérées correspond, en effet, à un élément déterminé de l'autre ^ mais, en général, les deux formes ainsi rapportées ne sont pas perspectives.

Si l'on modifie la position relative de deux formes perspectives de la seconde espèce (par exemple de deux systèmes plans per-

FORMES GOLLINBAIRBS. 187

spectifs), une certaine relation persiste entre cesformes, mais elles perdent la relation de perspectivité. Dans les deux systèmes plans liés par cette condition , à toute ponctuelle correspond une ponctuelle; à tout faisceau de rayons, un faisceau de rayons; à toute courbe avec ses tangentes, une courbe avec ses tangentes^ atout /i-gone, un /i-gone, et ainsi de suite.

321 . Nous appellerons collinéaires ( * ) ou homographiques :

1° Deux systèmes plans, Z et £| , si atout point P de £ correspond un point P4 de £4, et à toute droite g de Z, passant par F, une droite g^ de Z|, passant par P| ;

2^ Un système plan £ et une gerbe S| , si à tout point P de £ correspond un rayon ^i de S 4 et à toute droite g de £, passant par P, un plan 74 de S4, passant par px .

3® Deux gerbes, S et S4, si à tout rayon p de S correspond un rayoq ^1 de S i, et à tout plan y de S, passant par ^, un plan yideS4, passant par p^ .

Nous pouvons définir ces conditions en des termes qui s'appliquent aussi aux espaces, en disant :

Deux formes fondamentales de la seconde espèce ou de la troisième (7) sont appelées collinéaires si à deux éléments quelconques

(*) MObids {Der barycentrische Calcul, etc. Leipzig, 1827, p. 3oi) a considéré le premier ces systèmes dans toute leur généralité. En leur donnant le nom de co//inéaireSf il a Toulu exprimer, non-seulement qu'à tout point d'un système correspond an point de l'autre, mais encore qu'à toute droite correspond aussi une droite.

Notre étude va porter sur la relation la plus simple entre éléments d'espèces différentes dans les figures. Cette relation conduit à d'autres, d'un ordre plus élevé, sur lesquelles on se base pour faire correspondre : à une droite de l'une des figures, une courbe dans l'autre; à un point de l'une, une droite ou une courbe dans l'autre. Voir Macxcs, Nouvelle méthode pour découvrir des théorèmes de Géométrie (^Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Bd VIII, p. 5i, Berlin, i83a). — MObics, Théorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung {jibhandlungen der mathe~ matisch-phjrsischen Classe der KônigL Sachs. Gesellschaft der fVissenschaften, Bd II , p. Sag. Leipzig, i855). — Magnus, Sammlung ifon Aufgaben und Lehrsàtzen aus der tmaljrtischen Géométrie, p. 339 et a88. On doit à ce dernier auteur les noms de centre eid'axedeeollinéation, que nous trouverons plus loin {Op, cit., p. 43 et suiv.). Nous nous bornerons à ajouter ici que les figures planes dotées d'un axe de collinéation ne sont autres que les figures appelées homologiques par Pomcklet ( Traité des propriétés projectives, etc. Paris, iSaa, n** 227 et suif.). L'expression àt figure collinéaire équi" vaut d'ailleurs à celle àe figure homographique, adoptée par Chasles {^Aperçu histo* rlque, etc. Bruxelles, 1837, p. a6i et suiv., p. 696 et suivantes).

l88 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XV.

d'espèces différentes, P et ^ de Tune, P reposant sur g, correspondent respectivement deux éléments d'espèces différentes, Pj et gi de Tautre, P| reposant sur g^.

Il suit de là que si, par exemple, £ et £{ sont deux systèmes plans collinéaires, et a^ a^ deux droites correspondantes de ces systèmes, à chaque point P de a doit correspondre un point P| placé sur/Zi; car, s^il en était autrement, ai ne passerait pas par P|, comme la relation de collinéation l'exige.

Il résulte encore de la définition, que la droite de jonction de deux points quelconques, P et Q, du système 2, doit correspondre à la droite du système Z| qui joint les points P| et Qi correspondants des points P et Q.

En effet, à la droite PQ doit correspondre une droite passant aussi bien par P| que par Qi et ne pouvant dès lors être autre que P|Q|.

Enfin, si a et & sont des droites quelconques d'un système plan £ et ^1, i| les droites correspondantes d'un second système 2|, collinéaire à Z, le point d'intersection P des droites a eib correspond au point d'intersection P| des droites a^ et &|.

Le point P| , correspondant de P, doit en effet se trouver, tant sur ai que sur &{ ; il est donc à l'intersection de ces droites.

Pareillement, si a est une droite quelconque du système plan 21 et a le plan qui correspond à cette droite dans la gerbe collinéaire Si, à tout point de a correspond un rayon de a. Au point d'intersection de deux droites aetb dans Z correspond, dans S|, l'intersection des deux plans qui correspondent à a et à i ; à la ligne de jonction de deiix points, P et Q, dans Z, correspond dans S| le plan déterminé par les rayons qui correspondent à ces points.

222. Les formes Jbnd amentales perspectives de la seconde espèce sont collinéaires.

223. Deux formes fondamentales de la seconde espèce, collinéaires à une troisième, sont collinéaires entre elles.

Les deux propositions précédentes conduisent immédiatement à cette autre :

Si, dans une série de formes fondamentales de la seconde es-

FORHES RECIPnOQUES. 189

pèce, chatjue forme est perspective à la suivante, deux quelconques d'entre elles, et, par conséquent, la première et la dernière en particulier, sont collinéaires .

224. Quand deux systèmes pians sont coUinéaires, la droite à rinfini de Tun correspond, en général, à une droite propre dans Faulre. Par suite :

Deux systèmes plans étant collinéaires, les droites parallèles de l'un ont pour correspondantes, dans l'autre, des droites concourant en un même point de la droite propre qui correspond, dans le second système, à la droite impropre du premier ; et vice 2>ersa.