XIV PREFACE

depuis une trentaine d^années; les autres appartiennent aux méthodes qu'on désigne sous le nom de Géométrie moderne { * ).

Les travaux de Géométrie pure moderne, qui ont vu le jour entre la première et la seconde édition de Poncclet, se rattachent eux-mêmes à trois écoles distinctes , à la tête desquelles figurent trois hommes émincnts : Steiner, Chasles et v. Staudt.

Quelques efforts qu'il fasse pour le dissimuler, Steiner apparaît comme un des plus fidèles continuateurs de Poncelet. Des cinq Parties qui devaient composer son Œuvre (^), une seule a été publiée et elle suffit pour justifier la haute renommée du fondateur de la Géométrie moderne en Allemagne. Ses propositions sont si rigoureusement démontrées, si étroitement enchaînées, qu'on éprouve, à la lecture de son livre, la même satisfaction qu'à l'étude des vxQiytXa, de la Géométrie ancienne.

Steiner ne s'est pas borné à exposer les propriétés graphiques ou descriptisfes des figures. L'un des caractères distinctifs de son Œuvre consiste dans le développement qu'il a donné aux propriétés de grandeur ou de mesure, appelées mélriques par Pon-

(*) Recueil de Rapports sur Vétat des Lettres et les progrès des Sciences tn France, — Rapport sur les progrès de la Géométrie, par M. Chasles, etc.; Paris, mdccclxx, p. 5.

(') Sj'stematische Entwickelung der jibhàngiglieit geometriseher Gestalten von einander mit UerUcksichtigung der Arbeiten alter und neuer Geometer iiber Porismen Projections-Methoden^ Géométrie der Lage^ Transversalen, Dualitàt und Reeiprocitàtf von Jacob Steikeb. ErsterTheil. Berlin, Fincke, i833. La préface de cet Ouvrage contient le plan complet que l'illustre auteur s'était tracé pour Texposition, en cinq Parties, de l'ensemble de ses recherches. La première Partie contient les principes sur lesquels repose la Géométrie synthétique moderne. La cinquième devait renfermer ; eine ausfUhrliche und umfassende Behandlung der Kurven und Plàchen zweiten Grades durch Konstruction und gestUtzt auf projectivische Eigensckaften. On en trouve les principaux matériaux dans le Journal fur die reine und angewandte Mathematik de A.-L. Caelle, dans les Annales de Mathématiques de Gebconne, et surtout dans les leçons que professait Stei!(er à l'Université de Borlin.

Le D' G. -F. Geiser, neveu et héritier de Steiner, professeur à l'Institut polytechnique de Zurich, n'a pas voulu que ces leçons orales fussent perdues. Les manuscrits recueillis et complétés par lui et par le De E. SciiRdTER, professeur k l'Université de Brcslau, ancien disciple du grand géomètre, ont été publiés sous les titres suivants : Jacob Steiner's Forlesungen ùber synthetische Géométrie, Erster Theil. Die Théorie der Kegelschnitte in elementarer Darstellung, Zweiter Theil. Die Théorie der Kegelschnitte^ gesfàtzt auf projectivische Eigenschâften» Leipzig. Druck und Verlag von B.-G. Teubner, 18G7. ^^^ seconde édition a été publiée récemment (i8;6).

PBEPACE. \V

celet. Chasles, comme nous le verrons plus loin, avait aussi reconnu la nécessité de diriger ses recherches dans celte voie, et nous trouvons, dans son remarquable Rapport [*) y Texposé des raisons qui J'ont déterminé :

« La théorie des figures homologiques et celle des polaires réciproques, qui sont la base des beaux travaux de Tillustre général Poncelet, donnèrent une grande impulsion aux recherches de pure Géométrie. Mais ces deux méthodes de transformation étaient susceptibles d'une généralisation que les progrès de la Science rendaient nécessaire. Si la transformation des propriétés descriptives ne présentait aucune difficulté, il n*en était pas de même des propriétés métriques, dont la transformation ne se faisait que dans des limites assez restreintes. En outre, les deux figures, dans l'une et dans Taûtre méthode, avaient entre elles des relations de position qui restreignaient les conditions auxquelles on aurait voulu satisfaire dans la construction d'une nouvelle figure.

» Il y avait donc à désirer, d'une part, un type plus étendu des relations métriques transformables, et, d'autre part, un procédé de construction des figures transformées, satisfaisant à des données et à des conditions plus générales que celles auxquelles étaient assujetties les figures homologiques et les polaires réciproques. »

Telles sont aussi, sans aucun doute, les considérations qui ont guidé Steiner. Sa Géométrie repose d'ailleurs essentiellement sur * le principe de la projection centrale. Le titre de projectile serait donc très-propre à en caractériser la méthode ; nous voudrions que ce titre lui fik réservé.

On distinguerait alors sous le nom de Géométrie supérieure Tensemble des recherches sur les propriétés métriques des figures, qui empruntent leur principal fondement aux travaux de Chasles.

Le Traité de Géométrie supérieure, véritable monument élevé à la science de l'étendue, est empreint de cette forte unité qui distingue les œuvres capitales. Il est basé sur les trois théories du rapport anharmonique de quatre points, des div^isions homographiques et de Vinvolution. Ces théories, déjà exposées dans les Notes de Vu4perçu historique, sont enseignées à la Sorbonne

(') Rapport sur ies progrès de la Géométrie, Paris, hdccclxx, p. 83,