I. -^ Éléments; projections et sections

1 . Le point, la droite et le plan sonl les éléments simples de la Géométrie de position. Les droites et les plans doivent être considérés comme illimités de toutes parts, à moins qu'on ne convienne expressément du contraire.

2. Un système quelconque de points et de droites dans l'espace

peut être projeté d'un point S ( * ) quelconque, qui devient alors centre de projection, au moyen d'un système de droites, qu'on appelle rayons projetants, et de plans, qui prennent le nom de plans projetants, de telle sorte que tout point du système soit projeté par un de ces rayons et toute droite, ne passant pas par S, par un de ces plans. Le point S doit être considéré comme lieu de tous les rayons et de tous les plans projetants, dont l'ensemble constitue ce que nous convenons d'appeler la projection du système proposé {*).

Considérons maintenant dans l'espace un système quelconque de plans et de droites ; il sera coupé, par tout nouveau plan a, suivant un système de droites et de points, tout plan étant en fjénéral coupé suivant une droite et toute droite étant coupée en un point. Le plan ct est le lieu de toutes ces droites et de tous

(*) Nous avons cru devoir adopter la notation proposée par Rete {^Géométrie der Loge. Hannover, 1866, p. 7), suivant laquelle on désigne les points par les lettres majuscules A, B, C, . . ., les droites par les minuscules a, b, c, . .., et les plans par les minuscules de l'alphabet grec. En outre, conformément à l'algorithme proposé par Grassmak:!, AB désignera la droite déterminée par les deux points A et B; Aa le plan qui passe par A et a; aa le point commun à a et à a; ABC le plan qui passe par les points A, B, C; ct^y le point commun aux plans a, ^, y, et ainsi de suite. Car50t avait déjà proposé une notation spéciale, en vue d'indiquer, avec simplicité et précision, une combinaison quelconque d'alignements de points et d'intersections de droites; mais on a observe avec raison que cette notation perdait de sa clarté quand il s'agissait d'exprimer une construction un peu compliquée. On a donné la préférence à celle dont Grassmann a fait usage dans son œuvre magistrale {yiusdehnungshkre. Leipzig, 1844, et Berlin, 1862) et dans une série d'autres travaux {Journal de Crelle, volumes 31, 30, 42, 44). Dans sa Note : Sopra un algoritmo proposto per esprimere gli alUneamenti e sull' ordine o la classe del luogo geometrico dei punti o délie rette soggetti ad una legge di allineamento, publiée dans la livraison I des yitti délie adunanze delVI, H, Istituto Veneto di Scieme, Lettere ed j4rti, pour l'année académique i854-i8j5 (p. 58-67), Bellavitis signale, entre autres choses, l'erreur dans laquelle Grassma:<n est tombé quand il a cru que ses formules seraient assez générales pour représenter une courbe quelconque du troisième degré. Bellavitis traduit ensuite en formule la méthode enseignée à ce sujet par l'illustre Cqasles.

(') Les projections ont été employées parles astronomes grecs (Hipparque, Ptolé- MÉE e^ autres) pour la représentation de la sphère céleste apparente. Aux méthodes de perspective transmises par les anciens et perfectionnées au xvi* siècle, est venue s'ajouter, vers la fin du xviii*, la Géométrie descriptive (doctrine des projections), complétée par MoKGE. Desargues est le premier qui ait appliqué les projections aux recherches géométriques ; mais l'importance de cette application a été mise en évidence par l'école de Monge, et particulièrement parles travaux de FotiCELtJ (Traité des proprié' tés projectives des figures, etc. Paris, 182a). Voir Baltzer, Die EUmente der Mathc' matik, Zwoiter Band, dritte Auflage. Leipzig, 1870, p. i5a.